基于F-S-δ模型的實物期權定價與文化產業投資

姬新龍

（蘭州商學院 金融學院，蘭州 730020）

0 引言

任何投資決策都有不確定性，不管是實業投資還是虛擬資本市場投資，這種不確定性風險是客觀存在的。不確定性有兩個特征：隨機性和模糊性。其中，隨機性是指事件中相關變量的外在隨機變化，而模糊性主要指事件內在結構，比如相關參數及其所含信息。在實業項目投資領域，基于主觀認識的模糊性判斷似乎存在的更廣，因此模糊性是一種相對于隨機性更為深刻的不確定性。迄今為止，大部分已有的虛擬資本市場中的投資都是假定投資者面臨的不確定性是隨機不確定性，處理這種不確定性的理論基礎是概率論，而且由于金融工程的迅速發展，經典B-S期權定價模型、二叉樹模型等更是給虛擬市場投資領域的不確定性提供了很好的價值評估支持。但是，自Zadeh教授（1965）提出模糊數學理論之后，人們逐漸認識到模糊理論更加適合描述投資決策，尤其是適合缺乏歷史可參數據、投資決策不可逆的實業投資領域，再加上金融期權的概念延伸，也即實物期權理論的進一步完善，也使得在更一般的實業投資領域有了更好的價值評估理論基礎。隨機波動、模糊理論等不確定性領域的理論發展為實物期權定價和實業投資提供了一種更符合實際的決策分析框架，在實踐中有著非常重要和深遠的意義。

1 引入隨機波動、紅利收益的實物期權定價

1.1 模型假設

文化產業項目投資周期比較長，投資者在拿到項目之后，一般并不是立即開始投資，其投資戰略是在充分考慮各種影響因素之后的綜合規劃。因此，不管是一次性投資，還是分階段投資，項目的標的資產和預期投資成本都會因環境的變化而表現出隨機變動特征。此外，文化產業項目投資中還存在無形資產增值的潛在收益特征，為了便于分析，在模型推導中將假設這一紅利收益是固定的，用δ表示。

1.2 連續型B-S實物期權模型推導

對于初始階段需要一次性資金投入的文化產業投資項目，決定此類項目投資價值的兩個關鍵因素是初始的投資成本和項目整體的預期收益。如果以實物期權的投資思想來評判該項目的話，則投資成本可以理解為執行價格Xt，預期收益可以理解為標的資產價格St。由于預期收益受到各種不確定因素的影響，本身又難以預測，因此可假設項目的預期收益也即標的資產價格服從幾何布朗運動：

其中，μ是項目獲得投資注入后的期望收益率，σ是不確定性引發的波動率，dw表示標準布朗運動。

傳統的連續時間狀態下經典的歐式期權B-S定價模型公式如下：

其中，C是期權價格，S0是標的資產價格，X代表執行價格，T是項目投資期，r是無風險利率，N(·)表示標準的正態分布函數。

當假定存在一個標的資產的初始價格S0時，根據伊藤積分公式，式（1）可以變形為：

將式（3）代入式（2），并根據布萊克-斯科爾斯在推導B-S模型公式的風險中性環境假設，可得基于隨機波動狀態下的歐式實物期權定價公式為：

其中，St和Xt為隨機變量，分別代表項目預期收益和投資成本；δ由伊藤積分導出，可以理解為項目潛在價值增值所帶來的紅利；T、r、N(·)等參數與經典B-S模型一致。

1.3 離散型二叉樹實物期權模型推導

現實中大部分文化產業項目投資是長期的和不可逆的，其投資需要多階段完成。階段性項目投資實際上給予決策者一個選擇權，而選擇權是有價值的，在不確定的投資環境中，選擇權的存在可以有效降低投資項目的風險。但這種階段性投資方法使得投資決策變得更加復雜，理論上也使得項目的價值評估變得較為復雜。

分階段的項目投資所暗含的期權價值類似于二叉樹模型的期權定價過程，Cox等提出的這種簡單化的定價模型的出發點就是便于理解和更為貼近實踐。對于二叉樹模型的簡單理解如下圖1，它是在離散時間狀態下，假設項目的價值變化只存在兩種狀態，一個是上升u，一個是下跌d，則標的資產的價值變化也將存在兩個狀態，uS和dS。將這兩個狀態與該時間點Δt的執行價格（項目投資成本）做期權的內在價值比較，即可得出Δt時刻的期權價值 fu和 fd，再利用倒推法反向計算出初期的期權價值。二叉樹模型理解較為簡單，但由于假設條件是離散時間狀態，因此計算誤差可能較大，但當把投資期限T進行多期分割后，便可較為真實的刻畫現實的投資環境。

圖1 二叉樹模型的簡化推導

推導二叉樹期權定價公式的方法有很多，其中最基本和簡單的思路就是復制策略。假設市場是有效的，則可以構建一個標的資產St和無風險資產Bt的投資組合，令該組合的價值等于項目投資初期的期權價值 ft，則當標的資產價值出現上升和下跌變化時，可得如下方程組：

