高中物理有關“天體運動”的解題剖析

李興

摘 要 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，是自然科學最偉大的成就之一。本文從實際例子出發(fā)，總結了萬有引力定律在實際應用中的幾種類型和解決這些問題的基本方法，闡述了“化整為零”等物理思想。

關鍵詞 質心間距 軌道半徑 星球半徑 自轉周期

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

High School Physics Related to "Celestial Movement"

Problem-solving Analysis

LI Xing

（Lanzhou No.58 Middle School， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract Discovery of the law of gravity is one of the greatest achievements of natural science. In this paper， starting from the practical examples， summarized the law of gravity several types and basic methods to solve these problems in practical application， describes the "piecemeal" and other physical ideas.

Key words centroid spacing； orbital radius； planet radius； rotation period

萬有引力定律揭示了天體運動的規(guī)律，在天文學上和宇宙航行的計算方面有著廣泛的應用。學生在這一章節(jié)的學習中，由于公式較為繁雜，解法靈活多變，對一些相近的概念容易混淆，從而出現(xiàn)解題失誤。在多年從事高中物理一線教學的過程中，筆者整理總結了兩類相近的物理量，加以對比剖析，以求能幫助學生走出誤區(qū)，正確地掌握解題方法。

1 三個距離的聯(lián)系與區(qū)別

在這一章中，很多題目要求根據(jù)一些環(huán)繞天體（如人造衛(wèi)星等）來解決中心天體的某些參數(shù)。在這一類問題中，有關星球半徑、軌道半徑和質心間距這三個長度物理量的處理，往往成為了一些學生解題中的困惑之處。不能正確處理這三個長度關系，是學生在解決這類問題中常常出現(xiàn)的一個易錯點。

首先我們來對三種長度物理量來進行區(qū)分。

（1）質心間距：萬有引力定律告訴我們：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與物體質量乘積成正比，與它們距離的二次方成反比。從公式 = 可看出，這里的指的是兩物體質心間的間距。

（2）軌道半徑：本章內(nèi)容有很多問題就是讓環(huán)繞天體僅在中心天體的萬有引力下做勻速圓周運動，由向心力公式 = 可看出，這里的是指物體做勻速圓周運動的軌道半徑。

（3）星球半徑：在求解某一未知天體的密度問題中，由球體體積公式 = 引出第三個長度，此處的是指星球半徑。同時，在有些問題中由于已知條件里包含了某一星球表面的重力加速度，往往要利用黃金代換 = （注：該等式并非一級公式，應用時應寫出原始公式）將未知量用已知量表示，也就要求引入星球半徑。

綜上，只有正確理解了這三個距離的關系，才不會在解題時出現(xiàn)約分錯誤。

應注意到：雙星問題模型中，三者皆不相等；環(huán)繞天體繞中心天體在高軌道上做勻速圓周運動時，圓周運動的軌道半徑等于環(huán)繞天體和中心天體質心間距；在近地衛(wèi)星模型中，三者相等。下面我們通過幾個具體事例來分析。

例1：（2010年全國卷Ⅰ）如圖1，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數(shù)為G。

圖1

（1）求兩星球做圓周運動的周期；

（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2。已知地球和月球的質量分別為5.98？024 kg和7.35？022 kg。求T2與T1兩者平方之比（結果保留3位小數(shù)）。

【解析】：（1）這是一道典型的雙星問題。該類問題的特點是兩星球的周期相等，并在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，故而向心力也相等。但解題易錯點在于兩星球的質心間距并不等于各自做勻速圓周運動運動的軌道半徑。即上文提到的 ≠ 。

設星球A、B各自做圓周運動的半徑分別為、，周期為T，則根據(jù)萬有引力定律對A衛(wèi)星分析可知： = ，式中 = （ + ）；又∵ = ，聯(lián)立解得： = 。

（2）T2的求解方法中，就涉及到了環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動這類模型，其中兩星球的質心間距等于環(huán)繞天體做勻速圓周運動的軌道半徑，即上文提到的 = 。

設地球和月球的球心間距為，地球和月球質量分別為、則由第一問可知： = ；當月球繞地球做勻速圓周運動時，地球對月球的萬有引力提供了月球繞地球做勻速圓周運動的向心力，即有： = ，解得： = ；代入數(shù)據(jù)解得：（）2 = 1.012。

【點評】：通過比對不難發(fā)現(xiàn)，該題涉及的問題即為上文中提到的質心間距以及軌道半徑這兩種不同的距離之間的差別。在解題時應格外謹慎，不能盲目套用公式。

