基于一個新高分數維混沌系統的彩色圖像加密

趙建峰, 王淑英, 張理濤, 李險峰

(1.河南職業技術學院信息工程系,河南鄭州450046； 2.黃河科技學院民族學院,河南鄭州450053；3.鄭州航空工業管理學院數理系,河南鄭州450015； 4.香港城市大學土木建筑工程系,香港999077)

在當今信息社會,隨著計算機網絡技術的飛速發展和微型計算機的普及,越來越多的多媒體數字信息通過網絡進行傳輸,據統計,其中圖像信息約占信息總量的70%.這些信息在傳輸過程中的安全與保密不僅關系到個人隱私、企業的商業機密等問題甚至關系到國家安全,因此在網絡中圖像信息的安全與保密技術已越來越受到全社會的重視.混沌系統具有良好的偽隨機特性、軌道的不可預測性、對系統初值及參數的極端敏感性及拓撲傳遞性等特點.由于越來越廣泛使用的圖像和多媒體信息的數據量大且冗余度高,已給傳統密碼提出了挑戰,混沌信號天然的隨機性和隱蔽性等諸多特性使混沌成為加密研究的新熱點.L.Kocarev[1]將二者之間的一些對比關系做了總結,國內外學者改進加密技術并將混沌動力學應用于傳統的加密算法[2-7].而采用一維混沌系統的加密算法,已被證明安全性不高,因為密鑰空間不夠,不能抵御窮舉攻擊；且容易利用相空間重構方法進行混沌系統識別[8],攻擊者只要截獲足夠長的明文/密文對,就能夠破解種子密鑰,從而不能抵御已知明文攻擊.為了加強圖像加密的安全性,高維混沌加密算法已成為研究熱點[9-15].

數字圖像像素位置的置亂變換是一種重要的加密方法,不會改變圖像的直方圖特征,對于冗余度高的圖像不太適合,較難應對窮舉攻擊法,為提高加密性能,與其他加密算法相融合,本文對于彩色圖像先進行基于混沌序列的圖像R、G、B三基色平面像素置亂,之后對密文三基色分量進行像素值異或替代加密,最后對密文進行統計特性分析.

1 高維數混沌系統

各種混沌系統相繼被提出,其中分數維數越高,系統占用的空間就越大,系統的吸引子的纏繞性就越復雜,混沌信號的類隨機性越強,而具有高分數維數的混沌系統并不多見[16-17],為此,構造一個新三維自治混沌系統,其方程為

其中,X=(x,y,z)T為系統的狀態變量,(a,b,c)T為系統的參數向量.圖1(a)給出新混沌的控制參數a在區間[1,11]內連續變化下的DKY值.圖1(a)顯示,此混沌吸引子的DKY幾乎都大于2.5,并且隨著控制參數繼續增大,有的混沌吸引子的DKY甚至達到了2.933.圖1(b)和圖1(c)展示了該混沌系統的非線性特征.取積分步長為0.01,在積分5×105次后,計算得出的3個Lyapunov指數分別為(l1,l2,l3)=(0.555 8,0,-0.595 3),DKY=2.933 6,DJ=2.955 1,關聯維數D2=2.912 4,DKY和DJ的絕對誤差|d|是0.021 4,DKY依舊小于DJ.

令(1)式中各項等于零,得到

求解(2)式中的2個平衡點分別為點M(-0.447 2,-13.416 2,-0.268 3)和點N(0.447 2,-4.085,-0.817 1),在點M處對系統(1)進行線性化,得到系統的Jacobian矩陣為

為求出系統(1)在平衡點M處相應的特征值,令det(JM-λI)=0,解得特征值為:λ1=0.353,λ2,3=-0.654 9±1.259 5i.

同理解得平衡點N處的特征值為λ1=0.13,λ2,3=-0.216 8±1.251 3i,可見2個平衡點有1個特征值是正實數,而另外2個是一對共軛復數,因此2個平衡點都是第一類鞍點,顯然是不穩定的.由微分方程理論知這2個平衡點都不穩定,其中實部為負的特征根保證平衡點在某方向上有吸引性,使軌線收斂,正特征根保證平衡點在某方向有排斥性,使軌線螺旋發散.這從理論上證明了該系統存在混沌的可能性.

混沌吸引子的相鄰軌線呈現分離的趨勢,Lyapunov指數圖可以定量描述軌線收縮或者開展的量,采用四階Runge-Kutta算法對系統進行數值仿真,步長根據控制目標進行調整,系統的全局分岔圖如圖1(c)所示.由此可見,當分岔參數b遞增的時候,系統呈現出復雜的動力學行為.系統的全局Lyapunov指數譜如圖1(d)所示,與系統的全局分岔圖(圖1(c))完全吻合.

2 基于新混沌的數字圖像加密實現

2.1 算法描述基于混沌的加密流程如圖2所示.讀入原始圖像Ximage,大小為M×N的Lena圖像,A(x,y)(x∈[0,M-1],y∈[0,N-1])表示原始圖像在點(x,y)處的像素值,Ai(x,y)(x∈[0,M-1],y∈[0,N-1])(i=1,2,3)表示原始圖像在第i次加密后的像素值.基于圖像像素值替代的加密算法設計如下.

