常數項級數斂散性判別法總結

摘 要：本文簡要闡述了常數項級數斂散性判別法。由于常數項級數斂散性判別法較多，學生判定級數選擇判別法時比較困難，作者結合級數判別法的使用條件及特點對判別法進行分析，使學生更好的掌握級數判別法。

關鍵詞：常數項級數；級數斂散性判別法；判別法使用條件及特點

無窮級數是微積分學的一個重要組成部分，它是表示函數、研究函數性質以及進行數值計算的一種非常有用的數學工具。無窮級數的中心內容是收斂性理論，因而級數斂散性的判別在級數研究中極其重要。在學習常數項級數斂散性判別法時，學生按照指定的判別法很容易判定級數的斂散性，但是學習多種判別法后，選擇判別法時比較困難。主要原因是學生對所學判別法的使用條件及特點不夠熟悉，本文針對這種情況對常數項級數斂散性判別法加以歸納總結。

1 級數收斂的概念

給定一個數列{un}，稱

u1+u2+…+un+… （1）

為常數項無窮級數，簡稱常數項級數，記為.級數（1）的前n項之和記為Sn，即Sn=u1+u2+…+un，稱它為級數（1）的部分和。若部分和數列{Sn}有極限S，即，則稱級數（1）收斂。若部分和數列{Sn}沒有極限，則稱級數（1）發散。

注意：研究級數的收斂性就是研究其部分和數列是否存在極限，因此級數的收斂性問題是一種特殊形式的極限問題。極限是微積分學的基礎概念，也是學生比較熟系的概念，因此在研究級數收斂性時，聯系極限概念，學生易于理解。

借助級數的性質與幾何級數，調和級數的斂散性可以判別級數的斂散性。例如，由性質（1）和當|q|<1時幾何級數收斂，可知級數收斂；由性質（2）和調和級數發散，可知發散。利用級數收斂的必要條件判定級數的斂散性，例如，因，故由級數收斂的必要條件知發散。

2 正項級數斂散性判別法

若級數各項均為非負數，則稱該級數為正項級數。正項級數收斂的充要條件是它的部分和數列有上界。正項級數有以下幾種常用判別法：

2.1 比較判別法

設與都是正項級數，且un≤vn（n=1，2，…），則收斂時，收斂；發散時，發散。

比較判別法適用范圍比較廣泛，當級數表達式型如，un為任意函數或un含有sinθ或cosθ等三角函數的因子可以進行適當的放縮時，選用比較判別法。在使用比較判別法時，需要與另一個已知的收斂或發散級數進行比較，這個作為比較用的級數通常選幾何級數、P級數、調和級數。

例1：判別級數的斂散性。

解：由于x>0時，0

而幾何級數的公比，故該幾何級數收斂。于是，由比較判別法知，收斂。

2.2 比值判別法

設為正項級數，且.若0≤r<1，則收斂；若r>1，則發散。

當級數含有階乘、n次冪或分子、分母含多個因子連乘除時，選用比值判別法。比值判別法不需要與已知的基本級數進行比較，在實用上更為方便。

例2：判別級數的斂散性。

解：因為

由比值判別法知級數收斂。

2.3 根植判別法

設為正項級數，若有，則當0≤r<1時，收斂；當時r>1，則發散。

當級數含有n次冪，型如an或（un）n選用根值判別法。根值判別法不需要與已知的基本級數進行比較。

例3：討論級數的斂散性，其中a>0。

解：由于，所以由根植判別法知，當a<1時，級數收斂；當a>1時，級數發散；當a=1時，所給級數是P級數，故當P>1時級數收斂。

3 交錯級數斂散性判別法

如果級數收斂，則稱為絕對收斂；如果發散，而收斂，則稱為條件收斂。形如的任意項級數，成為交錯級數，其中un>0，n=1，2，…。

（萊布尼茨判別法）設交錯級數滿足：（1）un≥un+1，n=1，2，…；（2），則交錯級數收斂，且其和S≤u1。

例4：討論級數的斂散性。

解：由于，

故由萊布尼茨判別法知，交錯級數收斂。

另一方面，當時0

4 結語

級數的斂散性是級數理論的核心問題，本文結合級數判別法的使用條件及特點對判別任意項級數斂散性做如下總結：首先檢查是否成立，若不成立，則該級數發散；若成立，利用正項級數判別法判別的斂散性。若收斂，則絕對收斂；若發散，且此結論是由比值判別法或根植判別法做出的，則發散；若發散不是由比值判別法或根植判別法做出的，則需直接判別斂散性。

參考文獻：

[1]龔德恩，范培華.微積分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]吳贛昌.微積分（經管類第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[3]同濟大學數學系.微積分（第三版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡介：李娜（1984—），女，河南商丘人，碩士，助教，主要從事：微分方程數值解研究。