談?wù)勌骄繉?shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)作圖與圖像分析

葉鵬松

（蘇州市工業(yè)園區(qū)蓮花學(xué)校，江蘇 蘇州 215123）

數(shù)據(jù)作圖和圖像分析是科學(xué)研究的重要方法，它不僅可以用圖示的方式直觀地展示測(cè)量的結(jié)果，而且還可以清晰地揭示出各個(gè)變量之間的變化關(guān)系與變化趨勢(shì)，因此在各類(lèi)科學(xué)研究中有著非常廣泛的應(yīng)用.然而現(xiàn)行的初高中科學(xué)類(lèi)教材卻對(duì)此缺乏系統(tǒng)介紹，以至于許多重要實(shí)驗(yàn)規(guī)律的獲取過(guò)程被形式化或過(guò)分簡(jiǎn)約化.［1］這既不利于學(xué)生科學(xué)掌握數(shù)據(jù)作圖的基本方法與規(guī)范，也不利于培養(yǎng)學(xué)生必要的數(shù)據(jù)圖形分析能力，在一定程度上就制約了學(xué)生綜合探究能力與素養(yǎng)的提升.

隨著探究性實(shí)驗(yàn)活動(dòng)在中學(xué)開(kāi)展的不斷深入，筆者認(rèn)為很有必要就這一方法的科學(xué)應(yīng)用作一探討.下面筆者將結(jié)合中學(xué)物理教學(xué)的常見(jiàn)案例，就探究性實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)作圖與圖像分析及其應(yīng)用與同行們作一分析、交流.

1 作圖規(guī)范

表1所示的是探究彈簧長(zhǎng)度與所受拉力關(guān)系時(shí)獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

表1

若以圖示的形式展示這些測(cè)量結(jié)果，一般可遵循以下的方法和步驟.

（1）在坐標(biāo)紙上建立直角坐標(biāo)系，水平軸畫(huà)于紙的底端，縱軸畫(huà)于紙的左端，圖應(yīng)盡可能大一些，大的圖有利于提高作圖的精確度.

（2）明確自變量和應(yīng)變量，并標(biāo)于相應(yīng)的坐標(biāo)軸上.自變量是指那些實(shí)驗(yàn)中數(shù)值可以直接設(shè)定或加以控制的變量.本實(shí)驗(yàn)中自變量是指拉力F；應(yīng)變量是指那些實(shí)驗(yàn)中數(shù)值無(wú)法直接加以控制的變量，它可以看作是自變量變化的結(jié)果.本實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)變量是指彈簧長(zhǎng)度L.根據(jù)約定，自變量應(yīng)畫(huà)于水平軸，應(yīng)變量應(yīng)畫(huà)于豎直軸.另外，對(duì)于時(shí)間這一變量而言，人們總是將它畫(huà)于水平軸上.

（3）確定每個(gè)變量變化的范圍，選擇合適的比例標(biāo)度，并標(biāo)于相應(yīng)的坐標(biāo)軸上.

（4）標(biāo)明每個(gè)坐標(biāo)軸所代表的變量名稱(chēng)及其單位符號(hào).

（5）為圖表加上標(biāo)題，表明圖表反映的內(nèi)容.

（6）在坐標(biāo)紙上精確標(biāo)定各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，用圓點(diǎn)或小叉（×）標(biāo)記各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置，繪制出一條最適合的光滑圖線，讓它盡可能地通過(guò)或靠近所有的數(shù)據(jù)點(diǎn).圖線可能是直線，也可能是曲線.本實(shí)驗(yàn)中為一條直線.如果繪制正確的話，未在圖線上的少量數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎會(huì)等量地分布在圖線的兩側(cè).如此的圖線有利于我們減小各種測(cè)量帶來(lái)的偶然誤差.這種畫(huà)圖的方法常稱(chēng)為描點(diǎn)法.注意切不可以簡(jiǎn)單地用線段直接將各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分別相連.完成（1）至（4）步驟所得的圖形如圖1（a）所示，完成（5）至（6）步驟所得的圖形如圖1（b）所示，它直觀地展示出彈簧長(zhǎng)度隨拉力增大而均勻增加的線性關(guān)系.

圖1

2 圖像分析

繪制圖像不是實(shí)驗(yàn)探究的最終目的，探究的目的是通過(guò)繪制圖像，找出或發(fā)現(xiàn)隱含于其中的變量間的變化關(guān)系，就像開(kāi)普勒從第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)開(kāi)普勒三定律一樣.下面結(jié)合圖1（b）再談?wù)剤D像分析的一般方法和步驟.

2.1 直線方程的推導(dǎo)

圖1（b）顯示了彈簧長(zhǎng)度與所受拉力之間具有線性關(guān)系.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，它應(yīng)符合方程y＝ax＋b（其中a為直線斜率，b為縱軸截距），那么如何推導(dǎo)這一線性方程的具體表達(dá)式呢？以下是常用的方法和步驟.