例2：在某行星上以初速度自地面豎直向上彈射一個小球，用秒表測得小球經(jīng)時間落回地面，已知該行星的半徑為，如果在該行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，則衛(wèi)星在該行星表面附近環(huán)繞的周期為多少？（行星表面無空氣）

【解析】：分析題目可知，該衛(wèi)星是近地衛(wèi)星模型。在上文中提到過，對近地衛(wèi)星模型而言，衛(wèi)星和星球的質心間距等于該衛(wèi)星的軌道半徑，也等于該星球的半徑。即 = = 。

設該行星表面的重力加速度為，質量為，衛(wèi)星質量為。則由運動學規(guī)律： = ；在星球表面，有： = ；衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力由行星對其的萬有引力提供，故有： = ；又由題意： = = ，聯(lián)立解得： = = = 。

【點評】：在這道題中，所涉及的長度關系是上文中提到的質心間距、星球半徑、軌道半徑三者相等的情況。這類問題的解決過程中，要特別注意黃金代換式的合理應用。

2 兩個周期的區(qū)別

（1）公轉周期：公轉周期是行星繞恒星或是衛(wèi)星繞行星轉動一周所用的時間。衛(wèi)星的公轉周期一般都由萬有引力提供向心力這條思路求解，即由 = 解得，又由于公轉周期一般比較容易測得，有時候也可通過反向代入，解出有關中心天體的一些具體參數(shù)。

（2）自轉周期：自轉周期是一個天體沿自轉軸自轉一周所需的時間。

要注意到二者一般并不相等，比如地球的公轉周期約為365天，但自轉周期僅有24小時。某星球自轉周期求解是學生的一大難點，很多學生在解題過程中也容易混淆二者。以下面為例：

例3：已知地球質量為，半徑為，地球表面赤道處重力加速度為，萬有引力常量為。試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出地球自轉周期。

【解析】：很多同學會直接由 = 得出錯解 = ；實際上這里解出的T并非地球自轉周期，而是近地衛(wèi)星貼著地球表面在飛行時的公轉周期。事實上，題目中給的條件“赤道處的重力加速度”是解決本題的關鍵。我們知道，在地球表面，萬有引力分為了兩個分力，其一是重力，其二是物體隨地球自轉的自轉向心力。應有，僅僅在地球的赤道處，由于這三個力都指向地心，所以可以將該矢量式寫成標量式。其中，利用自轉向心力可以求解地球自轉周期。

設地球自轉周期為，赤道處有一質量為的物體正隨地球自轉，則應有 = + ，即 = + ，解得： = 。

【點評】：這道題目是一道典型的自轉周期的求法的題目。通過這道題目的講解，力求能讓學生對兩種不同的運動周期加以區(qū)分，在解題時能夠選擇正確合理的方法進行求解。

練習：質量為的物體在某星球“赤道”的重力比“兩極”小10%，該星球的自轉周期為，則當該行星的自轉角速度為多少時，物體能在“赤道”上飄起來？

【解析】：在星球上，兩極處的萬有引力完全等于重力，赤道處的萬有引力等于重力和自轉向心力的代數(shù)和。已知自轉周期，即可以表示出自轉向心力，從而解出近地軌道上的萬有引力，由該萬有引力提供向心力，即可解出需要飄起來所對應的角速度了。

= + ，∴ = 10 ，又∵物體漂浮，即有 = ； = ，即10 = ，解得： = 。

【點評】：這道題目很充分地利用了自轉周期的特點，注意到赤道和兩極處的自轉向心力的不同，從而引出了萬有引力和自轉向心力的聯(lián)系，進而解出了自轉角速度。

總之，解物理習題的關鍵是弄清定律、公式中關鍵物理量的含義，尋找正確的解題思路，即看懂題意，就是要明確找準適合的定律，并注意題目中所敘述的物理現(xiàn)象，挖掘“隱含條件”，弄清物理量適用范圍，若條件較多，涉及量較多，就應“化整為零”，逐項分析每一過程所遵循的物理規(guī)律，然后一一列出方程。（不要急于代入數(shù)據(jù)）搞清相近物理量之間的區(qū)別與聯(lián)系，恰當運用物理公式和數(shù)學方法就每一過程組成的方程聯(lián)立求解，問題便迎刃而解。

參考文獻

[1] 王成洋，王正標.萬有引力教學中應分清的幾個概念[J].中學物理教學參考，1999（Z1）.