例析牛頓第二定律應用之臨界問題的解題思想和方法

劉 玲

（復旦大學附屬中學，上海 200433）

1 立足基礎 —— 掌握臨界問題的思路和方法

我們先來看一下2012年上海高考第30題，通過這道題目來討論解決臨界問題的基本思想和方法.

圖1

例1.（2012年上海卷）如圖1，將質量m＝0.1kg的圓環(huán)套在固定的水平直桿上.環(huán)的直徑略大于桿的截面直徑.環(huán)與桿間動摩擦因數μ＝0.8.對環(huán)施加一位于豎直平面內斜向上，與桿夾角θ＝53°的拉力F，使圓環(huán)以a＝4.4m／s2的加速度沿桿運動，求F的大小.

圖2

解析：對圓環(huán)進行受力分析，臨界條件為桿對圓環(huán)的彈力為0，此時受力分析如圖2所示.此時，滿足Fsinθ-mg＝0，得F＝N＝1.25N.

圖3

（1）當F＜1.25N，時，環(huán)與桿的上部接觸，受力分析如圖3所示.根據牛頓第二定律，

聯(lián)立（1）、（2），有

圖4

（2）當F＞1.25N，時，環(huán)與桿的上部接觸，受力分析如圖4所示.根據牛頓第二定律，

所以有

圖5

例2.質量分別為mA和mB的兩個物體A、B疊放在光滑水平桌面上，如圖5所示當用某一水平力拉B時，A、B兩物體恰好能一起以加速度a1做勻加速運動，那么如果在A上加一水平力，要使A、B之間不發(fā)生相對運動，水平力不能大于多少？

解析：用水平力拉B時，A是依靠B給它的靜摩擦力產生加速度的，所謂恰好能一起以加速度a1做勻加速運動，也就是說如果水平力再大的話，A、B之間就要發(fā)生相對運動了，所以臨界條件是此時A、B之間的摩擦力達到最大值.對A物體應用牛頓第二定律，可以得到A、B之間的最大靜摩擦力為fm＝mAa1.

當一水平力加在A物體上時，B是依靠A給它的靜摩擦力產生加速度的，所以臨界條件是此時A、B之間的摩擦力達到最大值.設此時的加速度為a2，對B物體應用牛頓第二定律，有fm＝mBa2.所以得到a2＝.對A、B 整體應用牛頓第二定律，有

從對上述兩道題目的分析我們發(fā)現(xiàn)，在動力學中，接觸與脫離的臨界條件是彈力等于0，相對靜止的臨界條件是靜摩擦力達到最大值，解決臨界問題要牢牢抓住這個關鍵點.

2 綜合應用——與連接體問題的結合

在動力學中臨界問題經常和比較復雜的連接體問題一起出現(xiàn)，除了要掌握臨界問題的關鍵點，還要注意連接體問題中整體法和隔離法的使用.

（1）連接體的系統(tǒng)中有兩個物體.

圖6

例3.兩個質量都為m的滑塊A和B，緊挨著并排放在水平桌面上，A、B間的接觸面垂直于圖6中紙面與水平面成θ角，所有接觸面都光滑無摩擦.現(xiàn)用一個水平推力F作用于滑塊A上，使A、B一起向右做加速運動，如果要使A、B間不發(fā)生相對滑動，水平推力的大小在什么范圍內？

解析：首先應用整體法，把A、B看做一個整體，在水平推力F作用下，A、B共同加速運動，則

然后利用隔離法，分別隔離A，B，受力分析如圖7所示，F(xiàn)TA、FTB為A、B間相互作用的彈力，與斜面垂直.FNA、FNB分別為地面A、B作用的彈力，與地面垂直.

圖7

對A列方程

對B列方程

接下來分析物體的臨界狀態(tài).注意，這道題目的臨界條件比較隱蔽，對物體的受力情況列出方程后，要一步一步仔細分析，從而找出臨界條件.

由（1）式可知，當F增大時，a增大.由（4）式可知，a增大時，F(xiàn)TB增大，則FTA也增大.由（3）式可知，F(xiàn)TA增大，F(xiàn)NA減小.

通過上面的分析，A、B間不發(fā)生相對滑動的臨界條件為FNA＝0，即A與地面分離.設此時對應的加速度為a0，當加速度大于a0時，則FTAcosθ＞mg，A具有豎直向上的加速度，A被擠離地面.

當FNA＝0時，對A有FTAcosθ＝mg，對B有FTBsinθ＝ma0，解得a0＝gtanθ.對整體而言，F(xiàn)＝2ma0，可得F＝2mgtanθ.所以F的取值范圍是0≤F≤2 mgtanθ.

（2）有多個物體的連接體系統(tǒng).

當系統(tǒng)內有多個物體時，巧妙選取研究對象就顯得非常重要了.看下面的題目.

圖8

例4.光滑水平面上放置質量分別為m和2 m的4個木塊，其中兩個質量為m的木塊間用一不可伸長的細繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是μmg，如圖8所示.現(xiàn)用水平拉力F拉其中一個質量為2 m的木塊，使4個木塊以同一加速度運動，求輕繩對m的最大拉力T和F的最大值.

解析：這道題目物體比較多，可以通過巧妙地選取研究對象來解決問題.

首先，從木塊間的靜摩擦力入手.對上面的兩塊木塊和左下方的木塊這3塊木塊來說，它們在水平方向上的合外力為右上方木塊和右下方木塊之間的靜摩擦力，所以此題的臨界狀態(tài)為右上方木塊和右下方木塊之間的靜摩擦力達到最大值，為μmg，設此時上面的兩塊木塊和左下方的木塊這3塊木塊整體的加速度為a0.根據牛頓第二定律，有μmg＝（m＋m＋2 m），得

圖9

例5.光滑的圓球恰好放在木塊的圓弧槽內，它們的左邊接觸點為A，槽半徑為R，且OA與水平面成α角.球的質量為m，木塊的質量為M，木塊所處的平面是水平的，各種摩擦及繩、滑輪的質量都不計，如圖9所示.求釋放懸掛物P后，要使球和木塊保持相對靜止，P物的質量的最大值是多少？

圖10

解析：首先應用隔離法，對圓球進行受力分析（如圖10所示）.我們發(fā)現(xiàn)臨界條件是：當二者即將發(fā)生相當運動時，圓球會繞A點翻轉.臨界狀態(tài)圓球的受力分析如圖10所示，根據牛頓第二定律，有

由（1）式得，α≤45°時，小球發(fā)生相對運動的加速度a＞g，故當α≤45°時，球和木塊不會發(fā)生相對運動.

若α＞45°時，由（1）、（2）式得，

從上面的分析可知，在臨界問題的課堂教學中，教師通過講解，首先應該使學生學會解決臨界問題的基本方法，然后還要使學生體會與其他問題的結合（如連接體問題）.在這樣的過程中使學生逐漸深入理解問題的本質，讓學生學會融會貫通、比較鑒別和綜合歸納.這對提高學生的學習積極性、提高解題能力和培養(yǎng)創(chuàng)新思維是大有裨益的.

1 李品忠.復旦大學附屬中學高三物理總復習講義（力學分冊）［M］.上海：復旦大學出版社，2010.

2 陳海燕.牛頓第二定律的幾類典型應用［J］.中學物理，2013（9）.

3 朱浩.龍門專題·高三力學［J］.北京：龍門書局，2011.

4 高成軍.談高一教學中牛頓第二定律結合臨界問題的難點突破［J］.物理教師，2011（9）：14-16.