淺析高等數學中導數的重要應用

邱進凌

摘 要：高等數學是我國高等教育中的一門公共基礎文化課，而導數則在這門課程中發揮著承上啟下的作用，是連接初等數學和高等數學的重要紐帶，在整個高等數學教育中占據著很重要的位置，是高等教育中學習專業課的理論基礎。本文主要介紹導數的定義及其在高等數學中的重要應用。

關鍵詞：高等數學；導數；重要應用

高等數學把導數歸納為極限問題。只有極限問題的存在，導數才會成立。導數問題之后的積分數學習，其實就是求導數的逆運算。因此，導數在整個高等數學中發揮著承前啟后的作用，學習好導數有助于學習好整個高等數學。簡單來說，導數就是一個連續變量隨著另一個連續變量發生變化形成的規律。導數就是質點做變速運動的瞬時速度的抽象表達，它對曲線上某一點處的切線斜率進行近似的表達，這使得導數具有了幾何意義，這就是導數的概念。

一、導數的定義

導數的概念描述的邏輯性比較強，定義精準、嚴密、抽象，尤其是導數概念中的極限思想，更是不容易被理解。本文對導數定義的詮釋借助了函數公式，意圖把抽象概念具象化。

二、如何求導

1.利用定義求導

通過上面對導數定義的分析，可以發現導數具有一定的連續性，但是連續性可以推出導數是否可以導嗎？通過下面例子，我們看一下函數在某個點連續，是否就是一定可導。

例如：判斷y=|x-a|在x=a處能否可導?？梢宰龀鋈缦陆猓?/p>

由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0處是連續的，

因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1

所以，只有當f-′（a）=f+′（a）時，f′（a）才會存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。雖然求得函數f（x）在某處可以連續，但還是不一定可導。分辨清楚函數的連續性和可導性之間的關系，對于學習好導數是十分重要的。

2.簡化求導

可以使用復合函數的計算法則求■導數，既方便又簡單。例如：設y=■求y。

解一：y=（-1）×■（3x+1）-3·■/3x+1=-■（3x+1）-■

解二：y=（3x+1）-■，可得y=-■（3x+1）-■·3=-■（3x+1）-■

把簡化求導和定義求導的方法作比較，不難發現簡化求導在特定領域相對比較簡單容易。

3.利用隱函數求導

利用隱函數求導也是求導方法中比較常用的一種，例如：

xy2-exy+2=0，那么求由方程確定的隱函數的導數。

解：兩端同時對x求導

y2+2xyyx-exy（y+xyx）=0

可以得出■=■

三、導數的應用

1.最值的判斷

閉區間的極值點處和端點處及時函數在閉區間例的最大值和最小值，極值點為f′（x）=0和f′（x）不存在的點。函數的最值判斷要在求出極點和端點處的值，進行比較之后得出，最大者就是最大值，最小者就是最小值。

2.利用洛必達法則求極限

我們在求極限時，可以利用洛必達法則，但是需要注意的是原極限■■一定要滿足■型或者■型的未定式，然后就可以為整個分式的分子和分母進行求導，可以得出■■，且F′（x）≠0，當■■無窮大或者存在時，它的值就與■■相同。

綜上所述，學習好導數對于以后高等數學的學習有很大的幫助，學習導數等高等數學的目的不僅僅只是學會解題，還要掌握各種靈活運用的方法，更重要的是學會把它運用到實際生活、生產之中，解決各種類型的實際問題。本文用通俗簡單的例子，對導數的定義和應用做了簡單的介紹，希望可以幫助到大家的學習。

參考文獻：

[1]張蕾.淺析高等數學中導數及導數的應用[J].才智，2014（9）：94.

[2]馬真真.對導數概念及相關內容學習狀況的調查研究[D].北京：首都師范大學，2013.

摘 要：高等數學是我國高等教育中的一門公共基礎文化課，而導數則在這門課程中發揮著承上啟下的作用，是連接初等數學和高等數學的重要紐帶，在整個高等數學教育中占據著很重要的位置，是高等教育中學習專業課的理論基礎。本文主要介紹導數的定義及其在高等數學中的重要應用。

關鍵詞：高等數學；導數；重要應用

高等數學把導數歸納為極限問題。只有極限問題的存在，導數才會成立。導數問題之后的積分數學習，其實就是求導數的逆運算。因此，導數在整個高等數學中發揮著承前啟后的作用，學習好導數有助于學習好整個高等數學。簡單來說，導數就是一個連續變量隨著另一個連續變量發生變化形成的規律。導數就是質點做變速運動的瞬時速度的抽象表達，它對曲線上某一點處的切線斜率進行近似的表達，這使得導數具有了幾何意義，這就是導數的概念。

一、導數的定義

導數的概念描述的邏輯性比較強，定義精準、嚴密、抽象，尤其是導數概念中的極限思想，更是不容易被理解。本文對導數定義的詮釋借助了函數公式，意圖把抽象概念具象化。

二、如何求導

1.利用定義求導

通過上面對導數定義的分析，可以發現導數具有一定的連續性，但是連續性可以推出導數是否可以導嗎？通過下面例子，我們看一下函數在某個點連續，是否就是一定可導。

例如：判斷y=|x-a|在x=a處能否可導?？梢宰龀鋈缦陆猓?/p>

由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0處是連續的，

因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1

所以，只有當f-′（a）=f+′（a）時，f′（a）才會存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。雖然求得函數f（x）在某處可以連續，但還是不一定可導。分辨清楚函數的連續性和可導性之間的關系，對于學習好導數是十分重要的。

