弱M－擬Armendariz環的性質及等價刻畫

丁婷婷，吳 俊，張培雨

（安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖241003）

本文所有的環均指有單位元的結合環.用N（R）表示環R的所有冪零元集合，Tn（R）表示環R上的n階上三角矩陣環，M是幺半群，e是M 的單位元.Rege等［1］通過引入Armendariz環的概念，研究了Armendariz環與半交換環之間的關系.如果

有aibj＝0（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環R 稱為 Armendariz環［1］.目前，對 Armendariz環及Armendariz環的推廣研究已取得了豐富成果［2－10］.如果

有aiRbj＝0（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環 R 稱為擬 Armendariz環［2］.Ebrahim［3］引入了M－擬Armendariz環的概念，并研究了其相關性質.如果

有aiRbj＝0（?1≤i≤p；1≤j≤q），則環R 稱為M－擬 Armendariz環［3］.如果式（2）成立，且有aiRbj?N（R）（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環 R 稱為擬弱 Armendariz環［4］.如果式（3）成立，且有aiRbj?N（R）（?1≤i≤p；1≤j≤q），則環R稱為弱M－擬Armendariz環［5］.

若對M的任意兩個非空有限子集A，B，存在g∈M唯一表示成ab的形式，則幺半群M稱為u.p.－幺半群，其中：a∈A；b∈B.若對任意的a∈I，存在x∈I，使得ax＝a，則R的理想I稱為右s－unital的.若對任意的a∈R，lR（Ra）?R是右s－unital的，則環R稱為左APP－環.

文獻［6］證明了M是幺半群，N是u.p.－幺半群，R是左APP－環，則R是M×N－擬Armendariz環當且僅當R是M－擬Armendariz環.對于弱M－擬Armendariz環有如下結論.

定理1 設M，N是u.p.－幺半群，R是左APP－環，則下列命題等價：

1）R是弱M×N－擬Armendariz環；

2）R是弱M－擬Armendariz環；

3）R是弱N－擬Armendariz環.

則

由于R 是弱M×N－擬 Armendariz環，所以對任意的i，j，有aiRbj?N（R）.故R 是弱M－擬Armendariz環.

易證存在環同構

設

由文獻［6］中推論2.5知R［M］是N－擬Armendariz環，因此對任意的p，q，有

由于R是弱M－擬Armendariz環，所以aiRbj?N（R），i∈Ap，j∈Bq.因此aiRbj?N（R），1≤i≤s，1≤j≤s′.故R是弱M×N－擬Armendariz環.

1）?3）.注意到R［M×N］?R［N×M］，由類似于1）?2）的證明方法即證.

推論1 設M是u.p.－幺半群，R是左APP－環，則下列命題等價：

1）R是弱M－擬Armendariz環；

2）R是弱?－擬Armendariz環；

3）R是弱?－擬Armendariz環；

4）R是弱（M×?）－擬Armendariz環；

5）R是弱（M×?）－擬Armendariz環.

證明：由于?，?是u.p.－幺半群，故由定理1即證.

命題1 設M是交換幺半群，R是弱M－擬Armendariz環，則M是可消的.

證明：設m，g，h∈M，mg＝mh，但g≠h，則對任意的r∈R，m′∈M，

故

但1·1·1＝1?N（R），與R是弱M－擬Armendariz環矛盾.所以M是可消的.

如果式（1）成立，且有aibj∈N（R）（?0≤i≤n；0≤j≤m），則環R稱為弱Armendariz環［7］.

對于幺半群M，用G（M）表示M的最大子群.文獻［6］證明了若M 是交換幺半群，G（M）＝｛e｝，R是擬Armendariz和M－擬Armendariz環，則R［M］是擬Armendariz環.對于幺半群M，若R是擬弱Armendariz和弱M－擬Armendariz環，R［M］是否是擬弱Armendariz環未知.而對于半交換環R，則有如下結論.

命題2 設M是交換幺半群，G（M）＝｛e｝，R是半交換和弱M－擬Armendariz環，則R［M］是擬弱Armendariz環.

