嫦娥三號軟著陸軌道設計

摘 要：通過建立坐標系，將三維立體圖轉化成二維的平面圖，結合橢圓方程，利用開普勒定律和能量守恒定律，分析得到嫦娥三號著陸準備軌道近月點、遠月點的位置，近月點的速度、遠月點的速度，為嫦娥三號軟著落提供有效保障。

關鍵詞：嫦娥三號；軟著陸；軌道設計

0 引言

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道，著陸軌道為從近月點至著陸點。本文通過建立坐標系，確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，并計算出嫦娥三號相應速度的大小與方向。

1 軟著陸軌道位置和速度模型分析[1-3]

為了同環月運動的參考系一致，同時便于對軟著陸下降窗口進行分析，需要將著陸器的運動表示在月心赤道慣性坐標系下。利用軟著陸下降軌跡設計的一個結論：軟著陸下降軌跡平面在環月停泊軌道平面內。可將月心赤道慣性系下的著陸器位置表示出來。通過建立月面坐標系的三維立體圖及二維平面圖，得到運動軌跡橢圓方程。依據其相關關系可求出著陸準備軌道近月點和遠月點的位置。

根據開普勒第二定律，嫦娥三號在橢圓軌道上環繞月球運動時，單位時間內，嫦娥三號與月球球心的連線掃過的面積是一個固定值。這也就意味著，嫦娥三號在某個點的速率大小與該點到月心（不是月球表面）的距離的乘積是個固定值。由于嫦娥三號繞月球的軌道是由圓形軌道變為橢圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點及遠月點的速度。

2 位置模型及求解

為了同環月運動的參考系一致，同時便于對軟著陸下降窗口進行分析，需要將著陸器的運動表示在月心赤道慣性坐標系下。利用軟著陸下降軌跡設計的一個結論：軟著陸下降軌跡平面在環月停泊軌道平面內。可將月心赤道慣性系下的著陸器位置表示出來。建立月面三維立體圖及相對應二維平面圖如下圖1，圖2所示。

：為月球赤道平面與嫦娥三號衛星最后階段自由落體的曲線所圍成的夾角。橢圓軌道的圓心為m，s是橢圓的焦點，a是橢圓的長軸，b是橢圓的短軸，A是近月點，B是遠月點，r是月球的半徑（r=1737.013km）。根據已知可得著陸準備軌道為近月點AO=15km，遠月點100km的橢圓形軌道。

由開普勒第一定律，當焦點在軸時，橢圓的方程是

且橢圓a、b、c滿足

通過代入數據求解可得： a=1794.513km，c=42.5km，b=1794.010km

將b帶入橢圓的方程中可得

因此近月點A的（0，15）坐標為 和遠月點的坐標為（0，-3574.026）。

通過橢圓方程所得到近月點和遠月點的位置坐標只是月面坐標系的平面圖的平面直角坐標，并不是所要求的三維球面坐標，將平面圖進一步分析如圖3。

利用切線的斜率：β=59.4162°

由于嫦娥三號著陸點的位置為（19.51°W，44.12°N），且經緯度就是圓周360度的角度 。因此可得： =44.12°

依據θ= -（90°-β）可得：θ=13.5362°

由近月點在橢圓軌道的這個平面與所選嫦娥三號的著陸月球點的月球面共面，嫦娥三號的著陸點的位置為（19.51°W，44.12°N），所以近月點的位置為（19.51°W，13.54°N）高度相對于月球表面為15km ；遠月點的位置為（160.49°E，13.54°S）高度相對于月球表面為100km。

3 速度模型及求解

假設衛星在運動過程中，不考慮其他星體對它的作用，即機械能守恒。根據開普勒第二定律，嫦娥三號在橢圓軌道上環繞月球運動時，單位時間內，嫦娥三號與月球球心的連線掃過的面積是一個固定值。這也就意味著，嫦娥三號在某個點的速率大小與該點到月心（不是月球表面）的距離的乘積是個固定值。設近月點速率大小為vA，距離月心為r1；遠月點速率大小為vB，距離月心為r2，那么

vA·r1=vB·r2

以無窮遠處為勢能零點，由機械能守恒，那么近月點嫦娥三號的勢能為，遠月點嫦娥三號的勢能為（G=6.67×10-11N·m2/kg2為引力常量，M=7.3477×1022kg為月球質量，m=2400kg為嫦娥三號質量），而近月點嫦娥三號的動能為，遠月點嫦娥三號的動能為，因此

如圖4所示，r1=a-c，r2=a+c，A、B兩點為衛星運動軌道上的近月點和遠月點，vA、vB分別表示衛星在這兩點的速度。

代入相關數據可得：

vA=1.692km/s，方向平行于y軸負半軸

vB=1.613km/s，方向平行于y軸正半軸

所以得到近月點的速度為1.692km/s，遠月點的速度為1.613km/s，方向都為橢圓軌道的切線方向，兩點方向相反。

4 結論

通過將三維空間轉化為二維平面研究，通過建立橢圓方程，使研究變得直觀。計算得到結果與嫦娥3號飛行器近月點、遠月點位置以及運行速度相符。為嫦娥三號軟著落提供有效保障。

參考文獻：

[1]徐敏，李俊峰.月球探測器軟著陸的最優控制[J].清華大學學報（自然科學版），2001，41（08）：87-89.

[2]王鵬基，張熇，曲廣吉.月球軟著陸飛行動力學和制導控制建模與仿真[J].中國科學，2009，39（03）：521-527.

作者簡介： 冷建華（1978—），男，江西高安人，講師，碩士，研究方向：計算機仿真。