例談與棱錐相關的三視圖解題思路

劉歡++孟紅兵

摘 要：三視圖是高中數學新課程新增內容之一，也是高考熱點題型。關于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據給定幾何體判斷或補畫視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進而計算它的面積或體積。

關鍵詞：解題思路

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-010-02

三視圖是高中數學新課程新增內容之一，也是高考熱點題型。關于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據給定幾何體判斷或補畫視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進而計算它的面積或體積。

筆者在分析第二種考查形式時發現，有一種和棱錐相關的題型，學生理解不到位，且各種參考答案講解不夠詳細，導致學生一知半解。因此本文的目的是通過研究高考題，對此類問題詳細分析，以期學生透徹領悟其中的緣由。

這類題最大特點有二：第一，給出三視圖求原幾何體的面積或體積；第二，主視圖和左視圖都是三角形，而俯視圖為三角形或四邊形。

在分析此類題目前，有必要搞清楚幾個概念。

必備知識

1、三視圖

從某一角度觀察一個物體時，看到的圖象叫做物體的一個視圖。視圖分為三種：

2、投影

上面提到的投影是正投影，為此我們先理解什么是投影，什么又是正投影。

①投影：光照射在物體上，在其后面屏幕上形成的物體的影子就是物體的投影。

③三視圖解題中，關鍵是理解線的投影規律

3、三視圖中的幾種關系

①三種視圖之間的關系

②三視圖與原幾何體的關系

例談解題思路

題型一求體積

例1（2012高考·全國課標，7）如圖，在網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）

A.6 B.9

C.12 D.18

【分析】①此題主視圖、左視圖都是三角形，故原幾何圖形是棱錐。已學知識可知，棱錐的體積 ，故求原幾何體體積的關鍵是確定底面積和高。②因為俯視圖是原幾何體底面輪廓，故原幾何體底面積 ③因為主視圖、左視圖的高是原幾何體的高，原幾何體的高 ④故 ，原題選B.

【小結】①棱錐求體積，關鍵找底面積和高，即 ；② 由俯視圖+“長對正，高平齊，寬相等”口訣聯合得出；③ 與主視圖、左視圖高相等

練習1（2009高考，遼寧，理15文16）

設某個幾何體的三

視圖如下（尺寸的

長度單位為m），

則該幾何體的

體積為___m?.

【提示】①底面三角形的高（寬）和左視圖寬相等即為3， ；② 和左視圖高相等為2；③

題型二求表面積

例2（2012高考·北京，7）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ）

【分析】求面積關鍵要確定原幾何體形狀，即通

過三視圖畫出原幾何體。（為了方便，俯視圖標字母后如圖8）

首先，確定原幾何體底面形狀。主視圖和左視圖均為三角形，故原幾何體是棱錐，且棱錐的底面輪廓就是俯視圖三角形輪廓，即原幾何體是三棱錐，其底面輪廓為△ABC，如圖9所示

②然后，找出頂點P的位置，三棱錐形狀就確定了。由俯視圖可知△ABC內只有一條線，則頂點在一定在點D或C的正上方（否則，俯視圖投影不可能存在線段DC，讀者可以舉反例驗證）；又左視圖為直角三角形，且直角在左邊，故頂點一定只能在點D正上方（如果頂點P不在D的正上方，則就在C正上方，其左視圖一定不是題中的形狀，讀者可自行舉例驗證）。因此原幾何體如圖10所示，再反過來驗證其三視圖是否如圖所示，最終確定是圖10

圖10中，顯然PD⊥平面ABC，線段DC即PC

在底面上的投影，亦即和圖8中俯視圖上的線段DC是同一條。由主視圖可知，DA=2，DB=3，PD=4（三棱錐的高等于主視圖高）

此題即轉換成，已知一個三棱錐P-ABC中，

DA=2，DB=3，BC=4，PD=4，且AB⊥BC，PD⊥

平面ABC，求此三棱錐的面積

⑤分別求每個面面積，再相加得， ，

即答案選B.

