巧用整體法 妙解連接體

陳燕琴

（浙江省回浦中學(xué)，浙江 臺(tái)州 317000）

在高中力學(xué)題中有一類常見(jiàn)題型便是連接體問(wèn)題，整體法與隔離法是解決該類題型的常用方法.我們將系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力稱為內(nèi)力，系統(tǒng)與外界的相互作用力稱為外力.整體法的優(yōu)點(diǎn)在于只需分析整個(gè)系統(tǒng)與外界的關(guān)系，避開(kāi)了系統(tǒng)內(nèi)部繁雜的相互作用，從而更簡(jiǎn)潔、更本質(zhì)地展現(xiàn)出物理量間的關(guān)系.缺點(diǎn)是無(wú)法討論系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的情況.當(dāng)求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時(shí)，則需將某個(gè)物體從系統(tǒng)中隔離出來(lái)進(jìn)行受力分析.因此整體法往往與隔離法結(jié)合使用，二者處于既合作又分工的關(guān)系.解決具體問(wèn)題時(shí)，合理使用整體法，可充分發(fā)揮它的優(yōu)點(diǎn)，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷、迅速、明了，從而達(dá)到有效的提高學(xué)生解題效率的目的.

圖1

例1.如圖1所示，物體A靠在豎直墻面上，在力F作用下，A、B保持靜止，求墻面對(duì)物體A的彈力大小.

解析：若以物體A為研究對(duì)象，由于物體B對(duì)物體A及墻面對(duì)物體A的作用力的不確定，使得對(duì)物體A的受力分析變得復(fù)雜.倘若以物體A和物體B整體為研究對(duì)象，就可以避開(kāi)這個(gè)問(wèn)題，對(duì)整體而言，物體受重力及豎直向上的力F，再結(jié)合整體的平衡狀態(tài)可知，墻面對(duì)物體A的彈力為0.

連接體問(wèn)題常可分為3類：其一，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，即物體處于靜止?fàn)顟B(tài)或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài).其二，系統(tǒng)以相同的加速度做變速運(yùn)動(dòng)，如勻變速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)等.其三，系統(tǒng)內(nèi)各物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng).針對(duì)上述3類問(wèn)題，均應(yīng)采用與之相對(duì)應(yīng)的方法來(lái)求解.

1 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)

若求外力，首選整體法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，再根據(jù)系統(tǒng)平衡條件分別對(duì)不同對(duì)象進(jìn)行分析，或以部分為研究對(duì)象，或以某個(gè)物體為研究對(duì)象，逐步求解.若求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力，則選擇受力個(gè)數(shù)相對(duì)少的物體或部分從系統(tǒng)中隔離出來(lái)對(duì)其受力分析，再輔以整體法交替靈活使用.

圖2

例2.如圖2所示，在兩塊相同的豎直木板間，有質(zhì)量均為m的4塊相同的磚，用2個(gè)大小均為F的水平力壓木板，使磚靜止不動(dòng)，則左邊木板對(duì)第1塊磚，第2塊磚對(duì)第3塊磚的摩擦力分別為

（A）4 mg，2 mg. （B）2 mg，0.

（C）2 mg，mg. （D）4 mg，mg.

解析：各磚塊間相互作用力的不確定使得對(duì)磚塊的受力分析變得繁雜.若將4個(gè)磚塊看作一個(gè)整體，受力分析如圖3所示.由平衡條件可知f1＝f4＝2 mg.再以磚塊1和磚塊2整體為研究對(duì)象受力分析如圖4所示，由平衡條件可知，第2塊磚與第3塊磚間的摩擦力為0，答案選（B）.

圖3

圖4

2 系統(tǒng)以相同的加速度做變速運(yùn)動(dòng)

解此類題型常用方法：若所求的是外力，則先用隔離法對(duì)系統(tǒng)內(nèi)物體進(jìn)行受力分析，利用牛頓第二定律求出該物體的加速度，再利用整體法及牛頓第二定律求出外力.若所求的是內(nèi)力，則先用整體法對(duì)系統(tǒng)受力分析，再利用牛頓第二定律求出系統(tǒng)的加速度，最后用隔離法及牛頓第二定律求出內(nèi)力.總之，以物體的加速度作為內(nèi)力和外力的聯(lián)系紐帶.

例3.航天員在航天器中繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，航天員處于完全失重狀態(tài)，試證明之.

解析：很多學(xué)生不理解為什么航天器中航天員會(huì)處在完全失重狀態(tài)，不是有重力嗎？又例如將底端帶有小孔的瓶子裝滿水自高處自由落下，在不計(jì)空氣阻力時(shí)，為什么水不會(huì)漏出來(lái)？理解此類問(wèn)題，就需有一個(gè)整體的意識(shí).

以航天器整體為研究對(duì)象，設(shè)航天器及內(nèi)部物體總質(zhì)量為M，航天員的質(zhì)量為m，航天器運(yùn)行的軌道半徑為R，且航天員在航天器中所受的支持力為FN，則有

再以航天員為研究對(duì)象有

易解得FN＝0，即航天員處在完全失重狀態(tài).同理，可以理解為什么處于自由落體狀態(tài)的瓶子里的水不會(huì)漏出來(lái).

