又一類含變量可轉(zhuǎn)移函數(shù)核的Hilbert型積分不等式

洪 勇

（廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣州510320）

0 引言與引理

設(shè)p＞1，1／p＋1／q＝1，K（x，y）≥0，ω1（x）≥0，ω2（y）≥0，f（x）≥0，g（y）≥0.不等式

稱為Hilbert型積分不等式.

關(guān)于Hilbert型不等式的研究，目前基本上圍繞積分核K（x，y）的特性而展開(kāi)，對(duì)于齊次積分核，其研究已取得許多成果［1－10］.文獻(xiàn)［11］通過(guò)引入一種變量可轉(zhuǎn)移函數(shù)的概念，在其參數(shù)滿足λ1λ2＞0的情況下，研究了具有變量可轉(zhuǎn)移函數(shù)積分核的Hilbert型積分不等式.本文研究λ1λ2＜0情形下相應(yīng)的Hilbert型積分不等式.

定義1［11］設(shè)λ1λ2≠0，若函數(shù)K（x，y）滿足：當(dāng)t＞0時(shí)，有 K（tx，y）＝K（x，tλ1／λ2y），K（x，ty）＝K（tλ2／λ1x，y）.則稱K（x，y）是具有參數(shù)λ1和λ2的變量可轉(zhuǎn)移函數(shù).

故式（1）成立.

類似地可證明式（2）成立.

1 主要結(jié)果

特別地，若還有λ1bp－λ2aq＝λ1－λ2，則

證明：利用H?lder不等式和引理1，有

故式（3）成立.

由式（5）～（7），可得

令ε→0＋，并利用Lebesgue控制收斂定理，得

定理2 設(shè)條件與定理1相同，則

特別地，若還有λ1bp－λ2aq＝λ1－λ2，則

式（9）中的常數(shù)因子是最佳的.

證明：用類似于文獻(xiàn)［11］中定理2的證明方法可證.

2 應(yīng) 用

推論1 設(shè)p＞1，1／p＋1／q＝1，λ1λ2＜0，α＞1，f（x）≥0，g（y）≥0，B（u，v）表示Beta函數(shù).則

上式中的常數(shù)因子都是最佳的.

故由定理1和定理2可知結(jié)論成立.

推論2 設(shè)p＞1，1／p＋1／q＝1，λ1λ2＜0，0＜c＜α＜1，f（x）≥0，g（y）≥0，B（u，v）是Beta函數(shù).則

上式中的常數(shù)因子都是最佳的.

故由定理1和定理2可知結(jié)論成立.

推論3 設(shè)p＞1，1／p＋1／q＝1，r＞1，1／r＋1／s＝1，λ1λ2＜0，λ1／r＋λ2／s＜0，f（x）≥0，g（y）≥0，Γ（u）是Gamma函數(shù).則

上式中的常數(shù)因子都是最佳的.

證明：在式（4）和式（9）中取a＝（λ2－λ1）／（λ2qr），b＝（λ1－λ2）／（λ1ps），則λ1bp－λ2aq＝λ1－λ2.又因?yàn)镵（x，y）＝e－xλ1yλ2是參數(shù)為λ1和λ2的變量可轉(zhuǎn)移函數(shù)，且有

于是由定理1和定理2可知結(jié)論成立.

推論4 設(shè)p＞1，1／p＋1／q＝1，c＞0，λ1λ2＜0，f（x）≥0，g（y）≥0，Γ（u）是Gamma函數(shù).則

上式中常數(shù)因子都是最佳的.

故由定理1和定理2可知結(jié)論成立.

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