（1）在直線上選取距離足夠大的兩個(gè)點(diǎn).

（2）分別求出這兩點(diǎn)之間的水平變化量和豎直變化量.

（4）找出直線在縱軸上的截距b.

（5）用實(shí)際變量的符號(hào)和計(jì)算結(jié)果代換直線方程y＝ax＋b.

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)，圖1（b）中的各變量數(shù)據(jù)關(guān)系方程可表示為L(zhǎng)＝0.15 F＋0.20.由于這類(lèi)關(guān)系表達(dá)式來(lái)自實(shí)驗(yàn)，所以又常被稱(chēng)作經(jīng)驗(yàn)公式.

（6）闡述圖像的斜率與截距的含義.圖像中的斜率a＝0.15m／N，它表明在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，每增加1N的拉力，該彈簧就增加0.15m的伸長(zhǎng)；圖像中縱軸的截距為0.20m，這是F＝0時(shí)彈簧的長(zhǎng)度，就是該彈簧的初始長(zhǎng)度.完成上述步驟后，所作對(duì)應(yīng)的圖像如圖2所示.

圖2

2.2 內(nèi)插法與外推法

結(jié)合所繪圖像，可以非常方便地由一個(gè)變量的數(shù)值推測(cè)出另一變量的數(shù)值.例如，從圖1中我們既可以找出當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度L＝0.40m時(shí)，它所受的拉力F＝1.30N；又可以得出當(dāng)彈簧所受的拉力F＝3.92N時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度L＝0.80m，如圖3所示.但2者在方法上略有不同，前者是在實(shí)驗(yàn)測(cè)量范圍內(nèi)尋找另一變量的數(shù)值，它推算出的結(jié)果可靠，這種方法稱(chēng)為內(nèi)插法.而后者是在實(shí)驗(yàn)測(cè)量范圍以外，尋找另一變量的數(shù)值，結(jié)果有時(shí)不可靠，這種方法稱(chēng)為外推法.很顯然，如果拉力取值太大，會(huì)超出彈簧所能承受的彈性限度，這一線性關(guān)系可能就不再成立，因此圖中的這一部分用虛線加以表示，見(jiàn)圖3所示.

圖3

當(dāng)然，內(nèi)插法與外推法也可結(jié)合所導(dǎo)出的直線方程加以應(yīng)用，這時(shí)只需將某一變量的數(shù)值代入方程，即可求出另一變量.

2.3 對(duì)其他線型的分析

除了簡(jiǎn)單的線型關(guān)系外，物理探究實(shí)驗(yàn)中還會(huì)遇到其他許多較為復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系.例如，理想氣體等溫變化時(shí)，氣體壓強(qiáng)與體積的反比關(guān)系；自由落體下落高度與下落時(shí)間的平方關(guān)系；單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)周期與擺長(zhǎng)平方根關(guān)系等等，它們的關(guān)系圖線分別如圖4（a）、（c）、（e）所示.對(duì)于這些關(guān)系圖線又如何加以分析呢？通?？刹捎没鸀橹钡姆椒?，即通過(guò)坐標(biāo)變換，將曲線圖轉(zhuǎn)換為直線圖來(lái)加以分析處理，具體過(guò)程如圖4（b）、（d）、（f）所示.

以上列舉的各種關(guān)系，實(shí)質(zhì)都是一種冪函數(shù)關(guān)系，指數(shù)分別為-1，2，.有時(shí)若不能明確指數(shù)的數(shù)值，我們還可以采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行分析.

圖4

例如，假設(shè)球的體積與球的半徑之間滿(mǎn)足V＝krn，式中k為比例系數(shù)，n為指數(shù).若要確定k和n的數(shù)值，可先將它兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得出lgV＝nlgr＋lgk；再作出lgV對(duì)lgr的直線圖，其結(jié)果如圖5所示.最后再根據(jù)圖形推得它的斜率n，根據(jù)截距推出k.這樣，我們就可由實(shí)驗(yàn)推導(dǎo)出球的體積公式，并可用它來(lái)檢驗(yàn)理論公式的正確性.

圖5

3 計(jì)算機(jī)軟件在作圖與圖像分析中的應(yīng)用

以上介紹的是一些探究性實(shí)驗(yàn)中作圖及圖像分析的基本方法和過(guò)程，其實(shí)，隨著信息技術(shù)的發(fā)展與普及，有很多計(jì)算機(jī)軟件可以幫助我們自動(dòng)完成這一過(guò)程.例如，微軟的Excel軟件就是一個(gè)功能強(qiáng)大的圖表制作與分析軟件，它不僅可以幫我們輕松完成各種圖形的制作，而且還能運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析功能找出最合適的圖線.靈活地運(yùn)用這些軟件，不僅可以提高圖形制作與分析的工作效率，而且更為重要的是，還能夠提高圖形分析與結(jié)果的準(zhǔn)確性.

