談高考中的周期函數(shù)

王衛(wèi)學

周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是高考中每年必考的知識。掌握到何種程度，才能在高考中游刃有余呢？對此，筆者就自己的一點認識與大家共勉。

一、定義

函數(shù)f（x）定義在數(shù)集A上，如果存在正數(shù)T，對任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），稱函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，T稱為函數(shù)f（x）的一個周期。

二、幾點注意事項

1.如果T是函數(shù)f（x）的周期，則2T也是它的周期

事實上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.顯然，如果T是函數(shù)f（x）的周期，則nT（n是整數(shù)）也是它的周期。如果函數(shù)f（x）有最小的正周期，通常將這個最小正周期稱為函數(shù)f（x）的周期。

2.周期函數(shù)不一定有最小正周期

對一般函數(shù)而言，都可求出最小正周期。這一規(guī)律從圖象上看更為直觀，且圖象還具有一定的對稱性。但一些特殊周期函數(shù)并沒有最小正周期。

如：f（x）=a（a為常數(shù)）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函數(shù)f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函數(shù)，其最大負周期為-2π；

3.周期函數(shù)的定義域至少一端趨向∞

由周期函數(shù)的定義可知，若x∈M，只需x+T∈M，當然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函數(shù)的定義域一定是無限集，即定義域與區(qū)間的一端無界，但不要求定義域兩端無界。

4.幾個重要結(jié)論

（1）f（x+a）=-f（x），則最小正周期為|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），則最小正周期為|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），則最小正周期為2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定義法

例1.求函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

對定義域內(nèi)的每一個x，當x增加到x+π/2時，函數(shù)值重復出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是π/2.

2.公式法

這類題目是通過三角函數(shù)的恒等變形，轉(zhuǎn)化為一個角的一種函數(shù)的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？漬）、Acosωx+？漬正余弦型函數(shù)求最小正周期的公式為T=2π/|ω|，Aant（ωx+？漬）正切型函數(shù)T=π/|ω|.y=f（kx+b）型類似正切型函數(shù)。若y=f（x）最小正周期為T，則y=f（kx+b）最小正周期為T/|k|.

例2.求函數(shù)y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍數(shù)法

設(shè)f（x）與g（x）是定義在公共集合上的兩個三角周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，且T1≠T2，則f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍數(shù)。

例3.求函數(shù)y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：設(shè)sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2，則T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、圖象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的圖象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一個函數(shù)的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函數(shù)是周期函數(shù)，但沒有最小正周期。

五、高考題欣賞

例1.（2013山東理10）已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x<2時，f（x）=x3-x，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陜西理3）設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全國新課標理11）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期為π，且f（-x）=f（x）則

（A）y=f（x）在（0，■）單調(diào)遞減 （B）y=f（x）在（■，■）單調(diào)遞減

（C）y=f（x）在（0，■）單調(diào)遞增 （D）y=f（x）在（■，■）單調(diào)遞增

【答案】A

例4.（2013全國大綱卷12）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的是

（A）y=f（x）的圖像關(guān)于（π，0）中心對稱

（B）y=f（x）的圖像關(guān)于x=■對稱

（C）f（x）的最值為■

（D）f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

答案：D

周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是高考中每年必考的知識。掌握到何種程度，才能在高考中游刃有余呢？對此，筆者就自己的一點認識與大家共勉。

一、定義

函數(shù)f（x）定義在數(shù)集A上，如果存在正數(shù)T，對任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），稱函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，T稱為函數(shù)f（x）的一個周期。

二、幾點注意事項

1.如果T是函數(shù)f（x）的周期，則2T也是它的周期

事實上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.顯然，如果T是函數(shù)f（x）的周期，則nT（n是整數(shù)）也是它的周期。如果函數(shù)f（x）有最小的正周期，通常將這個最小正周期稱為函數(shù)f（x）的周期。

2.周期函數(shù)不一定有最小正周期

對一般函數(shù)而言，都可求出最小正周期。這一規(guī)律從圖象上看更為直觀，且圖象還具有一定的對稱性。但一些特殊周期函數(shù)并沒有最小正周期。

如：f（x）=a（a為常數(shù)）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函數(shù)f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函數(shù)，其最大負周期為-2π；

3.周期函數(shù)的定義域至少一端趨向∞

由周期函數(shù)的定義可知，若x∈M，只需x+T∈M，當然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函數(shù)的定義域一定是無限集，即定義域與區(qū)間的一端無界，但不要求定義域兩端無界。

4.幾個重要結(jié)論

（1）f（x+a）=-f（x），則最小正周期為|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），則最小正周期為|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），則最小正周期為2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定義法

例1.求函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

對定義域內(nèi)的每一個x，當x增加到x+π/2時，函數(shù)值重復出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是π/2.