【小結】此類題解題關鍵

首先，找原幾何體，俯視圖為底面形狀

然后，由俯視圖、主視圖、側視圖找頂點

A.俯視圖內有多條線段：頂點在內部線段交點正上方（如圖11所示，頂點一定在點D正上方）

B.俯視圖內有一條線段：頂點只有兩種情況

（如圖12，頂點一定在點D或者B的正上方）

C.俯視圖內無線段：頂點在三角形頂點上

（如圖13，頂點一定在點A或B或C的正上方）

頂點確定后，逆向驗證該猜想是否正確。

再根據三個視圖的關系，弄清楚各邊數量關系

由三視圖求表面積就變成已知一個棱錐和已

知條件，求其表面積的題型

練習2（2009.海南，寧夏，11）一個棱錐的三視

圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm?）為（ ）

【分析】①由圖可知，原幾何體是三棱錐，底面

是邊長為6的等腰直角三角形

②如圖15，是俯視圖標字母后的圖。因為三角形內部只有一條線段，因此三棱錐頂點一定在點D或B的正上方；又結合主視圖和左視圖可知，頂點不可能在點B正上方，因此一定在點D正上方。

原幾何體如圖16中，PD⊥平面ABC，PD=4（三

棱錐高等于主視圖高），AB=BC=6，△ABC為等腰直角三角形；DG⊥BC，且DG=3，同理可知DH=3。題轉化成已知上面的條件，求該三棱錐全面積

終選擇答案A

練習3 （2011高考北京）某四面體三視圖如圖17所

示，該四面體四個面的面積中最大的是（ ）

【分析】觀察俯視圖，三角形內部無線段，故三棱錐頂點一定在三角形三頂點正上方。右分析主視圖和側視圖可知，如圖18所示，頂點只能在點A正上方，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=4，BC=3，且AB⊥BC。分析得△PAC的面積最大為10，故選C以上從求棱錐體積和面積兩方面舉例分析，雖然三視圖考察方式靈活多樣，但均以課本為基礎，對學生空間想象、推理論證、數形結合能力的考察永遠不變。希望同學們在平時學習中，多總結多觀察，深入透徹的理解每一道題的解題思路，以求以不變應萬變。

參考文獻：

[1] 齊邦交.劉 怡.劉世勤.高考熱點——三視圖.數學教學研究[J].2011年4月，第30卷第4期.

[2] 戴 三.一道與三視圖相關習題的錯解剖析.數學通報[J].2008年第47卷第5期，P39.

[3] 楊要蘭.三視圖考點分析.高中數學教與學[I].2012年第二期P26-28.

[4] 危 偉.一個三視圖問題的再探究.數學通報[J].2009年第48卷第5期，P60-61.

[5] 祝要輝.從圖形轉換中發現三視圖問題的思路.福建中學數學[J]

[6] 方華輝.高考中的三視圖問題.河北理科教學研究[J].2012年第6期，P29，30

摘 要：三視圖是高中數學新課程新增內容之一，也是高考熱點題型。關于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據給定幾何體判斷或補畫視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進而計算它的面積或體積。

關鍵詞：解題思路

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-010-02

三視圖是高中數學新課程新增內容之一，也是高考熱點題型。關于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據給定幾何體判斷或補畫視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進而計算它的面積或體積。

筆者在分析第二種考查形式時發現，有一種和棱錐相關的題型，學生理解不到位，且各種參考答案講解不夠詳細，導致學生一知半解。因此本文的目的是通過研究高考題，對此類問題詳細分析，以期學生透徹領悟其中的緣由。

這類題最大特點有二：第一，給出三視圖求原幾何體的面積或體積；第二，主視圖和左視圖都是三角形，而俯視圖為三角形或四邊形。

在分析此類題目前，有必要搞清楚幾個概念。

必備知識

1、三視圖

從某一角度觀察一個物體時，看到的圖象叫做物體的一個視圖。視圖分為三種：

2、投影

上面提到的投影是正投影，為此我們先理解什么是投影，什么又是正投影。

①投影：光照射在物體上，在其后面屏幕上形成的物體的影子就是物體的投影。

③三視圖解題中，關鍵是理解線的投影規律

3、三視圖中的幾種關系

①三種視圖之間的關系

②三視圖與原幾何體的關系

例談解題思路

題型一求體積

例1（2012高考·全國課標，7）如圖，在網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）

A.6 B.9

C.12 D.18

【分析】①此題主視圖、左視圖都是三角形，故原幾何圖形是棱錐。已學知識可知，棱錐的體積 ，故求原幾何體體積的關鍵是確定底面積和高。②因為俯視圖是原幾何體底面輪廓，故原幾何體底面積 ③因為主視圖、左視圖的高是原幾何體的高，原幾何體的高 ④故 ，原題選B.