即

若對某個i′，i″，有gi′p′g2i′＝gi″p″g2i″.當i′＝i″時，由命題1知 M 是 可消的，則 gi′p′＝gi′p″，故p′＝p″.因此不失一般性，設i′＞i″，因為 M 是可消的，故gi′p′g2（i′－i″）＝gi″p″.易見對任意的i，j，p，q，gip，hjq均有逆元，故gip，hjq∈G（M）＝｛e｝.則可令αi＝aie，βj＝bje，即有

αiγβj＝ （air1bj）m1＋ （air2bj）m2＋ … ＋ （airnbj）mn， air1bj，air2bj，…，airnbj∈ N（R）.由文獻［8］中引理3知αiγβj∈N（R［M］），所以R［M］是擬弱Armendariz環.

若對某個j′，j″，有hj′q′g2j′＝hj″q″g2j″，則類似于上述證明可得R［M］是擬弱 Armendariz環.

若每組gipg2i不同，每組hjqg2j也不同.由于R是弱M－擬Armendariz環，所以aipRbjq?N（R）.任取γ＝r1m1＋r2m2＋…＋rnmn∈R［M］，則有

由文獻［7］中引理3.1和文獻［8］中引理3知αiγβj∈N（R［M］），所以R［M］是擬弱Armendariz環.

由文獻［6］知，M是幺半群，R是左APP－環，則R是M－擬Armendariz環當且僅當Sn（R）是M－擬Armendariz環.但對于弱M－擬Armendariz環有下列結論.

定理2 設M是幺半群，R是環，則下列命題等價：

1）R是弱M－擬Armendariz環；

2）Tn（R）是弱M－擬Armendariz環.

下證AiTn（R）Bj?N（Tn（R））.任取C＝（cef）∈Tn（R），則

設R為環，M為（R，R）－雙模，R對于M 的平凡擴張T（R，M）＝R⊕M，其中運算為

易知

推論2 設M是幺半群，R是環，則下列命題等價：

1）R是弱M－擬Armendariz環；

2）Sn（R）是弱M－擬Armendariz環；

3）T（R，R）是弱M－擬Armendariz環；

4）R［x］／（xn）是弱 M－擬 Armendariz環.

證明：注意到

由定理2的證明方法即證上述命題等價.

注1 由定義可知，M－擬Armendariz環一定是弱M－擬Armendariz環，下面的例子說明反之不成立.

如果對任意的n∈N，m∈M，有nm∈N（mn∈N），則非空子集N是幺半群M 的右（左）理想.若N既是M的右理想，又是M的左理想，則稱N是M的理想.

命題3 設N是幺半群M 的右（左）理想，且在N中存在M 的一個左（右）可消元.若R是弱N－擬Armendariz環，則R是弱M－擬Armendariz環.

兩邊同時左乘Ig得

因此

由于R是弱N－擬Armendariz環，所以對任意的i，j，有aiRbj?N（R）.因此R是弱M－擬Armendariz環.

推論3［5］設M 是可消的幺半群，N 是M 的理想.若R是弱N－擬Armendariz環，則R是弱M－擬Armendariz環.

命題4 設M是幺半群，R是弱M－擬Armendariz環.若I?R，則I是弱M－擬Armendariz環.

則αR［M］［（se）β］＝0.由于 R 是弱 M－擬 Armendariz環，所以aiR（sbj）?N（R）.特別地，aisbj∈N（R）∩I＝N（I），即aiIbj?N（I）.所以I是弱M－擬Armendariz環.

命題5 設M是幺半群，R1，R2是環，則下列命題等價：

1）R1，R2是弱M－擬Armendariz環；

2）R1×R2是弱M－擬Armendariz環.

于是

故

類似可得

由于R1，R2是弱M－擬Armendariz環，所以對任意的i，j，有

則

即

所以R1×R2是弱M－擬Armendariz環.

2）?1）.R1?R1×｛0｝，R2?｛0｝×R2且R1×｛0｝，｛0｝×R2是R1×R2的理想，由命題4即證.

推論4 設 M 是幺半群，Ri（i∈I＝｛1，2，…，n｝）是環，則下列命題等價：

1）對于每個i∈I，Ri是弱M－擬Armendariz環；

證明：類似于命題5可證1）?2）.

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