接觸角螺旋升角對滾柱絲杠副傳遞效率的影響

李迎峰，楊家軍，廖雯俊，朱繼生

（1華中科技大學(xué) 機械學(xué)院，湖北 武漢430074；2山東博特精工股份有限公司，山東 濟寧272071）

作為一種新型的直線傳動單元，行星滾柱絲杠副相比滾珠絲杠傳動來說具有承載能力強、摩擦系數(shù)小、剛性高，結(jié)構(gòu)緊湊，磨損小，壽命長，速度快，安裝及維護方便的特點。目前，國內(nèi)對行星滾柱絲杠副研究的比較少，且研究主要集中在行星滾柱絲杠副的均載特性、平穩(wěn)性、剛度、預(yù)緊力、軸向彈性變形、行星齒輪優(yōu)化等方面［1－6］。本文將從行星滾柱絲杠副正傳動效率角度著手進行分析，找出其與螺旋升角和接觸角的關(guān)系曲線，并對螺旋升角和接觸角進行優(yōu)化設(shè)計［7］，得出最優(yōu)值。

1 行星滾柱絲杠副數(shù)學(xué)模型

行星滾柱絲杠副主要由滾柱、絲杠、螺母、齒輪、支撐環(huán)組（圖1）［8］。

圖1 行星滾柱絲杠副的三維模型

絲杠與滾柱之間的接觸點沿著絲杠的螺旋面上，接觸軌跡為螺旋線。在本文分析的接觸點全部位于螺旋軌跡線上。由于滾柱絲杠副特殊的結(jié)構(gòu)，滾柱與絲杠和螺母之間都有多個接觸點，并且螺母與滾柱接觸點位置坐標和絲杠與滾柱接觸點位置坐標表示方法很相似（圖2）。

圖2 滾柱絲杠副接觸點在笛卡爾坐標系和Frenet標架中的位置示意圖

為了便于滾柱絲杠副接觸點位置關(guān)系的建立，設(shè)笛卡爾坐標系xyz，及相對應(yīng)的矢量坐標為i，j，k，其z軸與絲杠軸線重合（圖1）。建立以絲杠軸線用單位向量t，n和b表示的Frenet標架為參考系［9］，建立接觸點位置方程。

為了方便推導(dǎo)，進行如下符號定義：r表示接觸點的螺旋半徑；λ表示接觸點的螺旋角度；l表示螺距；下標S，N，R，分別代表絲杠，滾柱和螺母。設(shè)接觸點軌跡線上任意一點所在的角度位置為θk，則接觸點的位置矢量

此外，螺旋角、螺旋半徑和螺距之間的關(guān)系為

Frenet坐標系中的單位矢量可用笛卡爾坐標系表示為

笛卡爾坐標系與Frenet標架之間的轉(zhuǎn)換可以表示為

因此，接觸點的位置向量可以用Frenet標架表示為

如圖3所示，給出了絲杠與滾柱之間接觸點的位置關(guān)系，接觸點位于由單位法線向量n和單位法線向量b組成的法線平面上。

圖3 滾柱在nb平面上的接觸點受力分析

由滾柱絲杠幾何關(guān)系可知，絲杠和螺母上螺旋線的螺距是相等的，即lS＝lN；滾柱和螺母上螺旋升角也相等，即λN＝λR，絲杠副的螺旋半徑關(guān)系為rN＝rS＋2rR。螺母和滾柱的螺距與螺旋半徑之間的關(guān)系分別為lN＝2πrNtanλN和lR＝2πrRtanλR，則絲杠副中螺旋升角和螺距之間的關(guān)系可以表示為

因此，對于同一個的螺距比值，可以有多組不同的螺距值。滾柱為單頭數(shù)，如果絲杠的頭數(shù)為5或者6，則螺距比值lS／lR為5或者6，螺旋半徑的比值rS／rN為3或者4。滾柱等距的排在絲杠周圍，在實際中滾柱一般為9～13個，相鄰兩個滾柱之間的夾角為2π／9－2π／13，則相鄰兩個滾柱與絲杠的接觸點軌跡相對關(guān)系可以用一個相位角的函數(shù)進行描述。

