非參數(shù)回歸模型的局部似然估計方法及應用

張東云

（河南師范大學 商學院，河南 新鄉(xiāng) 453007）

0 引言

非參數(shù)回歸模型自20世紀70年代以來，得到了飛速的發(fā)展和應用，其特點是回歸均值函數(shù)的形式可以任意。正是由于這種對總體分布的假設條件較寬，非參數(shù)回歸模型有著更廣泛的應用前景。Stone提出了非參數(shù)回歸估計的核函數(shù)估計方法，該方法引起了廣泛的重視。Fan和Gijbels詳細地闡述了局部多項式估計，此方法已被廣泛地應用與各種回歸問題的研究。

本文主要研究非參數(shù)異方差回歸模型中回歸均值函數(shù)和回歸方差函數(shù)的局部極大似然估計，其中，我們利用的技巧是局部線性擬合。考慮到回歸方差函數(shù)的非負性，我們解決的方法是對方差函數(shù)的對手進行局部線性擬合，保證了方差函數(shù)的局部估計的非負性。另外，本文利用非參數(shù)異方差回歸模型的局部極大似然估計方法，對我國城鎮(zhèn)居民消費支出與可支配收入之間的關系進行了實證研究，結(jié)果表明，非參數(shù)回歸的局部似然方法比普通的最小二乘方法有更好的擬合效果。我們認為，由于改革的進一步深入，經(jīng)濟生活中的不確定因素日益增多，所以人們很難對未來的可支配收入作出理性的預期。因此，居民的消費行為是一個隨時間變化的過程，并且在不同時期存在顯著的差異性，而傳統(tǒng)的計量模型很難解釋居民消費行為的這種時變特征。本文把非參數(shù)異方差回歸模型的非參數(shù)估計理論應用于我國城鎮(zhèn)居民消費支出與可支配收入的實證研究中，能更好地捕捉居民消費行為的這種時變特征。

1 局部極大似然估計方法

考慮如下非參數(shù)異方差回歸模型：

其中Y是響應變量，X是協(xié)變量，ε是標準正態(tài)隨機變量，且與X獨立。這里，分別稱函數(shù)m(x)=E(Y|X=x)和v(x)=Var(Y|X=x)為回歸模型(1)的回歸均值函數(shù)和回歸方差函數(shù)。下面我們利用局部極大似然估計方法來估計回歸均值函數(shù)和回歸方差函數(shù)。

設 {(Xi,Yi),i=1,2,…,n} 是模型(1)的樣本觀測值，則對給定的X=x，樣本的局部對數(shù)似然函數(shù)為

其中 Kh(·)=K(·/h)/h ，h 是一個合適的帶寬參數(shù)，K(·)是一個非負的權函數(shù)，稱其為核函數(shù)，本文取為Epanechnikov核 ，即 ：K(x)=(1-x2)I{|x|≤1}，這 里 I{|x|≤1}=

對于(2)式中的回歸均值函數(shù)和回歸方差函數(shù)，我們利用局部逼近的方法。即，對給定的X=x，令

考慮到回歸方差函數(shù)是一個取值為正的函數(shù)，這里我們采用局部對數(shù)線性擬合，即，對給定的X=x，令

將(4)式和(5)式代入到(3)式，得

求(6)式的最大值點的具體步驟如下：

步驟1：首先固定 v0和v1，(6)式分別關于 μ0和 μ1求偏導并令其為零，可以求得最大值點，記為

(A1)均值函數(shù)m(x)和方差函數(shù)v(x)二階連續(xù)可導。

(A2)核函數(shù)K(·)是對稱的密度函數(shù)且滿足Lipschitz條件。

(A3)X的密度函數(shù)g(x)在某個區(qū)間[a,b]上可微。

(A3)帶寬參數(shù)h=h(n)→0，且對某個δ＞0，nh2+δ→∞。

定理1在條件(A1)-(A4)下，當n→∞時，對[a,b]上的內(nèi)點x，有

定理的證明見文獻[4]。

2 城鎮(zhèn)居民消費與收入的實證分析

本文的研究樣本是我國城鎮(zhèn)居民消費支出額及可支配收入的歷史數(shù)據(jù)(如表1)，數(shù)據(jù)跨度為1990～2011年，樣本容量n=22。數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計年鑒》。