因為在風險中性的假設條件下，在t+dt時刻，標的資產存在由此可得：

將（7）式代入（6）式，得：

采用Cox（1979）[1]等的研究方法，并結合上文關于項目存在固定紅利δ的假設，在標的資產價格上漲幅度u和下跌幅度 d都確定的情況下，ud=1，且u=σ，根據幾何布朗運動規則，則標的資產價值將遵循新的隨機波動變化如下：

將（9）式代入（7）式，得：

綜合上述分析，對于離散型實物期權價值的二叉樹模型計算可歸納如下：

對于分階段投資，項目內含的實物期權會表現出較多的美式期權性質，當標的資產價值存在上漲和下跌的隨機變化時，其初始的實物期權價值要通過每一節點的內在價值對比后經過反向貼現來獲得，上式所描述的期權定價過程滿足經典的貝爾曼動態最優規劃方程，這與現實的項目投資決策更為吻合。

但不管是連續B-S實物期權模型，還是離散二叉樹實物期權模型，上述推導只是考慮了變量St和Xt的隨機波動變化，而對不確定性的另一模糊性特征并未考慮。因此文章接下來將引入模糊理論對期權定價模型中涉及的相關隨機變量和參數變量進行模糊量化處理。

2 模糊理論與F-S-δ實物期權模型

2.1 模糊數學與相關理論

項目價值的評估是投資活動中的必要環節，是一項前瞻性工作，必須考慮并處理大量的變量，而這些變量往往是項目在未來經營期間內極為重要的決策因素。實務中模型中的預期現金流收益值、無風險利率、方差并不是定值，而是在一定范圍內波動，顯然直接給出參量的值是不符合實際的，此時基于模糊數學的參變量估值可以彌補這種不足，這也是當前模糊實物期權價值評估成為實業投資領域重要的決策理論的原因之一。

模糊數學不僅是一門數學理論,還是一項重要的數學工具，本文僅將模糊理論中的相關定義與定理應用于實物期權的變量處理中，相關的公式推導不再詳細介紹。

定理1[2]：對論域U上模糊集合若，則稱為模糊集合的 λ截集。

定義2[2]：若模糊集合為三角模糊數M(a，b，c)，且a＜b＜c，m，n≥0，則其隸屬度函數為：

其中，參數m,n反映了隸屬度函數的變化程度，通常情況下，模糊數越不確定，變化越劇烈，則這兩個數值就越大。該兩個參數一般由專家根據項目投資現狀進行評估給出。

定理3[3]：由的λ截集性質和分解原理，對滿足定義2中的三角模糊數=M(a，b，c)，其模糊均值和方差可表示如下：

2.2 基于F-S-δ的實物期權定價模型

對于文化產業項目來講，項目內含實物期權的標的資產價值是由項目凈收益現金流貼現值來表示的，項目的執行價格可由投資成本來表示。由于現實中預期現金流是一個不確定的數值，需要預測和估計，而投資成本在實際運營中也會處于不斷的調整，因此，令這兩個隨機變量為模糊數，分別由和來表示。假設和是三角模糊數，且，則由模糊截集定理，可得，此處的分別代表模糊數的最大值和最小值，也即項目投資的現金流貼現值和投資成本支出都處在一個相對穩定的區間內波動，這與現實的投資現狀十分吻合。大部分實踐中的項目投資都是在對預期收益和預期投資一定范圍內的評估和決策，因此用模糊理論來優化項目內嵌的實物期權價值計算是較為合理的。

由模糊理論相關定義，當影響實物期權定價的隨機變量用模糊均值和方差處理后，可以得到標的資產價值的波動率和投資成本的波動率。即把和代入模糊均值和方差公式后，則有和，在給定無風險利率r，項目投資預期紅利率δ，和經過模糊處理的變量均值和相應的波動率后，結合前文式（4）和式（11）期權定價的推導，可得基于F-S-δ的實物期權定價模型如下式（14），其中式子左側部分代表連續型模型，右側代表離散型模型。

3 算例分析

3.1 連續型F-S-δ實物期權定價應用

某動漫技術類文化產業項目，當技術升級換代時，需要一定的技術研發和投入，隨后推向市場進行運營獲益。此項目屬一次性投資類項目，可考慮用連續型F-S-δ實物期權定價。假設該項目投資成本=M(7 00’800’900) ，期望收益=M(1 000’1100’1200) ，項目投資期5年，無風險利率采用5年期國債利率r=5.41%。根據行業經驗，令模糊數處理后的項目潛在紅利收益為0.03。

由于對一般的投資項目來講，在成本支出和預期收益都比較模糊時，符合理性的判斷是投資者更偏向較高的收益和較低的成本，因此，令模糊數的參數m=1,n=2，同時將上述基礎數據代入模糊理論所給出的均值方差公式，則可得最終得考慮紅利和不考慮紅利時的實物期權價值結果見表1：

