基于二分法和三分法的圓度誤差評定

李秀梅 劉愛平

山東中煙工業有限公司青州卷煙廠 ?劉愛平

【摘要】本文提出了最小外接圓二分法和最大內接圓三分法的圓度誤差評定法，并分別給出了最小外接圓和最大內接圓的評定算法，該算法經過試驗驗證，可有效地解決最小外接圓和最大內接圓的評定問題。

【關鍵詞】最小外接圓;最大內接圓;二分法;三分法

1.引言

圓度誤差是指實際輪廓相對于理想圓的變動量。評定圓度常用4種方法：最小二乘圓法、最小外接圓法、最大內接圓法和最小區域圓法。最小外接圓適用于軸類零件的圓度評定;最大內接圓則適用于孔類零件的圓度評定。最小外接圓和最大內接圓的判別準則為：銳角三角形準則和直徑準則。

Jywe等[1]提出了最小外接圓按照從大到小排列的極徑中不斷選取特征點;最大內接圓則從小到大排列的極徑中不斷選取特征點。林家春等[2]提出了最小外接圓選取特征點的搜索方向和步長的計算方法。張春陽等[3]提出了基于幾何優化的圓度誤差評定算法。

本文基于“小偏差假設”和“小誤差假設”條件下利用二分法將測量數據劃分為兩部分，從這兩部分選取最小外接圓的特征點;利用三分法將測量數據劃分為三部分，根據向量數量積，舍棄其中一部分，從另外兩部分數據中選取最大內接圓的特征點，實現圓度誤差評定。

2.最小外接圓——二分法

設測量點，n為測量點數。如圖1（a）所示，特征點A、B、C滿足最小外接圓銳角三角形準則。點是最小外接圓圓心。過點A和圓心的直線將測量數據Ⅰ和Ⅱ，最小外接圓的另外候選點分別從Ⅰ、Ⅱ中選取。

具體算法如下：

（1）如圖1（b）所示，根據測量點計算最小二乘圓心，并計算測量點至最小二乘圓心的距離：

第一候選點A滿足：

（2）如圖1（c）所示，測量點被直線OA分為Ⅰ和Ⅱ。確定過點A與其它測量點的垂直平分線與直線OA的交點，再計算該交點至點A的距離（對應數據Ⅰ）和（對應數據Ⅱ）為：

式中：

第二、三候選點滿足：和

如圖上述三個候選點滿足銳角三角形準則，并且過這三點的外接圓包容所有的測量點，則這三個候選點是最小外接圓的特征點;如果有測量點位于過這三點的外接圓之外，之外最大距離點代替三個候選點中的一點，再構造外接圓，直至確定滿足最小外接圓的特征點。

3.最大內接圓——三分法

如圖2所示，點A、B、C滿足最大內接圓銳角三角形準則，是最大內接圓的特征點。點是最大內接圓圓心。過點A做直線A的垂線，該垂線與直線A將測量數據分成Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，最大內接圓的另外候選點分別從Ⅰ、Ⅱ中選取，數據Ⅲ中的被舍去。

設測量點，被舍去數據Ⅲ滿足：

具體算法如下：

（1）根據測量點計算最小二乘圓心，并計算測量點至最小二乘圓心的距離：

第一候選點A滿足：

（2）測量點分為：

Ⅰ，和數據Ⅲ（舍去）。計算（對應數據Ⅰ）和（對應數據Ⅱ），第二、三候選點滿足：和。

圖1 最小外接圓

圖2 最大內接圓

如圖上述三個候選點滿足銳角三角形準則，并且所有測量點位于過這三點的內接圓之外，則這三個候選點是最小外接圓的特征點;如果有測量點位于過這三點的內接圓之內，之內最小距離點代替三個候選點中的一點，再構造內接圓，直至確定滿足最大內接圓的特征點。

4.驗證

為了驗證本文提出方法的有效性，以文獻[4]中的數據作為實驗數據，計算結果如表1所示。最小外接圓的特征點為10、15和28;最大內接圓的特征點為16、19和1。特征點與文獻[4]中的結果一致。

5.結論

本文使用二分法和三分法原理來解決最小外接圓和最大內接圓的評定過程，并給出了最小外接圓和最大內接圓的評定算法，經過試驗驗證，所得到的結果與其它評定算法完全一致，從而說明該方法可有效地解決最小外接圓和最大內接圓的評定。

參考文獻

[1]Wen-Yuh Jywe，Chien-Hong Liu，Chao-Kuang Chen.The min-max problem for evaluating the form error of a circle.Measurement，1999，26（4）：273-282.

[2]林家春，石照耀.基于力學思想的最小外接圓度誤差評定[J].儀器儀表學報，2010，31（6）：1405-1410.

[3]張春陽，雷賢卿，李濟順，段明德.基于幾何優化的圓度誤差評定算法[J].機械工程學報，2010，46（12）：8-12.

[4]Gadelmawla ES.Simple and efficient algorithms for roundness evaluation form the coordinate measurement data.Measurement 2010，43（2）：223-235.