從“質心運動定理”和“質點系動能定理”看汽車的牽引力問題

楊習志

（昆明市第一中學，云南 昆明 650031）

通過查閱相關文獻，筆者發現關于汽車的牽引力問題有多種解釋和看法，但這些說法大都自相矛盾，不能自圓其說.比如，看法1認為汽車的牽引力是氣缸通過傳動軸對輪胎施加的驅動力矩，這種解釋存在一個很大的問題，即驅動力矩是內力，而內力無法改變汽車質心的平動問題.如果把汽車架空的話，縱使驅動力矩有多大，汽車依然無法前行.看法2認為牽引力是輪胎對汽車軸心的拉力，可這是一個內力，因為軸心也對汽車輪胎有個大小相等的反作用力，明顯不對.看法3認為牽引力是地面對主動輪產生的靜摩擦力，由于靜摩擦力是個外力，故這種看法消除了內力不能改變汽車質心的平動問題，但這個靜摩擦力不做功，故解釋不了汽車動能從哪來的問題.以上看法之所以出現各種問題和矛盾，其根本原因在于沒有理論支撐，大多來自于自己的想法.雖然有些也給出了定量的證明，但沒有最根本的理論做大前提，證明也是無效的，因此本文主要從質心運動定理和質點系運動定理出發探討汽車的牽引力問題.

1 質心運動定理與汽車質心的平動問題

質心運動定理：無論質點系怎樣運動，質點系質量與質心加速度的乘積總是等于質點系所受一切外力的矢量和，即根據質心運動定理，內力不會影響質心的運動狀態，如果一個系統所受的外力矢量和為0，則不論系統內各質點如何運動，其質心一定是靜止或勻速直線運動狀態的.王充在《論衡·效力篇》中說“古人之力多者，身能負荷千鈞，手能決角伸鉤，使之自舉，不能離地”.即人的力量再大也不可能通過自身內力將自己舉起.再如雙星系統，兩顆星在引力作用下坍縮在一起，雖然兩顆星的動能和運動狀態在變，但雙星的質心始終不會發生移動.如果一個系統所受的外力矢量和不為0，則不論系統內各質點如何運動，其質心一定具有合外力方向上的加速度，且與系統內各質點的質量集中在質心所具有的加速度相同.例如，一個跳水運動員，不管他在空中做出什么樣的動作，但他的質心始終在做拋體運動，質心的加速度就等于重力加速度.如圖1所示，當禮花被打到高空爆炸時，雖然禮花向四周炸開，但禮花的質心依然做拋體運動，故禮花炸開后成球形.

圖1

通過上述分析我們可知，汽車的氣缸通過傳動軸作用于輪胎的驅動力矩和汽車輪胎作用于車輪軸心的力都不是汽車的牽引力，因為它們是汽車的內力，內力無法改變汽車質心的運動狀態，故要使汽車的質心發生平動，就必須受到一個不為0的外力的作用，這個力就是主動輪受到的靜摩擦力（實際上不完全相等，后面將繼續探討），如圖2所示，汽車有從動輪和主動輪之分，當然也有四輪驅動的.從動輪運動時受到的靜摩擦力f2與運動方向相反，是一個阻力，汽車關閉發動機運動時，主動輪的受力情況與從動輪是一樣的.若主動輪在驅動力矩的作用下轉動，則輪胎受到的靜摩擦力f1與運動方向相同，是一個動力，同時，汽車還受到了空氣阻力f空阻的作用.實際上輪胎或地面會發生形變，產生滾動摩擦力偶矩，對輪胎的轉動會起到一定的阻礙作用，但相對于驅動力矩而言，滾動摩擦力偶矩非常的小，可以忽略不計，故只討論無形變的理想情況.此時，汽車受到的合外力為F合＝f1-f2-f空阻，故根據質心運動定理得F合＝f1-f2-f空阻＝mac，所以牽引汽車運動，使汽車獲得平動加速度的力是汽車主動輪受到的靜摩擦力f1.此時，問題并沒有結束，因為在實際運用中，人們發現用f1作為牽引力計算出的結果與實際不符，因為我們忽略了一個問題，當汽車發動機不工作時，主動輪的受力情況與從動輪是一樣的，即受到一個向后的靜摩擦力f2的作用.而當發動機工作時，主動輪受到的力從向后的f2突變為向前的f1，故當發動機工作時，汽車獲得的力Δf＝f1-（-f2）＝f1＋f2，因此，Δf才是汽車真正的牽引力.因此，可以把汽車的牽引力定義為汽車發動機工作前后汽車主動輪所受地面摩擦力的變化量.

