中學數學教學中發展學生數學能力的途徑分析

梁金輝

摘 要：開展數學能力的研究有利于發展學生的思維，提高教學質量。發展學生的數學能力應從以下幾方面考慮：概括能力、邏輯推理能力、逆向思維能力、求異思維能力。

關鍵詞：中學數學；能力發展；途徑分析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-171-01

數學能力是在數學活動中形成和發展的。但又不是在數學活動中自然而然地形成的，它的“必要條件是有一套特別組織好的練習和訓練。”所以，教學過程中必須有目的有計劃地實施。筆者現結合教學中具體的教學活動，簡要地分敘幾個數學能力的培養和運用。

一、概括能力

數學解題，在數學中有著重要的位置。在一定的教學內容里，通過例題和相應的習題，總結歸納出某一類“基本題型”的共同特點，摸索出這類題型的解題思路和解題方法，達到舉一反三、觸類旁通的教學目的。在尋求一個復雜的數學問題的解法的時候，聯想已經解過的類似題目或者研究是否可分解為某些“基本題型”，是解題的重要思路。所以，各類基本解題方法的概括和積累是十分重要的。

概括出，這是函數f（x）在x-X。處無定義的一類極限計算題，這類題目的通常解法是，先將函數f（x）作適當的恒等變形——或者化積約分，或者分子有理化，從而轉化為可以求極限的新函數。中學階段的求函數的計算問題，如果能夠歸納出：代值法，公式法，代換法，逼近法和上述方法等幾個基本類型，有關極限的計算，總可以轉化為基本的某些方法去解決。

必須指出：盡管概括推理在數學活動中有著重要的作用，但是它畢竟是一種或然性的推理，這樣概括出來的結論，并不能保證其正確性及嚴密性，很多時候，還夾雜著個人的主觀猜想，也就是未必有客觀真理性。所以，由概括獲得的數學結論，或者是必須經過嚴格的證明，或者必須經受實踐的檢驗，道理就在這里。

二、邏輯推理能力

數學是一個系統化的邏輯體系，它有著明確的結構。在這個結構中離不開邏輯推理。數學知識具有抽象性和內在聯系性，學生在解題求證過程中，必須要運用定理、公理、公式進行演繹推理，從而獲得更多的數學知識和更深邃的數學思想。著名的數學家笛卡兒甚至作出這樣的評價：“從不可懷疑的和確定的原理出發，用類似數學的方法進行論證，就可以達到對自然的認識。”盡管笛卡兒的邏輯主義有它的片面性，但他卻道出了邏輯推理方法在認識世界中的重要地位。

演繹推理，在數學活動中運用于定理、命題的證明、公式的推導，這是數學活動的主體。由于演繹推理是一種必然性的推理，推出結論的正確性取決于以下兩點：（1）推理選取的前提正確可靠；（2）推理的形式合乎邏輯。因此，學生在學習推理論證的過程中，一定要使之習慣于合乎邏輯的證題格式，同時要做到論證過程步步有據。

至于尋找證題的途徑，主要讓學生學會綜合和分析兩種思維方法，或者由因導果，或者執果索因，或者順推逆求相結合找尋銜接點。

三、逆向思維能力

數學是研究客觀的工具，其內在聯系也常常反應一定的規律。因此，在數學教學過程中抓住典型例子進行分析，有利于學生掌握解題規律。一些比較復雜的題目，可把問題拆成幾個相互關聯、互相獨立的基本題，降低教學難度，對學生進行疏導，然后再把這個過程逆向進行。具備了逆向思維能力，學生解綜合題也就不難了。其實，逆向思維即是改變了常規思維程序的思維，它把思維的角度進行了相反方向的轉換，拓寬了學生的思維空間。逆向思維在數學教學中的應用主要有以下幾個方面：1、數學公式的變用、逆用；2、用逆運算代換原運算3、用一個命題的等價命題代換原命題；4、引進未知量，把未知量當作已知量參加運算，最后消去未知量或求出未知量；5、初等對稱式、函數圖像的對稱性與幾何關系的運用。

我們看個實例：

已知26a=33b=62c，試求a、b、c之間的關系。

這里所求的量表為不同底的冪的指數形式，只有轉化為對數形式才便于運算。考慮到已知數的因數僅有2及3，對數宜取2或3為底。若變形為6a=3blog23，6a=2clog26，即可通過等式運算導出a、b、c之間關系。

在具體的解題過程中如果不用逆向思維，解題的思路一般是很難暢通的。

四、求異思維能力

在數學活動中求異思維主要有有二方面的意義：第一方面培養學生一題多解的數學能力，進而激發學生思維的靈活性、創新性；第二方面是在解題時給予一定的條件，讓學生運用所學的數學知識和生活經驗展開聯想和想象，并進行分析、辯論，更可能多地推導出各種結論，使學生在解題的時按需選擇。例如，學習了復數的概念和運算，可從下面三個方面溝通它與其他數學知識的聯系：1、用擴張了的“數的概念”處理代數問題；2、通過復數的三角表示，把三角問題轉化為代數問題以便于尋找規律，或把代數問題轉化為三角問題以便運算；3、用復數式表示曲線的方程，或置平面幾何圖形于平面中研究其性質。這些知識聯系建立在學生的思維里，在解決數學問題需要的時候，就可以迅速地聯想起用“復數法”解題。

我們知道，根據概括思維能為我們構筑數學結構，建立數學知識的縱的聯想；運用求異思維，則能使我們在數學知識之間建立起廣泛的橫的聯想。這就使我們在需要的時候，能順利地從一種運算形式過渡到另一種運算形式，實現思維的遷移。可見，求導思維呈現著思維的機動靈活性，在探索創造中起著重要的作用。

總之，在數學教學中，必須依據數學內容的特點，選用恰當的思維形式，讓學生牢固地掌握數學知識和技能；同時又必須充分運用生動的數學材料，去培養和發展學生的數學能力。我們相信，有了這樣的指導思想，并注意在教學過程中有計劃地加以貫徹，就一定能實現教給學生的數學知識與發展學生的數學能力的和諧統一。

參考文獻：

[1] 吳英東.創設思維情景.培養數學能力.《理論與實踐探索》.北京燕山出版社2008-12.

[2] 熊 英.數學教學中如何培養學生的創新思維能力《中學時代》2014-07.