小波變換與GARCH組合模型的網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)＊

劉 淵，黃世忠

（江南大學(xué)數(shù)字媒體學(xué)院，江蘇 無錫 214211）

1 引言

隨著各種網(wǎng)絡(luò)服務(wù)如網(wǎng)上支付、視頻會(huì)議、IP電話等的廣泛應(yīng)用，人們對(duì)網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量的要求越來越高。然而，當(dāng)今網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)變得十分復(fù)雜，出現(xiàn)突發(fā)事件與擁塞的可能性也大為增加，因此改善網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行環(huán)境顯得至關(guān)重要，這就需要人們更好地了解網(wǎng)絡(luò)流量的特征及其變化規(guī)律并用來預(yù)測(cè)未來的網(wǎng)絡(luò)流量。網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)在擁塞控制、網(wǎng)絡(luò)管理與診斷、路由器設(shè)計(jì)等領(lǐng)域都具有重要意義［1］。

近年來，許多學(xué)者應(yīng)用小波變換和時(shí)間序列方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)流量進(jìn)行了大量的研究和分析。文獻(xiàn)［2］在國(guó)內(nèi)最早提出了基于小波的多尺度網(wǎng)絡(luò)流量自回歸滑動(dòng)平均ARMA（Auto Regressive Moving Average）預(yù)測(cè)模型。該模型融合了多尺度時(shí)間序列分析和回歸分析的優(yōu)點(diǎn)，在網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)中得到了廣泛應(yīng)用。但是，由于其基于線性建模并且假設(shè)網(wǎng)絡(luò)流量序列為同方差，因此在某些環(huán)境中，難以準(zhǔn)確、全面地描述網(wǎng)絡(luò)流量的非線性變化規(guī)律，從而影響最終預(yù)測(cè)精度［3］。

Engel［4］首先提出了廣義自回歸條件異方差GARCH（Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity）模型，用于對(duì)時(shí)間序列的方差進(jìn)行建模。GARCH模型可以較好地描述序列的異方差性，因此在時(shí)間序列建模和預(yù)測(cè)中具有廣泛應(yīng)用。

在一些網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)存在波動(dòng)聚類性和異方差性，而國(guó)內(nèi)將GARCH模型應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)極少，因此本文提出使用小波變換與GARCH的組合模型進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)。

2 基本理論

2.1 小波變換

小波變換［5］是一個(gè)平方可積函數(shù)f（t）與一個(gè)在時(shí)頻域上均具有良好局部性質(zhì)的小波函數(shù)φ（t）的內(nèi)積：

其中，〈＊，＊〉表示內(nèi)積，a＞0為尺度因子，b為位移因子，＊表示復(fù)數(shù)共軛，φa，b（t）稱為小波。

改變a值，對(duì)函數(shù)φa，b（t）具有伸展（a＞1）或收縮（a＜1）的作用；改變b值，則會(huì)影響函數(shù)f（t）圍繞b點(diǎn)的分析結(jié)果。φ（t）稱為母小波函數(shù)，其必須滿足容許性條件：

其中，φ（t）是ψ（ω）的傅里葉變換。

在實(shí)際應(yīng)用中，需要對(duì)尺度因子a和位移因子b進(jìn)行離散化處理，可以取：

其中，m、n為整數(shù)，b0為大于1的常數(shù)，a和b的選取與小波φ（t）的具體形式有關(guān)。

則離散小波函數(shù)表示為：

相應(yīng)的離散小波變換表示為：

二進(jìn)制離散小波變換Mallat算法簡(jiǎn)潔實(shí)用，廣泛應(yīng)用于實(shí)際時(shí)間序列處理中。

Mallat小波分解是將原始信號(hào)分別通過高頻和低頻兩個(gè)濾波器進(jìn)行頻帶劃分，該算法可表示為：

其中，H為低通濾波器，G為高通濾波器。Mallat算法將原始信號(hào)分解為低頻部分和高頻部分。低頻部分是近似分量，反映的是信號(hào)的輪廓特征與變化趨勢(shì)；高頻部分是細(xì)節(jié)分量，反映隨機(jī)擾動(dòng)等動(dòng)態(tài)因素所帶來的影響。

分解后的信號(hào)可由Mallat重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)，該算法可表示為：

其中，和分別為H和G的對(duì)偶算子。

2.2 GARCH模型

GARCH模 型［6，7］是 自 回 歸 條 件 異 方 差 模 型ARCH（Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity）模型的進(jìn)一步推廣，其定義如下：對(duì)于給定的階數(shù)p≥0和q≥0，有：

其中，e（t）～I(xiàn)ID（0，1），也就是說，｛e（t）｝是一個(gè)均值為0、方差為1的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，并且e（t）與過去的值無關(guān)。e（t）與Zt－k（k≥1）相互獨(dú)立，α0＞1，αi≥0，β≥0均為常數(shù)，且滿足：

式（10）定 義 的 隨 機(jī) 過 程z（t）稱 為GARCH（p，q）過程。其中，h（t）是z（t）的條件變量，對(duì)于｛Z（s），s＜t｝，e（t）為相應(yīng)的殘差變量。GARCH模型的實(shí)質(zhì)是使用殘差平方序列的q階滑動(dòng)平均擬合當(dāng)期異方差函數(shù)值以及利用異方差函數(shù)的p階自相關(guān)性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)說明