圖2

2 質點系動能定理與汽車獲得的動能問題

搞清楚什么是牽引力之后，我們依然無法回答另一個問題，即汽車受到的靜摩擦力不做功，那么汽車獲得的動能是哪來的，這就需要運用質點系動能定理了.質點系動能定理：質點系動能的增量在數值上等于質點系所受一切外力和一切內力所做功之和，即 ∑A外＋∑A內＝ ∑Ek-∑Ek0.根據質點系動能定理，無論是系統的外力或內力做功，系統的動能都將增加，故汽車所增加的動能來源于汽車的內力做功，即氣缸產生的熱能轉變成推動活塞運動的機械能，活塞再通過傳動軸對輪胎產生驅動力矩，使輪胎獲得了轉動動能.到此，汽車雖然獲得了動能，但卻是輪胎的轉動動能，并不是汽車的平動動能，汽車是無法前行的，因此，汽車的牽引力Δf此時就起到了能量轉化的作用，它雖然不能對汽車做功，但卻能使汽車的質心產生平動加速度，從而幫助汽車將它的內力所做的功轉化為它自身的平動動能，故二者缺一不可，沒有內力做功，汽車無法獲得輪胎的轉動動能，但沒有牽引力，輪胎的轉動動能卻不能轉變為汽車的平動動能.整個過程可歸結為2個方程，即Δf-f2-f空阻＝mac和∑A內＝ΔEk.實際上汽車的啟動原理和人走路或起跳時是一樣的，如圖3所示，人在走路時后腳因向后蹬地而獲得了向前的靜摩擦力f，這個靜摩擦力不做功，但人卻獲得了向前走的速度，甚至可以做加速運動.人起跳時（腳離地前）受到了向上的支持力N，但支持力N也不做功，那么人是怎樣獲得向上運動的動能的呢？其實，人走路時受到的靜摩擦力f和起跳時受到地面的支持力N 都是起到了能量轉化的作用，它們都不做功，但卻可以使人體的質心獲得平動加速度，從而將人體內力做的功轉化為人的平動動能.

圖3

3 產生牽引力的根本原因與牽引力的計算

前面講到的牽引力Δf是靜摩擦力.我們知道靜摩擦力是一種被動產生的力，它的產生以及大小都決定于輪胎受到的驅動力矩的大小，故驅動力矩M驅是產生牽引力的根本原因，并且決定著牽引力的大小.雖然用Δf＝f1＋f2可以很清楚很形象地代表牽引力的大小，但在實際運用或是計算中并不好用，因為它的大小是被動的，故牽引力大小的計算需要利用驅動力矩M驅，即Δf＝M驅／r，其中r為輪胎的半徑.由于人們經常用M驅／r來計算牽引力的大小，故在工程上或汽車行業上人們習慣上把M驅／r叫做汽車的牽引力.其次，由于 Δf＝f1＋f2，而f1≤f靜max，故Δf＝M驅／r≤f靜max＋f2，因此汽車的牽引力大小受制于汽車與地面之間的最大靜摩擦力f靜max.

1 漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學［M］.北京：高等教育出版社，2005.

2 劉德華.對汽車牽引力問題的探討［J］.物理教師，2004（11）.

3 劉自華.汽車牽引力究竟是什么［J］.物理教學探討，2006（261）.