為什么發射速度越大線速度越小

朱具德 徐虎勤

（江蘇省新沂市第一中學，江蘇 新沂 221400）

1 問題的提出

對于衛星（本文指的均是圓軌道衛星）其發射速度越大，穩定時其軌道離地面就越高，軌道半徑就越大，根據

即線速度就越小.但為什么發射速度越大，軌道越高，線速度越小？這可從兩個方面分析.

2 問題的分析

（1）利用引力勢能公式.

設地球質量為M，半徑為R，衛星質量為m，距地面高度為h，G為引力常量.取距地球球心無窮遠處引力勢能為0，則衛星在軌道上的勢能為

不計空氣阻力，根據機械能守恒定律有

衛星做勻速圓周運動時有

由（1）、（2）式可得

由（3）、（4）式可見，衛星發射速度越大，軌道越高，線速度越小.

由此也可看出發射高軌道衛星比發射低軌道衛星更為困難，從能量的角度來講：一方面考慮空氣阻力時，高度越大，火箭需要克服阻力做功越多；另一方面高度越大，火箭需要克服地球引力做的功也越多.

上述方法盡管嚴密，但是由于中學階段并未學習引力勢能公式，所以筆者再嘗試運用離心現象理論進行分析.

（2）利用離心現象理論.

假設衛星貼著地面上的A點沿切線被發射出去（如圖1），發射速度為第一宇宙速度v1＝7.9km／s，則萬有引力剛好提供衛星所需向心力，即

圖1

此時衛星正好做勻速圓周運動，且v發＝v線＝v1.

如果衛星以較大的發射速度v2（比如v2＝9km／s）發射，由于地球對衛星提供的引力小于衛星所需的向心力，即它將做離心運動，繞地球運行的軌跡就不是圓，而是橢圓.要想使它的軌跡是圓，怎么辦？

顯然不能任其自由飛行，而應在衛星飛行到距地面某一適當高度位置（設為B點，高度為hB）改變飛行方向.因為衛星在初始離心飛行階段有

隨著衛星飛離地面越遠越高（h增大），其速度v2′逐漸減小，此時地球提供的引力和衛星所需的向心力雖然都在減小，但是衛星所需的向心力減小更快.根據

這時，改變衛星飛行方向如圖2，其飛行的軌跡就是圓了.

圖2

圖3

如果衛星的發射速度更大為v3（如v3＝10km／s），它飛行到剛才B位置所在的高度（設速度為v3′）改變飛行方向就不行了.因為v3＞v2，所以v3′＞v2′.衛星仍離心.

仿上，衛星應在離比B更高的某一恰當位置（設為C）改變飛行方向才能使其軌跡變為圓，如圖3所示，其線速度更小.綜上，衛星發射速度越大，軌道越高，線速度越小.

3 結束語

以上只是為了分析問題方便而給出的衛星發射簡化模型.事實上衛星的發射并不像炮彈發射那樣一蹴而就，其發射速度是逐漸增大的，其飛行軌跡由橢圓變為圓也是極為復雜地加以控制的.