2.簡化求導

可以使用復合函數的計算法則求■導數，既方便又簡單。例如：設y=■求y。

解一：y=（-1）×■（3x+1）-3·■/3x+1=-■（3x+1）-■

解二：y=（3x+1）-■，可得y=-■（3x+1）-■·3=-■（3x+1）-■

把簡化求導和定義求導的方法作比較，不難發現簡化求導在特定領域相對比較簡單容易。

3.利用隱函數求導

利用隱函數求導也是求導方法中比較常用的一種，例如：

xy2-exy+2=0，那么求由方程確定的隱函數的導數。

解：兩端同時對x求導

y2+2xyyx-exy（y+xyx）=0

可以得出■=■

三、導數的應用

1.最值的判斷

閉區間的極值點處和端點處及時函數在閉區間例的最大值和最小值，極值點為f′（x）=0和f′（x）不存在的點。函數的最值判斷要在求出極點和端點處的值，進行比較之后得出，最大者就是最大值，最小者就是最小值。

2.利用洛必達法則求極限

我們在求極限時，可以利用洛必達法則，但是需要注意的是原極限■■一定要滿足■型或者■型的未定式，然后就可以為整個分式的分子和分母進行求導，可以得出■■，且F′（x）≠0，當■■無窮大或者存在時，它的值就與■■相同。

綜上所述，學習好導數對于以后高等數學的學習有很大的幫助，學習導數等高等數學的目的不僅僅只是學會解題，還要掌握各種靈活運用的方法，更重要的是學會把它運用到實際生活、生產之中，解決各種類型的實際問題。本文用通俗簡單的例子，對導數的定義和應用做了簡單的介紹，希望可以幫助到大家的學習。

參考文獻：

[1]張蕾.淺析高等數學中導數及導數的應用[J].才智，2014（9）：94.

[2]馬真真.對導數概念及相關內容學習狀況的調查研究[D].北京：首都師范大學，2013.

摘 要：高等數學是我國高等教育中的一門公共基礎文化課，而導數則在這門課程中發揮著承上啟下的作用，是連接初等數學和高等數學的重要紐帶，在整個高等數學教育中占據著很重要的位置，是高等教育中學習專業課的理論基礎。本文主要介紹導數的定義及其在高等數學中的重要應用。

關鍵詞：高等數學；導數；重要應用

高等數學把導數歸納為極限問題。只有極限問題的存在，導數才會成立。導數問題之后的積分數學習，其實就是求導數的逆運算。因此，導數在整個高等數學中發揮著承前啟后的作用，學習好導數有助于學習好整個高等數學。簡單來說，導數就是一個連續變量隨著另一個連續變量發生變化形成的規律。導數就是質點做變速運動的瞬時速度的抽象表達，它對曲線上某一點處的切線斜率進行近似的表達，這使得導數具有了幾何意義，這就是導數的概念。

一、導數的定義

導數的概念描述的邏輯性比較強，定義精準、嚴密、抽象，尤其是導數概念中的極限思想，更是不容易被理解。本文對導數定義的詮釋借助了函數公式，意圖把抽象概念具象化。

二、如何求導

1.利用定義求導

通過上面對導數定義的分析，可以發現導數具有一定的連續性，但是連續性可以推出導數是否可以導嗎？通過下面例子，我們看一下函數在某個點連續，是否就是一定可導。

例如：判斷y=|x-a|在x=a處能否可導?？梢宰龀鋈缦陆猓?/p>

由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0處是連續的，

因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1

所以，只有當f-′（a）=f+′（a）時，f′（a）才會存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。雖然求得函數f（x）在某處可以連續，但還是不一定可導。分辨清楚函數的連續性和可導性之間的關系，對于學習好導數是十分重要的。

2.簡化求導

可以使用復合函數的計算法則求■導數，既方便又簡單。例如：設y=■求y。

解一：y=（-1）×■（3x+1）-3·■/3x+1=-■（3x+1）-■

解二：y=（3x+1）-■，可得y=-■（3x+1）-■·3=-■（3x+1）-■

把簡化求導和定義求導的方法作比較，不難發現簡化求導在特定領域相對比較簡單容易。

3.利用隱函數求導

利用隱函數求導也是求導方法中比較常用的一種，例如：

xy2-exy+2=0，那么求由方程確定的隱函數的導數。

解：兩端同時對x求導

y2+2xyyx-exy（y+xyx）=0

可以得出■=■

三、導數的應用

1.最值的判斷

閉區間的極值點處和端點處及時函數在閉區間例的最大值和最小值，極值點為f′（x）=0和f′（x）不存在的點。函數的最值判斷要在求出極點和端點處的值，進行比較之后得出，最大者就是最大值，最小者就是最小值。

2.利用洛必達法則求極限

我們在求極限時，可以利用洛必達法則，但是需要注意的是原極限■■一定要滿足■型或者■型的未定式，然后就可以為整個分式的分子和分母進行求導，可以得出■■，且F′（x）≠0，當■■無窮大或者存在時，它的值就與■■相同。

綜上所述，學習好導數對于以后高等數學的學習有很大的幫助，學習導數等高等數學的目的不僅僅只是學會解題，還要掌握各種靈活運用的方法，更重要的是學會把它運用到實際生活、生產之中，解決各種類型的實際問題。本文用通俗簡單的例子，對導數的定義和應用做了簡單的介紹，希望可以幫助到大家的學習。

參考文獻：

[1]張蕾.淺析高等數學中導數及導數的應用[J].才智，2014（9）：94.

[2]馬真真.對導數概念及相關內容學習狀況的調查研究[D].北京：首都師范大學，2013.