2 行星滾柱絲杠副傳動效率分析

效率η為輸入功率與輸出功率的比值，可以表示為

式中：Fa為螺母所受軸向力；M為絲杠驅(qū)動力矩；θS為絲杠旋轉(zhuǎn)角度；L為絲杠導(dǎo)程。

在不考慮摩擦力的情況下，可得

聯(lián)合式（2）、（9）－（11）可得：η＝1。

在實際情況中，摩擦力是存在的，而且對運動產(chǎn)生著重要影響，使效率小于1，由行星滾柱絲杠為螺旋結(jié)構(gòu)，其摩擦角的表達式可表示為

式中：ρ為當量摩擦角；fr為滾動摩擦系數(shù)；rRP為當量滾珠半徑。

加入當量摩擦角可得，相應(yīng)的接觸點法向向量

相應(yīng)的接觸點切向向量

因此，作用在接觸點的軸向力由法向力FaN和摩擦力Faf在軸向的投影組成，分別為：

式中，fk為庫侖動摩擦系數(shù)。

因此，考慮滾動阻力和滑動摩擦力，可得軸向力Fa＝FaN＋Faf，即

因此，綜合（9）、（11）和（17），考慮存在滾動阻力和Z方向滑動情況下的效率

當取fr＝1×10－5 m，fk＝0.055，rS＝0.05 m時，采用 Matlab進行計算［10］，可得到如圖4所示的效率與螺旋升角和接觸角之間的變化關(guān)系。

圖4 接觸角β和螺旋升角λ與效率η的關(guān)系圖

從如圖5可知，絲杠的螺旋升角及接觸角對行星滾柱絲杠副的效率有著較大影響。

3 傳遞效率的影響因數(shù)分析

以傳動效率作為目標函數(shù)，對螺旋升角和接觸角分別進行定量定性分析，來找出其對行星滾柱絲杠副傳遞效率的影響曲線。

3.1 螺旋升角對傳動效率的影響

從圖5中可知，當螺旋升角在10°以內(nèi)時，效率值隨螺旋升角的增大而顯著提高。同時，效率值隨接觸角的增大而更加穩(wěn)定，這是由于當螺旋升角較小時，滾珠絲杠副的反向間隙變小，從而傳動效率較高；而當螺旋升角過大時，摩擦力也隨之增大，從而致使傳動效率降低。故，螺旋升角λ一般選擇在5°左右。

圖5 螺旋升角λ與效率的關(guān)系圖

3.2 接觸角對傳動效率的影響

從如圖6可知，行星滾柱絲杠副的傳動效率隨接觸角的增大而提高，最后趨于平穩(wěn)。當λ＝2.5時，效率接近穩(wěn)定值時，接觸角β在60°左右。同時，在一定范圍內(nèi)隨著隨著螺旋升角λ的增大，其趨于穩(wěn)定值得接觸角β越小。因此，一般行星滾柱絲杠副的接觸角選為45°左右。

圖6 接觸角β與效率η的關(guān)系圖

4 結(jié)論

1）對行星滾柱絲杠副受力特點進行分析，推導(dǎo)出來了行星滾柱絲杠副的正傳動效率，并繪制了效率曲線，得出螺旋升角和接觸角對傳動效率的影響情況。

2）在10°范圍內(nèi)，隨著螺旋升角λ的增大，傳動效率明顯提高，得出了螺旋升角λ最優(yōu)值為5°；隨著接觸角β的增大，傳動效率顯著提高，接觸角β在60°左右時，傳動效率趨于穩(wěn)定，最終通過曲線的分析得出β在45°為最佳值。通過分析接觸角和螺旋升角對行星滾柱絲杠副傳遞效率的分析，得到了最優(yōu)值。

［1］楊保哲.行星滾柱絲杠副均載特性及平穩(wěn)性的分析與研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)圖書館，2012.

［2］韋振興.行星滾珠絲杠副剛度及效率的分析與研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)圖書館，2011.

［3］韋振興，楊家軍.行星滾柱絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計［J］.機械傳動，2011，35（06）：44－47

［4］馬尚君，劉 更.行星滾柱絲杠副軸向彈性變形的有限元分析［J］.機械傳動，2012，36（07）：78－98.

［5］楊家軍，楊保哲.預(yù)緊力對行星滾柱絲杠副軸向變形及摩擦的影響［J］.機械傳動，2011，35（12）：16－22.

［6］ 靳謙忠，楊家軍.滾珠絲杠副和行星式滾柱絲杠副靜剛度的比較研究［J］.機械科學(xué)技術(shù)，1999，18（02）：230－232.

［7］孫靖民，梁迎春，陳時錦.機械結(jié)構(gòu)設(shè)計［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004：199－201.

［8］Plerre C Lemor.The roller screw，an efficient and reliable mechanical co mponent of electro－mechanical actuators［J］.Energy Conversion Engineering Conference，1996，1（08）：215－220.

［9］Kreyszig E.Advanced Engineering Mathematics［M］.New Yor k：Wiley，1983.

［10］陳 杰.Matlab寶典［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006：224－364.