本文采用實(shí)際流量數(shù)據(jù)LBL－tcp－3.tcp［7］進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)。該數(shù)據(jù)集來源于伯克利實(shí)驗(yàn)室，是公允的權(quán)威流量數(shù)據(jù)。其內(nèi)容包括兩小時(shí)內(nèi)在一個(gè)隔離區(qū)（Demilitarized Zone）中通過某服務(wù)器所有的網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)，以微秒級(jí)記錄某個(gè)時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)流量大小。

通過計(jì)算，本文以1秒為時(shí)間尺度獲得了該網(wǎng)絡(luò)中前2 000秒的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)流量（如圖1所示），并使用前1 900秒的網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解，將其分解成高頻信號(hào)和低頻信號(hào)，如果這些分量信號(hào)存在GARCH效應(yīng)，則進(jìn)行GARCH建模；如不存在GARCH效應(yīng)，則進(jìn)行ARMA建模。然后，分別使用這些模型預(yù)測(cè)后100秒的網(wǎng)絡(luò)流量，最終通過小波分析理論將預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)，并與真實(shí)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較并計(jì)算出精確度的量化指標(biāo)。

為了達(dá)到對(duì)比目的，本文使用了傳統(tǒng)的小波分析與ARMA組合模型對(duì)相同的網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)建模和預(yù)測(cè)，并將其預(yù)測(cè)結(jié)果與小波分析與GARCH組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較。

Figure 1 Experimental network traffic data圖1 實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)

3.2 小波分解

本文運(yùn)用了Daubechies（db3）小波，使用Mallat算法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行尺度為w的小波分解，得到一組近似分量aw和w組細(xì)節(jié)分量dj（j＝1，2，…，w）。w值的選取不宜過大，也不宜過小。w過大對(duì)流量數(shù)據(jù)的信息損失大，分解過程中必然存在計(jì)算上的誤差；w過小則不能很好地得到反映流量數(shù)據(jù)某些特性的高頻信號(hào)。通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)w＝3時(shí)誤差較小且能獲取豐富的高頻信號(hào)，結(jié)果如圖2所示。

3.3 建模與預(yù)測(cè)

對(duì)各子序列a3，d3，d2，d1建立起合適的模型。通過拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)方法［8］得出子序列d2和d1具有GARCH效應(yīng)，因此對(duì)子序列d2和d1建立GARCH模型，對(duì)a3和d3則建立ARMA模型。

Figure 2 3－level wavelet decomposition of the raw network traffic圖2 db3小波對(duì)原始網(wǎng)絡(luò)流量進(jìn)行三層分解

本文限于篇幅，僅介紹子序列d2的GARCH建模過程。

為了選擇合適的GARCH階數(shù)，本節(jié)計(jì)算了赤池信息量準(zhǔn)則AIC（Akaike Information Criterion）［9］值。AIC準(zhǔn)則要求AIC值越小越好，其計(jì)算結(jié)果如表1所示。

Table 1 AIC of subsequence d2of GARCH with different orders表1 子序列d2的GARCH模型階數(shù)的AIC值

綜上，GARCH（1，1）的AIC值最小，因此選擇GARCH（1，1）較為合適。

然后，使用極大似然估計(jì)，計(jì)算出該模型的各參數(shù)的估計(jì)值，其結(jié)果如表2所示。

Table 2 Parameters estimation of GARCH（1，1）表2 GARCH（1，1）模型的參數(shù)估計(jì)

接著就可以使用該GARCH（1，1）模型來預(yù)測(cè)子序列d2后100秒的數(shù)據(jù)。

3.4 預(yù)測(cè)結(jié)果及其對(duì)比

使用Mallat重構(gòu)算法，將子序列a3，d3，d2，d1的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)，最終便可得到原始流量序列的預(yù)測(cè)值。

為了對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行客觀的量化評(píng)價(jià)，本節(jié)引入了式（12）和式（13）量化指標(biāo)。

均方根誤差（RMSE）：

相對(duì)均方根誤差（RRMSE）：

其中，Xk為序列的實(shí)際觀察值，為Xk的預(yù)測(cè)值，N為原始流量數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)元素的個(gè)數(shù)。

均方根誤差和相對(duì)均方根誤差的值越小，說明預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀察值越接近，預(yù)測(cè)效果越好。

為了進(jìn)行橫向比較，本節(jié)同時(shí)使用了小波分析與ARMA組合模型對(duì)該流量數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，其結(jié)果如圖3所示，預(yù)測(cè)效果量化指標(biāo)如表3所示。圖4截取了前30秒的預(yù)測(cè)結(jié)果。

Table 3 Comparison of forecasts precision表3 預(yù)測(cè)精度比較

Figure 3 Comparison of the forecasts圖3 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

Figure 4 Details of comparison of the forecasts圖4 預(yù)測(cè)結(jié)果放大對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)使用小波分析與GARCH組合模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，小波分析與GARCH組合模型可以較好地描述網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的異方差性。由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有“波動(dòng)集群”現(xiàn)象，其方差是隨著時(shí)間而變化的，這與傳統(tǒng)的小波分析與ARMA組合模型的同方差假設(shè)不相符，因此小波分析與GARCH組合模型較之傳統(tǒng)的小波分析與ARMA組合模型大幅提高了預(yù)測(cè)精度。而且，小波變換與GARCH模型的計(jì)算復(fù)雜度均為線性，因此該算法時(shí)間復(fù)雜度為O（N），在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中一般可行，在網(wǎng)絡(luò)流量等非線性預(yù)測(cè)問題中應(yīng)用前景廣泛。

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