關于焦耳定律實驗的理論分析

李 鋼

（蘇州第三十中學，江蘇 蘇州 215008）

焦耳定律是中學物理中重要的電學定律，Q＝I2Rt是能量轉換中電流通過電阻時做功將電能轉換為內能的定量計算公式.對于焦耳定律的演示實驗，用傳統的煤油吸熱法時間較長，長年以來很多教師或實驗研究人員試圖改進或更新焦耳定律的演示實驗.

改進的方法包括以下幾個方面：

（1）改進溫度的顯示方法，例如相同的瓶子裝滿煤油，瓶塞上插相同內徑的細玻璃管，通過玻璃管中液面上升的多少反映熱量的多少.

（2）提高電阻絲的發熱功率，例如適當提高電源的電壓.

（3）減少吸熱介質的熱容量.例如空氣吸熱法（圖1），用等量的空氣替代煤油……

圖1

這些方法都是用等質量的吸熱介質吸取不同電阻絲整體的熱量，通過比較介質溫度變化的多少來反映熱量的多少.我把它們歸類為整體吸熱法.

更新的方法包括：

（1）將兩段電阻絲分別做成螺旋狀并將火柴頭插入，通電后看哪個電阻圈里的火柴先點燃.

（2）用油膏將小木桿粘在不同電阻絲下，通電后看哪根電阻絲下的小木桿因油膏的熔化先掉下來（圖2）.

圖2

（3）將蠟紙或塑料膜覆蓋在電阻絲上，看與電阻絲接觸的部分哪個先熔化……

因為這些方法都不是吸取整個電阻絲的熱量，我把這些歸類于局部吸熱法.下面就這兩類方法的理論依據進行分析.

1 整體吸熱法

整體吸熱法都是通過比較等質量的相同材料的吸熱介質，吸收整個電阻絲的熱量后，溫度變化的多少來間接反映電阻絲放出熱量的多少.

在實驗過程中，我們可以把電流產生的熱量機械地分為3個部分：電阻絲吸收電熱，溫度升高；吸熱介質吸收電阻絲的熱量，溫度升高；散失的熱量，例如瓶子、空氣吸收的熱量.

實際上我們實驗演示的是吸熱介質吸熱升溫的初始階段，散失的熱量占的比重很小，為了討論方便，將這部分忽略不計.這樣電流產生的熱量Q就分為2部分：電阻絲吸收的熱量Q1，介質吸收的熱量Q2.

其中c、m、ΔT各表示它們的比熱、質量和溫度的變化量.

假設吸熱介質的熱容量c2m2遠大于電阻絲的熱容量c1m1，Q1忽略不計.這樣電流產生的熱量就近似地看作全部被吸熱介質吸收，介質溫度的升高量ΔT2可推導如下.

可見介質溫度的升高量與電流的平方、電阻絲的阻值和通電時間成正比，這就是煤油吸熱法的理論依據.煤油吸熱法中煤油有較大的質量，又可以通過對流，將電阻絲供給的熱量傳給全部煤油，因此熱容量較大，符合假設的要求.

空氣吸熱法也是吸收整個電阻絲的熱量，但由于空氣的熱容量不是很大，實驗中可能出現一些枝節，在第3部分再進行分析.

2 局部吸熱法

以油膏熔化法為例.暫且假設粘住小木桿的油膏質量相等，與電阻絲接觸的長度相等，小木桿也一樣重.看看下面的分析.

因為接觸部分電阻絲ΔL的阻值不同，通以相同的電流，同樣時間內產生的熱量不同，電阻大的產生的熱量ΔQ多，油膏吸收的熱量就多，升溫多，就會先熔化，小木桿就先掉下來.整根電阻絲的熱量Q＝∑ΔQ，因為每小段的長度相同，累積成同樣長度的電阻絲，不就能說明整根電阻絲電阻大的熱量多嗎.

其實不然.問題是為什么一定要規定同樣長度呢？在相同情況下，電流產生的熱量不論材料、粗細、長短，只和阻值有關，不同長度不是同樣可以達到電阻值不同嗎？這樣的分析用的是積分法，積分是有定義域的，不是同樣長度又會怎么樣呢？例如一根單位長度的電阻大，但很短，整體電阻小；另一根單位長度的電阻小，但很長，整體電阻大.不就變成電流和通電時間相同時，整體電阻小的反而產生的熱量多了嗎？

局部的熱量不能反映整體的熱量，因此這種理論依據是不能成立的.

再看看實際情況.用額定電壓都是220V的1000W和300W的電爐絲（材料相同、粗細不同），仿照此類實驗（圖3）.

圖3

實驗1.將長度相同、粗細不同的電爐絲串聯（細的電阻大），接通電路后粘在細電阻絲上的油膏先熔化.似乎能說明電流和時間相同時整體電阻大的熱量多.

實驗2.將較長的粗電爐絲與很短的細電爐絲串聯（粗的電阻大），接通電路后還是粘在細電阻絲上的油膏先熔化.不就變成整體電阻小的熱量多了嗎？

實驗3.將粗細相同的電爐絲剪成長短不同的兩段再串聯（長的電阻大），接通電路后油膏的熔化基本不分先后.不就變成熱量與整體阻值的大小無關了嗎？

這是為什么呢，分析如下.

（1）油膏的熔化反映的是接觸點的溫度，并不反映電阻絲的總體熱量.

油膏與電阻絲接觸部分本來質量就極小，又是熱的不良導體，因此油膏吸熱部分的熱容量極小.油膏的熱容量C2m2遠小于電阻絲的熱容量C1m1，Q2忽略不計.這樣電流產生的熱量就近似地全部被電阻絲吸收.又由于油膏的熱容量太小，溫度極容易升高，溫度的變化幾乎與電阻絲溫度的變化同步，ΔT2≈ΔT1，油膏的熔化取決于溫度，因此熔化的快慢實際上反映的是電阻絲溫度變化的快慢.