圖5

例4.如圖5所示，在傾角為30°的光滑斜面上放置質(zhì)量分別為m和2 m的4個(gè)木塊，其中兩個(gè)質(zhì)量為m的木塊間用一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是fm，現(xiàn)用平行于斜面的拉力F拉其中一個(gè)質(zhì)量為2 m的木塊，使4個(gè)木塊沿斜面以同一加速度向下運(yùn)動(dòng)，則拉力F的最大值是

解析：此題的難點(diǎn)在于系統(tǒng)內(nèi)物體較多，且物體間的摩擦力大小、方向不明確.此時(shí)若能巧妙利用整體法可使問(wèn)題簡(jiǎn)化.研究木塊1、2間的摩擦力時(shí)，先以4個(gè)木塊整體為研究對(duì)象，經(jīng)受力分析可知系統(tǒng)的加速度滿足a＝gsin30°＋F／（6 m）.再以木塊1、3、4整體為研究對(duì)象可知木塊1所受的摩擦力沿斜面向下，且有f21＝4 ma-4 mgsin30°.研究物塊3、4間的摩擦力，可以木塊4作為研究對(duì)象，由a可知，木塊4所受的摩擦力方向沿斜面向下，且有f34＝2 ma-2 mgsin30°.由此可知，當(dāng)木塊1、2間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，拉力F達(dá)最大值.綜上可知，答案選（C）.

3 系統(tǒng)內(nèi)各物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng)

解此類題型常用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律，雖然該部分內(nèi)容在高中期間不要求，但若能讓學(xué)生了解該部分內(nèi)容，很多棘手的問(wèn)題都可以迎刃而解.質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律可敘述為：質(zhì)點(diǎn)系的合外力等于系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度乘積的矢量和.即

這里假定質(zhì)點(diǎn)系中有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有對(duì)地的相對(duì)加速度.運(yùn)用時(shí)可將系統(tǒng)所受的外力及各物體的加速度按選定的直角坐標(biāo)系進(jìn)行正交分解，即

此時(shí)，受力分析過(guò)程中，可不考慮系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力，從而達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的.當(dāng)然，質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律同時(shí)也適應(yīng)于上述所提到的第一類和第二類問(wèn)題，甚至在有些問(wèn)題中比上述2種方法還要簡(jiǎn)便.

圖6

例5.如圖6所示，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物塊正在沿斜面以速度v0勻速下滑，斜劈保持靜止，則地面對(duì)斜劈的摩擦力

（A）等于0.

（B）不為0，方向向右.

（C）不為0，方向向左.

（D）不為0，v0較大時(shí)方向向左，v0較小時(shí)方向向右.

解析：由于2個(gè)物體都處在平衡狀態(tài)，故根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律可知兩物體組成的系統(tǒng)在水平方向的合外力為0，即答案選（A）.

圖7

例6.如圖7所示，在水平面上的箱子內(nèi)，帶異種電荷的小球A、B用絕緣細(xì)線分別系于上、下兩邊，處于靜止?fàn)顟B(tài).箱底受地面支持力為N，球B所受細(xì)線的拉力為F.剪斷連接球B的細(xì)線后，在球B上升過(guò)程中箱底受地面的支持力

（A）小于N. （B）等于N.

（C）等于N＋F. （D）大于N＋F.

解析：以3個(gè)物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，設(shè)箱子、小球A和B的質(zhì)量分別為m、mA、mB，球B的加速度為a.由質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律可知箱子受到地面的支持力滿足

對(duì)小球B有 FAB-mBg＝mBa，

繩剛剪斷時(shí) FAB-mBg＝F.

又因?yàn)樾∏駼上升的過(guò)程中，兩球間的相互作用力FAB逐漸變大，故小球B上升過(guò)程中有mBa＞F.即答案選（D）.

質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律在解決連接題問(wèn)題，特別是系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)以不同的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)可以帶來(lái)極大的便利.但是學(xué)生在初學(xué)時(shí)往往對(duì)其持有“懷疑”心態(tài).因此，在具體的教學(xué)過(guò)程中建議先用常規(guī)的方法解題，再利用質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律循序漸進(jìn)，一方面讓學(xué)生充分感受到該方法的便捷，另一方面有助于學(xué)生的理解、接受及學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化.

在運(yùn)用整體法解決涉及豎直方向上外力的問(wèn)題時(shí)，還可引用超重（或失重）的方法解題.例如上述例6中剪斷繩子后，球B向上以加速度a加速，處超重狀態(tài)，超重mBa.因此箱底受到地面的支持力大小為N＋mBa.因?yàn)榍駼上升過(guò)程中a逐漸變大，且繩子剪斷瞬間F＝mBa，故（D）正確.該方法本質(zhì)上與質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律相同，但因?yàn)閷W(xué)生有理論基礎(chǔ)，因此較之更容易接受和理解.

綜上所述，在分析兩個(gè)或兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)與系統(tǒng)外物體間的相互作用力時(shí)，應(yīng)首選整體法.而在分析系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時(shí)，需考慮用隔離法.何時(shí)用整體法何時(shí)用隔離法，只有在分析到位后，才能真正實(shí)現(xiàn)“巧用”二字.

整體法和隔離法不僅適用于力學(xué)問(wèn)題，而且在電磁學(xué)中也有不少應(yīng)用.如果我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中能將兩種方法融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用，一定能達(dá)到加快解題速度，提高解題效率，實(shí)現(xiàn)事半功倍的目的.

1 王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計(jì) 高考復(fù)習(xí)（物理）［M］.杭州：浙江教育出版社，2012.6.

2 所廣一，王玉棟.5年高考三年模擬：B版 高考物理［M］.北京：首都師范大學(xué)出版社，2011.5.

3 陳益富.連接體問(wèn)題歸類分析［J］.物理教師，2014（2）：89-91.