應用幾何法分析平面運動圖形一條直線上點的速度

孔艷平 段淑敏

（石家莊鐵道大學工程力學系，河北 石家莊 050043）

在運動過程中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運動稱為平面運動.［1］剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在它自身平面的運動.在理論力學的教學中，求平面運動圖形上一點的速度是教學的重點，一般給學生講解3種方法，分別是基點法、速度投影法和速度瞬心法.基點法（速度合成法）和速度瞬心法，不僅可以求出點的速度，還可以求出平面運動圖形的角速度，但是基點法要求學生正確繪出速度矢量圖，瞬心法則要求學生能準確找出瞬心.投影法比較簡單，但是僅能求出點的速度，而平面運動圖形的角速度無法求得.該部分內容在理論力學的教學中起到承前啟后的作用，速度的求解不僅與該圖形上點的加速度密切相關，還與動力學部分的內容緊密聯系，而且學生掌握起來比較困難，針對這種情況，本文應用幾何法討論了平面運動圖形上一些特殊點的速度，可以作為上述3種方法的補充.

1 平面運動圖形一條直線上點的速度分析

如圖1所示，圖形S做平面運動［2］，已知圖形上A、B兩點的速度分別為 A和B，A、B兩點之間的距離為l，A點的速度方向與AB連線的夾角為θA，B點的速度方向與AB連線的夾角為θB，A的末端為M 點，B的末端為N點，連接MN與AB延長線交于P點，此時，可以用簡便的幾何方法確定AB連線上任意一點的速度大小和方向.

圖1

（1）AB之間任意一點（例如D點）的速度矢量的末端一定在直線MN上，其具體位置為：首先過 A的末端M點作AB的平行線MM′，過D作速度矢量 A的平行線，與MM′交于點G，過G點作AB的垂線，與直線MN的交點就是該點速度矢量末端，如圖1中的Q點.

（2）P點速度矢量一定沿MN 的直線，方向如圖1所示.其具體位置：過P作速度矢量 A的平行線，與MM′交于點L，過L點作AB的垂線，與MN延長線的交點就是該點速度矢量末端，如圖1中的E點.

下面分別用速度瞬心法和基點法證明上述結論.

2 瞬心法證明

（1）AB之間任意一點的速度.

如圖2所示，AB方向為x軸，與AB垂直的方向設為y軸，M 點的坐標為（vAcosθA，vAsinθA），N 點的 坐標為（vBcosθB＋l，vBsinθB）.

圖2

直線MN的方程為接下來求平面運動圖形的速度瞬心C＊的位置坐標.過A、B兩點分別作速度的垂線，交點即為C＊，A C＊的直線方程為

BC＊的直線方程為

可以求得速度瞬心C＊的坐標為

假設D的坐標為（d，0），已知D點和C＊點的坐標，可以求得DC＊的直線斜率為

由速度瞬心法可知，D⊥DC＊，所以DG的直線斜率為

已知D點的坐標和DG的直線斜率，可以求得DG的直線方程為

由速度投影定理可知D點速度矢量的末端G點的橫坐標為xG＝d＋vAcosθA，所以根據DG的直線方程可以求出D點速度末端G點的縱坐標為

MN的直線方程為

MN的直線上橫坐標為xQ＝d＋vAcosθA，對應的縱坐標為

比較式（1）和（3）可知，D點速度矢量的末端Q點一定在MN上.

（2）MN與AB連線的交點P點的速度方向.

P點的位置坐標為

PC＊的直線斜率為

MN直線的斜率為

由式（4）和式（5）可知，kPC＊kMN＝-1，所以直線PC＊和MN垂直，因此可知P點的速度方向一定沿MN的延長線.

3 基點法證明

（1）AB之間任意一點的速度.

要確定AB上一點D的速度矢量，假設AB為水平，AD之間的距離為d，先分析B點的速度矢量特點，由基點法可知

根據速度投影定理有vAcosθA＝vBcosθB.

如圖3所示，在速度矢量三角形BRN中，相對速度BA的方向沿RN 且垂直于AB（即豎直向下），vBA＝ωl，ω為平面運動圖形的角速度.

圖3

相同的分析可知，D點的速度 D與A點的速度 A在AB方向也有相同的投影，所以 D的矢端一定在直線GH上，GH垂直AB，D點相對于A 點的速度為vDA＝ωd，其速度的端點為Q′點，令DA＝G′，從G點做AB的垂線與MN 交于點Q，只要證明Q和Q′重合即可.因為GQ／／RN，△MGQ與△MRN相似，則，MG＝d，MR＝l，因此，GQ＝＝ωd，因此相對速度v的端點Q′和Q 重DA合，即D點的速度矢端一定在MN的連線上.

（2）MN與AB連線的交點P點的速度.

設PB的長度為b，P點相對于A點的速度為vPA＝，從L點作RN方向的平行線，與MN的延長線交于點E，同理△MLE與△MRN相似，則，MR＝l，ML＝l＋b，因此，LE＝＝ω（l＋b）＝，因此P點的速度矢端一定在MN的延長線上.

4 結語

本文分析了平面運動圖形上某些點的速度求解的另一種方法——幾何法，可以看出，如果知道了平面圖形上任意兩點的速度，應用該幾何法可以較容易地確定兩點連線上任意點的速度大小和方向，在實際計算時，這種方法的優越性非常突出，同時也提高了學生分析問題的能力.

1 哈爾濱理論力學教研室.理論力學Ⅰ［M］.北京：高等教育出版社，2009：199.

2 哈爾濱理論力學教研室.理論力學思考題解與思考題集Ⅰ［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2000：46-48.