【小結】①棱錐求體積，關鍵找底面積和高，即 ；② 由俯視圖+“長對正，高平齊，寬相等”口訣聯合得出；③ 與主視圖、左視圖高相等

練習1（2009高考，遼寧，理15文16）

設某個幾何體的三

視圖如下（尺寸的

長度單位為m），

則該幾何體的

體積為___m?.

【提示】①底面三角形的高（寬）和左視圖寬相等即為3， ；② 和左視圖高相等為2；③

題型二求表面積

例2（2012高考·北京，7）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ）

【分析】求面積關鍵要確定原幾何體形狀，即通

過三視圖畫出原幾何體。（為了方便，俯視圖標字母后如圖8）

首先，確定原幾何體底面形狀。主視圖和左視圖均為三角形，故原幾何體是棱錐，且棱錐的底面輪廓就是俯視圖三角形輪廓，即原幾何體是三棱錐，其底面輪廓為△ABC，如圖9所示

②然后，找出頂點P的位置，三棱錐形狀就確定了。由俯視圖可知△ABC內只有一條線，則頂點在一定在點D或C的正上方（否則，俯視圖投影不可能存在線段DC，讀者可以舉反例驗證）；又左視圖為直角三角形，且直角在左邊，故頂點一定只能在點D正上方（如果頂點P不在D的正上方，則就在C正上方，其左視圖一定不是題中的形狀，讀者可自行舉例驗證）。因此原幾何體如圖10所示，再反過來驗證其三視圖是否如圖所示，最終確定是圖10

圖10中，顯然PD⊥平面ABC，線段DC即PC

在底面上的投影，亦即和圖8中俯視圖上的線段DC是同一條。由主視圖可知，DA=2，DB=3，PD=4（三棱錐的高等于主視圖高）

此題即轉換成，已知一個三棱錐P-ABC中，

DA=2，DB=3，BC=4，PD=4，且AB⊥BC，PD⊥

平面ABC，求此三棱錐的面積

⑤分別求每個面面積，再相加得， ，

即答案選B.

【小結】此類題解題關鍵

首先，找原幾何體，俯視圖為底面形狀

然后，由俯視圖、主視圖、側視圖找頂點

A.俯視圖內有多條線段：頂點在內部線段交點正上方（如圖11所示，頂點一定在點D正上方）

B.俯視圖內有一條線段：頂點只有兩種情況

（如圖12，頂點一定在點D或者B的正上方）

C.俯視圖內無線段：頂點在三角形頂點上

（如圖13，頂點一定在點A或B或C的正上方）

頂點確定后，逆向驗證該猜想是否正確。

再根據三個視圖的關系，弄清楚各邊數量關系

由三視圖求表面積就變成已知一個棱錐和已

知條件，求其表面積的題型

練習2（2009.海南，寧夏，11）一個棱錐的三視

圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm?）為（ ）

【分析】①由圖可知，原幾何體是三棱錐，底面

是邊長為6的等腰直角三角形

②如圖15，是俯視圖標字母后的圖。因為三角形內部只有一條線段，因此三棱錐頂點一定在點D或B的正上方；又結合主視圖和左視圖可知，頂點不可能在點B正上方，因此一定在點D正上方。

