素環(huán)上非線性Lie中心化子

張 芳 娟

（1.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院，西安710121；2.西安外事學(xué)院 工學(xué)院，西安710077）

設(shè)R是環(huán)，對任意的a，b∈R，如果aR b＝0，有a＝0或b＝0，則稱R是素環(huán).φ：R→R是可加映射，對任意的A，B∈R，如果φ（AB）＝φ（A）B（φ（AB）＝Aφ（B）），則稱φ是左（右）中心化子；若φ既是左中心化子又是右中心化子，則φ是中心化子.目前關(guān)于中心化子的研究已取得了許多成果［1－5］.

如果φ（［A，B］）＝［φ（A），φ（B）］，則稱φ是Lie同構(gòu)，其中［A，B］＝AB－BA 表示A 和B 的Lie積.如果φ（AB）＝φ（A）B＋Aφ（B），則稱φ是導(dǎo)子.如果φ（［A，B］）＝［φ（A），B］＋［A，φ（B）］，則稱φ是Lie導(dǎo)子.文獻(xiàn)［6－11］給出了算子代數(shù)上的Lie同構(gòu)及Lie導(dǎo)子結(jié)構(gòu).張建華等［7］在因子von Neumann代數(shù)上討論了非線性Lie同構(gòu)的結(jié)構(gòu)問題；張芳娟等［11］得到了因子von Neumann代數(shù)上的非線性Lie導(dǎo)子是可加的導(dǎo)子與中心值跡之和的結(jié)論.

受中心化子、Lie同構(gòu)、Lie導(dǎo)子概念的啟發(fā)，下面引出Lie中心化子的定義.

定義1 設(shè)φ：R→R是可加映射，對任意的A，B∈R，如果滿足φ（［A，B］）＝［φ（A），B］（或φ（［A，B］）＝［A，φ（B）］），則稱φ是R上Lie中心化子.

注1 觀察發(fā)現(xiàn)：若φ（［A，B］）＝［φ（A），B］，則

在式（1）中交換A和B，可得

在式（2）中用－A代替A，有

即φ（［A，B］）＝［A，φ（B）］.于是可得φ（［A，B］）＝［φ（A），B］和φ（［A，B］）＝［A，φ（B）］是等價的，并且和φ的可加性無關(guān).

設(shè)φ：R→R是可加映射，對任意的A∈R，如果有［φ（A），A］＝0，則稱φ是交換映射.易知，每個中心化子是Lie中心化子，且每個Lie中心化子是交換映射.

受文獻(xiàn)［11］的啟發(fā)，本文研究素環(huán)上非線性Lie中心化子，并給出素環(huán)上非線性Lie中心化子的結(jié)構(gòu).

定理1 設(shè)M是包含非平凡投影P的素環(huán)，且素環(huán)的中心是平凡的.若φ：M→M是非線性映射，如果對所有的A，B∈M，都有φ（［A，B］）＝［φ（A），B］，則存在λ∈?以及映射ξ：M→?滿足ξ（［A，B］）＝0（?A，B∈M），使得對任意的X∈M，有φ（X）＝λX＋ξ（X）I.

引理1 設(shè)A∈M且P1∈M是非平凡投影.則A∈P1MP2＋?I當(dāng)且僅當(dāng)對任意的B∈P1MP2，有［A，B］＝0.

證明與文獻(xiàn)［7］中引理2.2類似.

引理2 φ（0）＝0，φ（?I）＝?I.

證明：任取A∈M，有φ［A，0］＝［φ（A），0］＝0，則φ（0）＝0.又由于

所以φ（?I）＝?I.

引理3 設(shè)i，j∈｛1，2｝且i≠j，則

證明：設(shè)i，j∈｛1，2｝且i≠j，由［Pi，Pj］＝0和引理2得［φ（Pi），Pj］＝φ（0）＝0.因此φ（Pi）Pj＝Pjφ（Pi）.進(jìn)而Piφ（Pi）Pj＝Pjφ（Pi）Pi＝0.所以

引理4 設(shè)i，j∈｛1，2｝且i≠j，則對任意的X∈Mij，有φ（X）＝Piφ（X）Pj.

證明：設(shè)i，j∈｛1，2｝且i≠j，X∈Mij.因?yàn)閄＝［Pi，X］，故有φ（X）＝［φ（Pi），X］.由引理3，對任意的X∈Mij，有

引理5 設(shè)i，j，k，l∈｛1，2｝，則對任意的Aij∈Mij和Bkl∈Mkl，有

證明：1）如果i＝j(luò)且k≠l，則k＝i且l≠i或者l＝i且k≠i.

第一種情況：對任意的Til∈Mil，有［Aii＋Bil，Til］＝［Aii，Til］.因此

由引理1，存在λ1∈?，使得

由［Aii，Pi］＝0得［φ（Aii），Pi］＝0.因此，式（3）可化為

由Bil＝［Aii＋Bil，Pl］得

由引理4和上面的等式有

于是由式（4）知，φ（Aii＋Bil）－φ（Aii）－φ（Bil）∈?I.同理可證第二種情況.