（2）電阻絲溫度的變化并不取決于電阻絲整體的電阻值.

電阻絲溫度的變化量ΔT可推導如下（熱量Q，電流I，通電時間t，電阻R，比熱c，質量m，長度L，橫截面積S，電阻率ρ阻，密度ρ密）.

特別注意到，ΔT與導體橫截面積的平方成反比，因此電阻絲的粗細對溫度的升高十分相關.老式的電熱絲電爐，工作時電熱絲有的地方紅得厲害，有的地方比較暗淡，就是因為粗細不勻.燈泡鎢絲斷了，搭絲后再用，總是搭絲處再次燒斷，就是因為搭絲處接觸面積小，溫度高.

現就以上推導的結論進行如下討論和驗證.

（1）在電流相同，通電時間相同，橫截面積相同時，不同材料的電阻絲不論長短，只要比值大的溫度就升高得多，即橫截面積相同時，溫度的升高只與材料有關，而與整個電阻絲的電阻值無關.

為了驗證以上結論，筆者進行了以下實驗：將直徑都是0.3mm的長1m的鎳鉻絲（阻值約6Ω）和長1m的錳銅絲（阻值約3Ω），R鎳＞R錳，拉直后釘在木板上，并用同一張塑料膜與兩條電阻絲接觸.將兩條電阻絲串聯后接上低壓電源，塑料膜與鎳鉻絲接觸的部分先開始熔化.改用0.5m長的鎳鉻絲（阻值約3Ω）與2m長的錳銅絲（阻值約6Ω）做相同的實驗，還是與鎳鉻絲接觸的塑料膜先開始熔化.

（2）在電流相同，通電時間相同時，相同材料的電阻絲，也不論電阻絲的長度如何，即不論電阻的大小如何，總是橫截面積小的溫度升高得多.

為了驗證這個結論，筆者進行了以下實驗：將長1m直徑0.3mm的鎳鉻絲（6Ω左右）與長1m直徑0.5mm的鎳鉻絲（2Ω左右）串聯，通電后，與0.3mm鎳鉻絲接觸的塑料膜先開始熔化.再將長2m直徑0.5mm的鎳鉻絲（4Ω左右）與很短的長20cm直徑0.3mm的鎳鉻絲（1Ω左右）串聯，通電后還是與0.3mm鎳鉻絲接觸的塑料膜先開始熔化.

（3）在電流相同，通電時間相同時，相同材料，同樣粗細的電阻絲，不論電阻大小如何，溫度的升高總是相同的.將1m長的鎳鉻絲接在電路中（可以看作電阻小的一段與電阻大的一段串聯），在不同的部位覆蓋塑料膜.通電后，可以看到與不同部位電阻絲接觸的塑料膜同時開始熔化.

（4）在研究電熱與電流關系的實驗中，在阻值相同的情況下，也不一定是電流大的電阻絲溫度升高快.例如同樣材料的電阻絲R1、R2.R1長L、橫截面積S，R2長4L、橫截面積4S，R1＝R2.R1中通以電流I，R2中通以電流2I，在同樣的時間里，R2產生的熱量多，Q2＝4Q1，但溫度的升高ΔT2＝ΔT1／4，電流小的電阻絲溫度反而高.因為R2的體積是R1的16倍，質量16倍，4倍的熱量分給16倍的質量，升高的溫度當然就少了.

由以上分析可見，用局部吸熱法演示焦耳定律的理論依據是站不住腳的.

3 空氣吸熱法的分析

筆者把空氣吸熱法歸類于整體吸熱法，是因為空氣吸收的是電阻絲整體的熱量且有一定的熱容量.但畢竟空氣的熱容量并不是很大，演示過程中可能出現一些枝節：在演示電熱與電阻的關系時，一開始是電阻大的一邊升溫快，但過了較短的時間減緩了，電阻小的一邊相對來說反而快些.最后兩邊溫度基本持平，這又是為什么呢？

空氣溫度的變化大體分為3個階段：開始階段，容器內空氣與外界空氣的溫差較小散熱較少，溫度近似線性上升（圖4中0～t1）.隨著溫度的升高，散熱加快，升溫減緩（圖4中t1～t2）.當吸收的熱量與散失的熱量相等時，達到熱平衡，溫度不再變化.由于空氣的熱容量較小，整個過程時間不長.

圖4

在圖1空氣吸熱法的演示中，兩邊電阻絲的材料和粗細是相同的，只是長度不同.根據前面的分析，在電流相同的情況下，電阻絲的升溫相同，由于電阻大的一邊，電阻絲較長，供給的熱量多，空氣膨脹快，上升快.因此在第一時間段（圖5中0～t1）電阻大的一邊升溫快（ΔT1＞ΔT2）.

圖5

由于空氣盒里空氣的質量相對比較小，熱容量較小，溫度很容易升高.第2時間段（t1～t2）電阻大的一邊進入第2階段，而電阻小的一邊仍處在第1階段，造成電阻小的一邊升溫快的假像（ΔT1′＜ΔT2′）.

經過一段時間以后兩邊都達到熱平衡，兩邊空氣的溫度都與電阻絲基本同步.根據上面的分析，兩邊電阻絲的溫度是相同的，空氣的熱膨脹相同，結果兩邊的液面基本相同.

因此在進行該實驗時，應掌握在第1時間段，觀察到液面上升快慢不同后就結束演示，否則出現后面的情況很難對學生解釋.

由于影響實驗的因素很多，以上分析雖然力求詳實，但難免有疏漏甚至有誤，望共同探討.