原幾何體如圖16中，PD⊥平面ABC，PD=4（三

棱錐高等于主視圖高），AB=BC=6，△ABC為等腰直角三角形；DG⊥BC，且DG=3，同理可知DH=3。題轉化成已知上面的條件，求該三棱錐全面積

終選擇答案A

練習3 （2011高考北京）某四面體三視圖如圖17所

示，該四面體四個面的面積中最大的是（ ）

【分析】觀察俯視圖，三角形內部無線段，故三棱錐頂點一定在三角形三頂點正上方。右分析主視圖和側視圖可知，如圖18所示，頂點只能在點A正上方，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=4，BC=3，且AB⊥BC。分析得△PAC的面積最大為10，故選C以上從求棱錐體積和面積兩方面舉例分析，雖然三視圖考察方式靈活多樣，但均以課本為基礎，對學生空間想象、推理論證、數形結合能力的考察永遠不變。希望同學們在平時學習中，多總結多觀察，深入透徹的理解每一道題的解題思路，以求以不變應萬變。

參考文獻：

[1] 齊邦交.劉 怡.劉世勤.高考熱點——三視圖.數學教學研究[J].2011年4月，第30卷第4期.

[2] 戴 三.一道與三視圖相關習題的錯解剖析.數學通報[J].2008年第47卷第5期，P39.

[3] 楊要蘭.三視圖考點分析.高中數學教與學[I].2012年第二期P26-28.

[4] 危 偉.一個三視圖問題的再探究.數學通報[J].2009年第48卷第5期，P60-61.

[5] 祝要輝.從圖形轉換中發現三視圖問題的思路.福建中學數學[J]

[6] 方華輝.高考中的三視圖問題.河北理科教學研究[J].2012年第6期，P29，30

摘 要：三視圖是高中數學新課程新增內容之一，也是高考熱點題型。關于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據給定幾何體判斷或補畫視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進而計算它的面積或體積。

關鍵詞：解題思路

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-010-02

三視圖是高中數學新課程新增內容之一，也是高考熱點題型。關于三視圖，主要有兩種考查形式：一是根據給定幾何體判斷或補畫視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進而計算它的面積或體積。

筆者在分析第二種考查形式時發現，有一種和棱錐相關的題型，學生理解不到位，且各種參考答案講解不夠詳細，導致學生一知半解。因此本文的目的是通過研究高考題，對此類問題詳細分析，以期學生透徹領悟其中的緣由。

這類題最大特點有二：第一，給出三視圖求原幾何體的面積或體積；第二，主視圖和左視圖都是三角形，而俯視圖為三角形或四邊形。

在分析此類題目前，有必要搞清楚幾個概念。

必備知識

1、三視圖

從某一角度觀察一個物體時，看到的圖象叫做物體的一個視圖。視圖分為三種：

2、投影

上面提到的投影是正投影，為此我們先理解什么是投影，什么又是正投影。

①投影：光照射在物體上，在其后面屏幕上形成的物體的影子就是物體的投影。

③三視圖解題中，關鍵是理解線的投影規律

3、三視圖中的幾種關系

①三種視圖之間的關系

②三視圖與原幾何體的關系

例談解題思路

題型一求體積

例1（2012高考·全國課標，7）如圖，在網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）

A.6 B.9

C.12 D.18

【分析】①此題主視圖、左視圖都是三角形，故原幾何圖形是棱錐。已學知識可知，棱錐的體積 ，故求原幾何體體積的關鍵是確定底面積和高。②因為俯視圖是原幾何體底面輪廓，故原幾何體底面積 ③因為主視圖、左視圖的高是原幾何體的高，原幾何體的高 ④故 ，原題選B.

【小結】①棱錐求體積，關鍵找底面積和高，即 ；② 由俯視圖+“長對正，高平齊，寬相等”口訣聯合得出；③ 與主視圖、左視圖高相等

練習1（2009高考，遼寧，理15文16）

設某個幾何體的三

視圖如下（尺寸的

長度單位為m），

則該幾何體的

體積為___m?.

