LQR在單級倒立擺系統中的應用

高曉勤 沈小林

【摘要】單級倒立擺控制是一個即復雜而又對準確性、快速性要求很高的非線性不穩定系統控制問題。單級倒立擺數學模型的建立對研究其穩定性具有指導作用。針對多變量、非線性、強耦合性的倒立擺系統，運用牛頓動力學方法建立其動力學方程，并進行線性化處理，得到狀態空間模型。然后對該模型分別進行LQR控制，在MATLAB環境下進行仿真。實驗結果表明，二次型最優控制具有良好的響應性能和算法簡單等特點，在實際應用中具有重要意義。

【關鍵詞】單級倒立擺;線性二次型;最優控制;MATLAB

pplication of LQR in Single Inverted Pendulum System

Gao Xiaoqin，Shen Xiaolin

（School of Computer and Control Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China）

Abstract：Single-stage inverted pendulum control is a nonlinear and unstable system control problem that is complicated and of high ?accuracy and rapidity remands.The mathematical model of single stage inverted pendulum have guidance to study its stability.For multi-variable，nonlinear，strong coupling ?inverted pendulum system，using Newtonian dynamics method to establish the dynamic equation，and linearization processing to get the state space model.Then using LQR control the model of respectively，under the environment of MATLAB simulation.The experimental results show that quadratic optimal control has the characteristics of good response performance and the algorithm is simple，it is of great significance in practical application.

Keywords：ingle Inverted Pendulum;LQR;optimum control;MATLAB

1.引言

單級倒立擺是一種典型的多變量、非線性、強耦合的不穩定系統，對它的研究可歸結為對多變量非線性系統的研究，具有一定的理論價值[1]。從工程應用上講，衛星的姿態控制、機器人的關節運動控制和起重機械的穩鉤裝置等都和倒立擺模型有相似之處[2]。所以，對倒立擺系統的控制研究具有重要的工程背景和實際意義。

2.單級倒立擺系統的數學模型

2.1 一級倒立擺的數學模型

利用牛頓-歐拉分析方法來對直線型倒立擺系統進行數學建模[3]。

為簡化系統，我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認為擺桿為剛體。在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將單級倒立擺系統抽象成小車與擺桿構成系統，如圖2-1所示。

圖2-1 直線倒立擺系統的抽象圖

我們不妨做以下假設：

小車的質量M;均勻桿的質量m;小車的摩擦系數b;均勻桿的質心到桿軸心長度l;均勻桿的慣量I;均勻桿與垂直向上方向夾角φ;均勻桿與垂直向下方向夾角（考慮擺桿初始位置為豎直向下）θ。

分別對小車和均勻桿進行受力分析，建立單級倒立擺系統數學模型。

小車水平方向受力：

（2-1）

擺桿水平方向受力：

（2-2）

擺桿豎直方向受力：

（2-3）

可以進行如下處理，設當擺桿與垂直向上方向之間的夾角相比很小時，，，。為了得到控制理論的習慣表達，即u為一般控制量。

2.2 實際應用

在這里，我們參考了一些數據。代入數據得狀態方程各矩陣為：

3.倒立擺的二次型最優控制

線性二次型是指系統的狀態方程是線性的，指標函數是狀態變量和控制變量的二次型。

找一狀態反饋控制律：

使得二次型性能指標最小化：

其中，x（t）為系統的狀態變量;t0、tf為起始時間與終止時間;S為終態約束矩陣;Q（t）為運動約束矩陣;R（t）為約束控制矩陣。其中Q、R決定了系統誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。

為使J最小，由最小值原理得到最優控制為：

式中，矩陣P（t）為微分Riccatti方程：

的解。

如果令終止時間tf=1，P（t）為一個常數矩陣，且P（t）=0，因此以上的Riccatti方程簡化為：

最優反饋系數矩陣：

Matlab[4]中提供了專門的求解工具lqr（）來求取K。

4.仿真結果及分析

取不同的Q，R時，研究LQR控制倒立擺擺角和小車位移零狀態仿真結果。

設定初始參數為：

其中Q11代表小車位置的權重，而Q33是擺桿角度的權重，輸入的權重R是1。

現在改變Q的權值，本次將通過改變小車位置狀態變量的權值觀察變化。即：

對比仿真結果如圖4-1、圖4-2所示。

圖4-1 零狀態響應曲線（一）

圖4-2 零狀態響應曲線（二）

圖4-3 最優零狀態響應曲線

比較不同的Q取值時的響應曲線可以得出：當Q11，Q33比值相同時，對于值較大時系統，其響應速度加快，但是超調量加大;反之則響應變慢，但是超調量減小。通過比較，我們選取較優的Q值，如下：

此時的響應曲線如圖4-3所示。

從仿真效果可得到：系統經最優反饋后，無論零狀態響應或者是單位階躍響應，小車位移和均勻桿角度都可以在較短的時間內回到平衡狀態。

5.結束語

本文針對多變量、非線性、強耦合性的倒立擺系統，運用牛頓力學方法建立其動力學方程，并進行線性化處理，得到倒立擺的狀態空間模型。然后，重點基于LQR對一級倒立擺進行了最優控制器的設計;并在MATLAB環境下，對倒立擺系統進行仿真實驗，仿真結果表明控制效果良好。

參考文獻

[1]Biling S A，Tsang K M.Spectral analysis for nonlinear systems.Part：Interpretation of nonlinear frequency response function[J].Mechanical Systems and Signal Processing，1989，3（4）：341-359.

[2]Zhang H，Billings S A.Analyzing the transfer function of nonlinear systems in the frequency domain[J].J.Mechanism Systems and Signal Processing，1993，7（5）：531-550.

[3]徐國林.單級倒立擺系統的仿真研究[J].四川大學學報，2001.05：38-40.

[4]張志涌，徐彥琴.Matlab教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2000.

作者簡介：高曉勤（1991—），女，山西運城人，中北大學計算機與控制工程學院碩士研究生在讀。