表1 經典B-S模型與F-S-δ模型的期權定價對比

圖2 連續型F-S-δ實物期權定價變化圖

表1給出了經典B-S模型下的期權定價和基于模糊處理的F-S-δ模型的期權定價。從表中數據可知，不管項目是否存在紅利收益，模糊期權定價都高于經典期權定價，表明當項目預期收益處在一定的變化范圍時，其內嵌的期權價值將表現的較高，這一現象符合現實狀況。但當考慮紅利存在時，經典期權定價和模糊期權定價都小于無紅利存在的狀況，這表明紅利的存在使得項目的部分預期收益變的較為明確，潛在的縮短了項目的投資周期，因而使得內嵌期權價值相對變小。圖2給出了連續型F-S-δ模型下的實物期權定價動態變化圖，其時間狀態是連續型的，因此在標的資產價值變化的不同時刻點會有一個相應的實物期權價值存在，且隨著項目預期收益的增多，項目內涵的期權價值也就越高，這一現象同樣與實業投資現狀相吻合。

3.2 離散型F-S-δ實物期權定價應用

某文化旅游園區的投資項目，需分階段投資，考慮用離散型F-S-δ實物期權定價。假設首期投資包括基礎設施與原有旅游資源整合，首期完成后項目即可運營，預期收益是每年100萬，投資額大約300萬；第二期投資預計200萬，完成后即可使項目未來年預期收益達到200萬；第三期投資是對項目整體的完善，需繼續追加投資約500萬，隨后項目進入正常運營，年收益變為300萬。假設每期投資之間的間隔為1年，其投資程序及內嵌期權價值如下圖3所示。

圖3 階段性投資項目的實物期權定價示意圖

此類項目的實物期權價值包含在兩個投資階段之間，其中期權F2內容的理解為：投資者以首期投資買入了一個項目凈收益在T1時刻的貼現值為V1的標的資產，并以第二期所追加投資I2為執行價格，期限為1年的實物期權。同理，在第二期投資和第三期投資之間存在實物期權F3。

假設該項目總投資期限為5年，無風險利率r=5.41%。將上述基礎數據代入上文模糊理論所給出的均值方差公式，則可得此外，為了對比紅利因素對項目實物期權價值的影響，此處仍假設δ～為0.03，計算結果見表2：

表2 離散型F-S-δ實物期權定價

表2給出了離散型F-S-δ實物期權的定價，該模型是基于二叉樹模型的推導，其定價過程表現出貝爾曼動態規劃的性質，比較符合實業投資的決策過程。這一定價過程理解簡單，但計算較為復雜。從表中可以看出，當考慮項目的潛在紅利收益時，有紅利存在的離散F-S-δ模糊期權定價都小于無紅利存在的狀況，這與連續型模型的結果一致，再次表明紅利的存在使得實業項目的部分預期收益得以提前實現，潛在的縮短了項目的投資周期，因而使得項目內嵌實物期權價值相對變小。

4 結束語

文化產業項目大多是不可逆的投資，一旦失敗，其沉沒成本將很高，因此項目價值評估相對很重要。本文結合文化產業特征，從實物期權定價的視角研究了文化產業項目內嵌期權價值的問題，通過引入隨機波動、模糊理論等描述不確定性的相關知識，在經典的B-S期權定價模型和二叉樹模型定價基礎上，推導了模糊隨機期權定價方法。考慮到文化產業項目存在潛在紅利收益的特征，后將紅利δ因素納入到定價過程，進而分別得出了基于B-S模型和二叉樹模型的連續型和離散型F-S-δ實物期權定價模型，并用實際的案例對模型結論進行了驗證。數值分析結果表明，考慮紅利因素的模糊隨機方法處理的實物期權價值較為符合實業投資現狀。

由于政府扶持及產業潛力，文化產業正在吸引大量的投資資金，然而這些投資能否真正推動文化產業發展，關鍵還要做好具體的文化項目價值評估及投資決策。文化產業起步較晚，缺乏可參考數據，又有典型的風險投資特征，因此基于傳統的NPV等價值評估的投資判斷方法幾乎行不通。實物期權理論往往被用于對內嵌期權價值的實業項目預算評估，且在動態的投資環境中，決策者需要知道投資利潤和成本支出以便很好的平衡風險和機會，與隨機波動、模糊理論相融合的模糊實物期權定價正好可以彌補這些不足，并為處理文化產業項目投資決策提供了一種更符合現狀的理論模型和系統方法。

[1]Cox,J.Ross,M.Rubinstein.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economics,1979,7(3).

[2]張維功,何建敏等.基于B-S公式的模糊實物期權研究[J].統計與決策,2009,(3).

[3]Christer Carlsson,Robert Fuller.On Possibilistic Mean Value and Variance of Fuzzy Numbers[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,(122).