【提示】①底面三角形的高（寬）和左視圖寬相等即為3， ；② 和左視圖高相等為2；③

題型二求表面積

例2（2012高考·北京，7）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ）

【分析】求面積關鍵要確定原幾何體形狀，即通

過三視圖畫出原幾何體。（為了方便，俯視圖標字母后如圖8）

首先，確定原幾何體底面形狀。主視圖和左視圖均為三角形，故原幾何體是棱錐，且棱錐的底面輪廓就是俯視圖三角形輪廓，即原幾何體是三棱錐，其底面輪廓為△ABC，如圖9所示

②然后，找出頂點P的位置，三棱錐形狀就確定了。由俯視圖可知△ABC內只有一條線，則頂點在一定在點D或C的正上方（否則，俯視圖投影不可能存在線段DC，讀者可以舉反例驗證）；又左視圖為直角三角形，且直角在左邊，故頂點一定只能在點D正上方（如果頂點P不在D的正上方，則就在C正上方，其左視圖一定不是題中的形狀，讀者可自行舉例驗證）。因此原幾何體如圖10所示，再反過來驗證其三視圖是否如圖所示，最終確定是圖10

圖10中，顯然PD⊥平面ABC，線段DC即PC

在底面上的投影，亦即和圖8中俯視圖上的線段DC是同一條。由主視圖可知，DA=2，DB=3，PD=4（三棱錐的高等于主視圖高）

此題即轉換成，已知一個三棱錐P-ABC中，

DA=2，DB=3，BC=4，PD=4，且AB⊥BC，PD⊥

平面ABC，求此三棱錐的面積

⑤分別求每個面面積，再相加得， ，

即答案選B.

【小結】此類題解題關鍵

首先，找原幾何體，俯視圖為底面形狀

然后，由俯視圖、主視圖、側視圖找頂點

A.俯視圖內有多條線段：頂點在內部線段交點正上方（如圖11所示，頂點一定在點D正上方）

B.俯視圖內有一條線段：頂點只有兩種情況

（如圖12，頂點一定在點D或者B的正上方）

C.俯視圖內無線段：頂點在三角形頂點上

（如圖13，頂點一定在點A或B或C的正上方）

頂點確定后，逆向驗證該猜想是否正確。

再根據三個視圖的關系，弄清楚各邊數量關系

由三視圖求表面積就變成已知一個棱錐和已

知條件，求其表面積的題型

練習2（2009.海南，寧夏，11）一個棱錐的三視

圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm?）為（ ）

【分析】①由圖可知，原幾何體是三棱錐，底面

是邊長為6的等腰直角三角形

②如圖15，是俯視圖標字母后的圖。因為三角形內部只有一條線段，因此三棱錐頂點一定在點D或B的正上方；又結合主視圖和左視圖可知，頂點不可能在點B正上方，因此一定在點D正上方。

原幾何體如圖16中，PD⊥平面ABC，PD=4（三

棱錐高等于主視圖高），AB=BC=6，△ABC為等腰直角三角形；DG⊥BC，且DG=3，同理可知DH=3。題轉化成已知上面的條件，求該三棱錐全面積

終選擇答案A

練習3 （2011高考北京）某四面體三視圖如圖17所

示，該四面體四個面的面積中最大的是（ ）

【分析】觀察俯視圖，三角形內部無線段，故三棱錐頂點一定在三角形三頂點正上方。右分析主視圖和側視圖可知，如圖18所示，頂點只能在點A正上方，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=4，BC=3，且AB⊥BC。分析得△PAC的面積最大為10，故選C以上從求棱錐體積和面積兩方面舉例分析，雖然三視圖考察方式靈活多樣，但均以課本為基礎，對學生空間想象、推理論證、數形結合能力的考察永遠不變。希望同學們在平時學習中，多總結多觀察，深入透徹的理解每一道題的解題思路，以求以不變應萬變。

參考文獻：

[1] 齊邦交.劉 怡.劉世勤.高考熱點——三視圖.數學教學研究[J].2011年4月，第30卷第4期.

[2] 戴 三.一道與三視圖相關習題的錯解剖析.數學通報[J].2008年第47卷第5期，P39.

[3] 楊要蘭.三視圖考點分析.高中數學教與學[I].2012年第二期P26-28.

[4] 危 偉.一個三視圖問題的再探究.數學通報[J].2009年第48卷第5期，P60-61.

[5] 祝要輝.從圖形轉換中發現三視圖問題的思路.福建中學數學[J]

[6] 方華輝.高考中的三視圖問題.河北理科教學研究[J].2012年第6期，P29，30