1)給出新混沌的系統參數(a,b,c)和系統初始值(x(0),y(0),z(0))作為密鑰,代入混沌系統(1),生成3個混沌序列(x,y,z).計算過程中,使用雙精度數以降低出現循環數據的可能性.

2)動力系統初期不會立刻進入混沌狀態,故加密時從混沌序列(x,y,z)的第1 000位開始取起,x=reshape(x(1 000:M*N+1 000-1),M,N)；y=reshape(y(1 000:M*N+1 000-1),M,N)；z=reshape(z(1 000:M*N+1 000-1),M,N).

利用排序函數對3個混沌序列進行排序并記下位置矩陣,用位置矩陣對圖像的R分量、G分量和B分量分別進行像素位置置換.

3)取x序列中每一個值小數點后的第5、6、7三位數字組成一個正整數進行模運算,將此整數對256取余,得到一個字節的無符號整數:

將無符號整數組成加密序列,對置亂圖像中的(i,j)位置的像素點的灰度值A(i,j)進行二進制位異或操作得到加密圖像.

2.2 數值試驗和安全性分析仿真實驗以Matlab 7.1為平臺,明文圖像選用大小分別為256×256的Lena彩色圖像,加密效果如圖3和圖4所示.

相鄰像素的相關性.為了檢驗原始圖像和加密圖像相鄰像素的相關性,從圖像中選取1 000對水平方向、垂直方向和對角方向相鄰像素對,用如下公式定量計算相鄰像素的相關系數:

從圖5和表1中可以看出,原始圖像的相鄰像素是高度相關的,而加密圖像的相鄰像素相關系數已經明顯降低,原始圖像的統計特性已經擴散到隨機的密文中.

表1 原始圖像和密文圖像相鄰像素的相關性系數分析Table 1 Correlation coefficients of original and encryption image

3 結論

本文提出一個彩色圖像加密算法,先通過新的最復雜吸引子產生的3個混沌序列生成位置矩陣對R、G、B三基色進行位置置亂,生成置亂圖像.為增強加密效果,再利用3個混沌序列對置亂圖像的三基色平面進行異或加密,直方圖顯示加密效果良好,并且相鄰像素的相關性極大降低,Matlab平臺數值仿真給出了3個方向的相鄰像素相關系數及圖像,驗證了此算法的適用性.

[1]Kocarev L.Chaos-based cryptography:a brief overview[J].IEEE Circuits and Systems,2001,1(3):6-21.

[2]Chen G R,Mao Y B,Chui C K.A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat maps[J].Chaos Solitons and Fractals,2004,21(3):749-761.

[3]廖曉峰,肖迪,陳勇,等.混沌密碼學原理及其應用[M].北京:科學出版社,2009.

[4]楊小平,付靜.一種混沌密碼體制的實現[J].四川師范大學學報:自然科學版,2004,27(4):431-433.

[5]龐朝陽,周日貴,丁從寶,等.量子算法及其在圖像處理中的應用[J].四川師范大學學報:自然科學版,2009,32(4):522-540.

[6]Ismail A I,Mohammed A,Hossam D.A digital image encryption algorithm based a composition of two chaotic logistic maps[J].Int J Network Security,2010,11(1):1-10.

[7]趙耿,李楊,方錦清.電子商務中混沌密碼算法的研究[J].廣西師范大學學報:自然科學版,2005,23(4):1-7.

[8]王雅慶,周尚波.基于分數階陳氏混沌系統的圖像加密算法[J].計算機應用,2013,33(4):1043-1046.

[9]靳冰,祝孔濤.基于小波和混沌的圖像置亂加密新算法[J].西華大學學報:自然科學版,2012,31(6):44-45.

[10]Behnia S,Akhshani A,Mahmodi H,et al.A novel algorithm for image encryption based on mixture of chaotic maps[J].Chaos Solitons and Fractals,2008,35(2):408-419.

[11]Gao T G,Chen Z Q.A new image encryption algorithm based on hyper-chaos[J].Phys Lett,2008,372(4):394-400.

[12]韓鳳英,朱從旭.基于Lorenz系統的自適應數字圖像加密算法[J].吉首大學學報:自然科學版,2011,32(4):39-41.

[13]Seyedzadeh S M,Mirzakuchaki S.A fast color image encryption algorithm based on coupled two-dimensional piecewise chaotic map[J].Signal Processing,2012,92(5):1202-1215.

[14]曾光輝,胡凱,佟維.基于Logistic均勻分布圖像置亂方法[J].物理學報,2011,60(11):11508-1-8.

[15]朱從旭,孫克輝.對一類超混沌加密算法的密碼分析與改進[J].物理學報,2012,61(12):120503-1-11.

[16]高智中,韓新風,章毛連.一個新的混沌系統及其電路仿真[J].四川師范大學學報:自然科學版,2012,35(2):288-292.

[17]褚衍東,李險峰,張建剛,等.一類新自治混沌系統的計算機仿真與電路模擬[J].四川大學學報:自然科學版,2007,44(3):550-556.