2）如果i≠j且k≠l，則k＝i且l＝j(luò)或者k＝j(luò)且l＝i.

第一種情況：由于Aij＋Bij＝［Pi＋Aij，Pj＋Bij］，由1）的第一種情況、引理3和引理4得

進(jìn)而

第二種情況：對任意的Tij∈Mij，Sji∈Mji，有

從而可得

由引理1，存在λ2，λ3∈?，使得

根據(jù)引理4，有Piφ（Bji）Pj＝Pjφ（Aij）Pi＝0.因此式（6），（7）可化為

由于Aij＋Bji＝ ［［Aij＋Bji，Pi］，－Pj］，有

由式（8）～（10）得

3）如果i＝j(luò)且k＝l，則k＝i或者k≠i.

第一種情況：對任意的Tim∈Mim和m∈｛1，2｝且m≠i，有

由式（5），

即對任意的Tim∈Mim，

由

分別得

于是可得

又由引理1有φ（Aii＋Bii）－φ（Aii）－φ（Bii）∈?I.

第二種情況：對任意的Tik∈Mik，有［Aii＋Bkk，Tik］＝AiiTik－TikBkk.根據(jù)式（5），

與3）的第一種情況類似可得

由引理1，有

引理6 設(shè)i，j∈｛1，2｝且i≠j，則對任意的A11∈M11，C22∈M22和Bij∈Mij，有

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證明：對任意的Tij∈Mij，有

由引理5，

再由引理1和Piφ（A11）Pj＝Piφ（C22）Pj＝0知，存在λ4∈?，使得

顯然Bij＝［A11＋Bij＋C22，Pj］，因此

再根據(jù)引理4，

所以

由引理6，

再由引理1和

知，存在λ5∈?，使得

同理，對任意的T21∈M21，由

存在λ6∈?，使得

根據(jù)引理5，有

由式（13），（14）可知，存在λ7∈?，使得

由式（11），（12），（15）有

引理8 對任意的A，B∈M，φ（A＋B）－φ（A）－φ（B）∈?I.

由引理5，對任意的i，j∈｛1，2｝，有φ（Aij＋Bij）－φ（Aij）－φ（Bij）∈?I.因此，對任意的A，B∈M，φ（A＋B）－φ（A）－φ（B）∈?I.

引理9 對任意的A∈M11，P2φ（A）P2∈?P2；對任意的B∈M22，P1φ（B）P1∈?P1.

證明：設(shè)A∈M11，B∈M22，由［A，P1］＝0得［φ（A），P1］＝0，即φ（A）P1－P1φ（A）＝0，進(jìn)一步P1φ（A）P2＝P2φ（A）P1＝0.因而，對任意的A∈M11，

同理，對任意的B∈M22，由［B，P2］＝0有

因?yàn)椋跘，B］＝［B，A］＝0，所以

結(jié)合式（16）～（18）得

因此，對任意的A∈M11，P2φ（A）P2∈?P2；對任意的B∈M22，P1φ（B）P1∈?P1.

注2 由引理9，對任意的A∈M11，B∈M22，定義f1（A）和f2（B）分別為出現(xiàn)在P2φ（A）P2和P1φ（B）P1中的數(shù).特別地，P2φ（A）P2＝f1（A）P2，P1φ（B）P1＝f2（B）P1.由引理 9，對任意的A∈M11，

對任意的B∈M22，有

則對任意的Aij∈Mij（1≤i，j≤2），有g(shù)（Aij）＝0；對任意的Aij∈Mij（1≤i≠j≤2），有f（Aij）＝0.記ψ（A）＝φ（A）－g（A）I－f（A）I.

引理10 注2中的ψ是可加的.

證明：由ψ的定義，對任意的A∈M，一方面，由注2和引理4，有

另一方面，由注2，有

則P1ψ（A）P1＝ψ（P1AP1）.同理可得P2ψ（A）P2＝ψ（P2AP2）.由注2和引理4，有

因此對任意的Aij∈Mij，i，j∈｛1，2｝，

由注2知，當(dāng)i≠j時，有g(shù)（Aij）＝f（Aij）＝0，于是，若i≠j，則有ψ（Aij）＝φ（Aij）.因此，由式（5），對任意的Aij，Bij∈Mij，i≠j，

設(shè)Tij∈Mij，i≠j，則對任意的Aii，Bii∈Mii（i＝1，2），有

因此

由式（19）～（21）知，對任意的A，B∈M，有ψ（A＋B）＝ψ（A）＋ψ（B）.

下面證明定理1.由引理10，ψ是可加映射，并且由于［A，A］＝0，所以，對任意的A∈M，

因此ψ是可加的可交換映射，由文獻(xiàn)［5］，存在數(shù)λ∈?和映射μ：M→?，使得對任意的X∈M，ψ（X）＝λX＋μ（X）I.所以，對任意的X∈M，φ（X）＝λX＋ξ（X）I，這里ξ＝μ＋f＋g是M→?的映射.進(jìn)而，對任意的A，B∈M，φ（［A，B］）＝λ［A，B］＋ξ［A，B］I.另一方面，

則ξ［A，B］I＝0，即對任意的A，B∈M，ξ［A，B］＝0.

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