2.公式法

這類題目是通過三角函數(shù)的恒等變形，轉(zhuǎn)化為一個角的一種函數(shù)的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？漬）、Acosωx+？漬正余弦型函數(shù)求最小正周期的公式為T=2π/|ω|，Aant（ωx+？漬）正切型函數(shù)T=π/|ω|.y=f（kx+b）型類似正切型函數(shù)。若y=f（x）最小正周期為T，則y=f（kx+b）最小正周期為T/|k|.

例2.求函數(shù)y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍數(shù)法

設(shè)f（x）與g（x）是定義在公共集合上的兩個三角周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，且T1≠T2，則f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍數(shù)。

例3.求函數(shù)y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：設(shè)sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2，則T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、圖象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的圖象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一個函數(shù)的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函數(shù)是周期函數(shù)，但沒有最小正周期。

五、高考題欣賞

例1.（2013山東理10）已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x<2時，f（x）=x3-x，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陜西理3）設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全國新課標理11）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期為π，且f（-x）=f（x）則

（A）y=f（x）在（0，■）單調(diào)遞減 （B）y=f（x）在（■，■）單調(diào)遞減

（C）y=f（x）在（0，■）單調(diào)遞增 （D）y=f（x）在（■，■）單調(diào)遞增

【答案】A

例4.（2013全國大綱卷12）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的是

（A）y=f（x）的圖像關(guān)于（π，0）中心對稱

（B）y=f（x）的圖像關(guān)于x=■對稱

（C）f（x）的最值為■

（D）f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

答案：D

周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是高考中每年必考的知識。掌握到何種程度，才能在高考中游刃有余呢？對此，筆者就自己的一點認識與大家共勉。

一、定義

函數(shù)f（x）定義在數(shù)集A上，如果存在正數(shù)T，對任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），稱函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，T稱為函數(shù)f（x）的一個周期。

二、幾點注意事項

1.如果T是函數(shù)f（x）的周期，則2T也是它的周期

事實上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.顯然，如果T是函數(shù)f（x）的周期，則nT（n是整數(shù)）也是它的周期。如果函數(shù)f（x）有最小的正周期，通常將這個最小正周期稱為函數(shù)f（x）的周期。

2.周期函數(shù)不一定有最小正周期

對一般函數(shù)而言，都可求出最小正周期。這一規(guī)律從圖象上看更為直觀，且圖象還具有一定的對稱性。但一些特殊周期函數(shù)并沒有最小正周期。

如：f（x）=a（a為常數(shù)）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函數(shù)f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函數(shù)，其最大負周期為-2π；

3.周期函數(shù)的定義域至少一端趨向∞

由周期函數(shù)的定義可知，若x∈M，只需x+T∈M，當然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函數(shù)的定義域一定是無限集，即定義域與區(qū)間的一端無界，但不要求定義域兩端無界。

4.幾個重要結(jié)論

（1）f（x+a）=-f（x），則最小正周期為|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），則最小正周期為|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），則最小正周期為2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定義法

例1.求函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

對定義域內(nèi)的每一個x，當x增加到x+π/2時，函數(shù)值重復出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是π/2.

2.公式法

這類題目是通過三角函數(shù)的恒等變形，轉(zhuǎn)化為一個角的一種函數(shù)的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？漬）、Acosωx+？漬正余弦型函數(shù)求最小正周期的公式為T=2π/|ω|，Aant（ωx+？漬）正切型函數(shù)T=π/|ω|.y=f（kx+b）型類似正切型函數(shù)。若y=f（x）最小正周期為T，則y=f（kx+b）最小正周期為T/|k|.

例2.求函數(shù)y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍數(shù)法

設(shè)f（x）與g（x）是定義在公共集合上的兩個三角周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，且T1≠T2，則f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍數(shù)。

例3.求函數(shù)y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：設(shè)sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2，則T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、圖象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的圖象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一個函數(shù)的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函數(shù)是周期函數(shù)，但沒有最小正周期。

五、高考題欣賞

例1.（2013山東理10）已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x<2時，f（x）=x3-x，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陜西理3）設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全國新課標理11）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期為π，且f（-x）=f（x）則

（A）y=f（x）在（0，■）單調(diào)遞減 （B）y=f（x）在（■，■）單調(diào)遞減

（C）y=f（x）在（0，■）單調(diào)遞增 （D）y=f（x）在（■，■）單調(diào)遞增

【答案】A

例4.（2013全國大綱卷12）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的是

（A）y=f（x）的圖像關(guān)于（π，0）中心對稱

（B）y=f（x）的圖像關(guān)于x=■對稱

（C）f（x）的最值為■

（D）f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

答案：D