一類超線性p（t）－Laplacian系統的無窮多周期解

張 申 貴

（西北民族大學 數學與計算機科學學院，蘭州730030）

0 引 言

考慮非自治p（t）－Laplacian系統：

其中p（t）∈C（［0，T］，?＋），p（t）＝p（t＋T），T＞0，且

假設：

（A）F：［0，T］×?N→?滿足：F（t，x）關于變量t可測，F（t，x）關于變量x連續可微，存在a∈C（?＋，?＋），b∈L1（0，T；?＋），使得

非自治p（t）－Laplacian系統在非線性力學模型［1］、變流體模型［2］和圖像恢復模型［3］等領域應用廣泛.當p（t）＝2時，Rabinowitz［4］給出了如下條件（AR）：存在μ＞2，L＞0，使得

條件（AR）可以推出非線性項▽F（t，x）是超線性的，但很多超線性函數并不滿足條件（AR）.例如

本文在比條件（AR）更弱的超線性條件下，研究p（t）－Laplacian系統無窮多周期解的存在性.先將系統（1）的周期解轉化為定義在一個適當空間上泛函的臨界點，然后利用臨界點理論中對稱山路定理得到該問題無窮多解存在性的充分條件.

1 預備知識

記p（t）∈C（［0，T］，?＋），定義

其范數為

記Sobolev空間

φ弱下半連續且連續可微，

定義1 設X為Banach空間，若泛函φ∈C1（X，?）滿足：對任何點列及任何｛un｝?X，由｛φ（un）｝有界，（1＋‖un‖）‖φ′（un）‖→0（n→∞），蘊含｛un｝有收斂子列，則稱泛函φ滿足（C）條件.

命題1（對稱山路定理）［12］設E 為實Banach空間，φ∈C1（X，?）是偶函數且滿足（C）條件，φ（0）＝0.令E＝V⊕X，dimV＜＋∞.若φ滿足：

2 主要結果

假設以下條件成立：

（H5）F（t，u）關于u是偶的，即F（t，u）＝F（t，－u）.

本文的主要結果如下：

由條件（H3）和假設（A）知，存在常數C4＞0，使得

對所有的u∈?N和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（5），（6），有

從而可得

由式（8）及內插不等式，有

又由式（5），當n充分大時，有

由條件（H4）和式（5），當n充分大時，有

由條件（H2），存在兩個正常數ε和δ，使得0＜ε＜C0，0＜δ＜ε，其中C0為式（3）中的正常數，且

由于dim W＜＋∞，有限維空間上各種范數等價，故存在正常數C7，使得對?u∈W，有

由條件（H1）及假設（A）知，存在常數C8＞0，使得

對所有的u∈?N和a.e.t∈［0，T］都成立.

由式（13），（14），取‖u‖＝R＞1，又由式（4），有

取σ＜2，則F滿足定理1中條件（H1）～（H5），但不滿足文獻［5－11］中定理的條件.

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