令Y為城鎮(zhèn)居民的消費支出額，X為城鎮(zhèn)居民的可支配收入。為便于比較，先用最小二乘估計法估計出我國城鎮(zhèn)居民的消費與可支配收入的回歸函數(shù)如下

Y=547.4+0.68X

然后，利用第2節(jié)的非參數(shù)回歸模型的局部似然估計方法再進行非參數(shù)估計，并采用第2節(jié)所述的帶寬選擇方法選擇最優(yōu)帶寬參數(shù)為hopt=317。表2分別給出了利用最小二乘方法和局部極大似然估計的方法所得到的城鎮(zhèn)

表1 城鎮(zhèn)居民消費支出額與可支配收入的歷史數(shù)據(jù)

最小二乘法的均方誤差為MSE1=174.48，局部極大似然法的均方誤差為MSE2=86.50。

從表2可以看出，由局部極大似然估計方法得到的消費支出的擬合值更接近于消費支出的真實值，并且其均方誤差更小。這意味著，非參數(shù)回歸模型的局部極大似然估計法比普通最小二乘回歸估計法的精度更高。因此，對于城鎮(zhèn)居民消費支出與可支配收入的動態(tài)關系，利用非參數(shù)回歸模型進行擬合的效果更好。

表2 1990-2011年城鎮(zhèn)居民消費支出的擬合結(jié)果

消費的彈性系數(shù)反映了影響因素居民可支配收入的相對變化引起居民消費支出的相對變化。根據(jù)非參數(shù)異方差回歸模型的局部似然估計的結(jié)果，計算出了1991～2011年城鎮(zhèn)居民消費的彈性系數(shù)，其變化走勢如圖1所示。由圖1可以看出，從1991～1999年，消費結(jié)構(gòu)的彈性系數(shù)由明顯的震蕩上升趨勢，這主要是由于在該階段，雖然人們的生活水平大幅度提高，但是增加的可支配收入大多也用于消費支出。從2000年以后，彈性系數(shù)來回震蕩，并稍微有下降趨勢，這主要是因為2000年后，城鎮(zhèn)居民的人均收入大幅度提高，不但可以滿足居民必需的消費支出，而且還可以把一部分可支配收入用于儲蓄。同時，由于資本市場的進一步完善，城鎮(zhèn)居民也傾向于將一部分的可支配收入用于投資。

圖1 1991～2011年消費結(jié)構(gòu)中的彈性系數(shù)

3 結(jié)語

本文主要研究了非參數(shù)異方差回歸模型的局部極大似然估計方法。考慮到我國城鎮(zhèn)居民消費結(jié)構(gòu)存在著顯著的差異，本文引入了非參數(shù)異方差回歸模型來描述城鎮(zhèn)居民消費支出額與可支配收入之間的動態(tài)關系。擬合結(jié)果顯示，用非參數(shù)異方差回歸模型的局部似然方法比傳統(tǒng)的最小二乘方法的擬合效果更好。在此基礎上，本文對城鎮(zhèn)居民消費的彈性系數(shù)進行了研究，發(fā)現(xiàn)在2000年后，城鎮(zhèn)居民的彈性系數(shù)有略微下降的趨勢。這意味著，隨著城鎮(zhèn)居民人均收入的不斷提高，人們把一部分可支配收入用于儲蓄和投資。

[1]Stone,C.J.Consistent Nonparametric Regression[J].The Annals of Statistics,1977，(5).

[2]Fan,J.,Gijbels,I.Local Polynomial Medelling and Its Applications[M].London：Chapman and Hall,1996.

[3]Muller,H.G.，Stadtmuller,U.Estimation of Heteroscedasticity in Regression Analysis[J].The Annals of Statistics,1987，(15).

[4]Yu,K.,Jones,M.C.Likelihood-based Local Linear Estimation of the Conditional Variance Function[J].J.Amer.Statist.Assoc.,2004，(99).

[5]龍健顏，盧索，劉金山.貝葉斯非參數(shù)回歸模型及非參數(shù)似不相關回歸模型的應用[J].統(tǒng)計與決策，2011，(16).