下面以學(xué)生探究單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)周期T與擺長(zhǎng)L關(guān)系時(shí)，［2］獲得的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例（見(jiàn)表2所示），談?wù)凟xcel在這方面應(yīng)用的基本方法及其過(guò)程.

表2

啟動(dòng)工作表，在各標(biāo)題列輸入相應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理.

表3

（2）繪制圖像.

① 選中作圖的數(shù)據(jù)區(qū)域（B2∶C7），在工具欄中按一下作圖按鈕創(chuàng)建圖形.

② 在圖表類(lèi)型中選擇散點(diǎn)圖.

③ 在標(biāo)題框中輸入圖表標(biāo)題.

④ 在數(shù)值（x）軸框內(nèi)輸入自變量名稱(chēng)和單位符號(hào).

⑤ 在數(shù)值（y）軸框內(nèi)輸入應(yīng)變量名稱(chēng)和單位符號(hào).

⑥ 點(diǎn)擊完成按鈕.

（3）數(shù)據(jù)擬合.

① 選中所作圖表，點(diǎn)擊菜單欄“圖表”按鈕，選中“添加趨勢(shì)線”.也可以在圖表區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)上按右鍵，選擇“添加趨勢(shì)線”.

② 在添加趨勢(shì)線類(lèi)型中選擇“線性”選項(xiàng).

③ 在添加趨勢(shì)線選項(xiàng)中選中“設(shè)置截距為0”和“顯示公式復(fù)選框”.

④ 圖表區(qū)會(huì)自動(dòng)擬合并繪制出最佳直線，并顯示出它的方程.

（4）保存工作表.

當(dāng)完成上述步驟后，保存工作表.得到的單擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系圖如圖6所示.

圖6

（5）分析方程的斜率和截距.

Excel對(duì)這一線性擬合趨勢(shì)線給出的R2（相關(guān)系數(shù)的平方）為0.9999，非常接近于1.這也充分說(shuō)明：在整個(gè)實(shí)驗(yàn)的擺長(zhǎng)變化范圍內(nèi)，單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期T與單擺擺長(zhǎng)的平方根之間存在正比關(guān)系.

顯然，這一過(guò)程同以往高中物理課本中單純地測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)相比，更突出了實(shí)驗(yàn)探究的科學(xué)思想和方法技能.

基于上述思想，筆者還依托綜合實(shí)踐活動(dòng)課程，開(kāi)設(shè)了“科學(xué)探究中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖表分析”專(zhuān)題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，http：／www.sipxw.cn：8080／dataanalysis／dataanalysis.htm.［3］

上面列舉了許多有關(guān)數(shù)據(jù)分析處理的實(shí)例，可以有效地指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)據(jù)采集的基礎(chǔ)上，去自主發(fā)現(xiàn)開(kāi)普勒第三定律、哈勃定律、剎車(chē)規(guī)律、收尾速度規(guī)律、［4］拋體最佳投擲角［5］等一系列實(shí)驗(yàn)規(guī)律，從而有效地提高學(xué)生信息化背景下的探究能力.

除Excel軟件外，還有一些小巧的專(zhuān)業(yè)軟件也可用于探究實(shí)驗(yàn)的作圖和圖像分析，例如Equation Grapher with Regression Analyzer和Graphical analysis都是很不錯(cuò)的數(shù)據(jù)圖像分析軟件，尤其是Graphical analysis.2002年筆者在新西蘭進(jìn)修時(shí)，就看到許多新西蘭的學(xué)生在探究實(shí)驗(yàn)中，熟練地運(yùn)用它來(lái)處理分析數(shù)據(jù)，探究實(shí)驗(yàn)規(guī)律，非常專(zhuān)業(yè)，很值得我們國(guó)內(nèi)的教學(xué)借鑒.目前該軟件還推出了面向移動(dòng)終端的軟件版本，有興趣的讀者可分別到下列網(wǎng)站下載這些軟件的試用版：http：／www.mfsoft.com／equationgrapher和http：／／www.vernier.com／soft／ga.html.

對(duì)比國(guó)外的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，筆者感到國(guó)內(nèi)物理教材在編寫(xiě)時(shí)可進(jìn)一步突出探究實(shí)驗(yàn)教學(xué)中數(shù)據(jù)作圖與圖像分析的系統(tǒng)性介紹，同時(shí)加強(qiáng)物理學(xué)科與信息技術(shù)應(yīng)用的有機(jī)整合，以突出信息化背景下科學(xué)探究的時(shí)代性和實(shí)效性.

1 楊勇誠(chéng).巧用Excel軟件處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的教學(xué)案例［J］.物理教師，2013（6）：38-40.

3 葉鵬松.科學(xué)探究中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖表分析［J］.網(wǎng)絡(luò)科技時(shí)代，2008（130）：54-57.

4 葉鵬松，陳剛.收尾速度的實(shí)驗(yàn)探究［J］.物理教學(xué)，2004（8）：21-22.

5 葉鵬松.基于Excel的多變量動(dòng)態(tài)控制演示［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2003（11）：53-54.