具有執行器故障的非線性系統可靠控制設計

李愛晨，李香善，焦建宇，張 友

（東北師范大學 計算機科學與信息技術學院，長春130117）

在實際工業生產過程中，電氣控制系統的執行器經常發生失效現象，因此針對具有執行器失效的控制系統進行可靠控制器設計應用廣泛［1－2］.目前已有的相關設計目的都是為具有執行器故障的線性控制系統設計一種固定增益參數的控制器，它能保證整個控制系統在部分執行器失效情況下的漸近穩定性，但對于具有執行器故障的非線性系統相關可靠控制器設計問題不能保證控制系統的漸近穩定性.文獻［3－5］運用基于T－S模糊模型的建模方法進行了具有執行器故障的非線性系統相關可靠控制器設計研究.T－S模糊模型是控制領域研究復雜非線性系統的一種有效數學工具，目前已成功應用于若干個實際控制系統設計中，解決了許多非線性系統控制綜合問題［6－9］.在基于T－S模糊模型的控制綜合領域，多數研究成果均采用文獻［6］提出的并聯分布補償技術（簡稱PDC技術）進行系統控制器設計.但基于PDC技術所得的控制條件常具有較大的保守性，因此很大程度上限制了T－S模糊模型在控制領域的應用.Guerra等［10］針對離散時間T－S模糊系統控制問題提出了非并聯分布補償技術（簡稱非－PDC技術）.非－PDC技術通過改變控制器架構可引入更大的設計自由度，極大減少了控制設計的保守性.在非－PDC技術設計思想的啟發下，文獻［11－14］提出了保守性越來越小的鎮定控制條件，但保守性問題仍未得到徹底解決，不僅在控制器設計上，在其他方面也要進行改進，以進一步減少控制設計的保守性.

本文考慮具有執行器故障離散時間非線性系統的基于T－S模糊模型的可靠控制設計問題，與已有相關研究成果相比，本文在非－PDC技術設計思想的啟發下，提出了能引入更多控制增益矩陣變量的新型可靠控制器，并在結果證明過程中提出了一種新的自由矩陣變量技術.結果表明，本文方法顯著降低了控制設計的保守性，獲得了比已有方法保守性更小的可靠控制器設計條件.

1 預備知識

1.1 基于T－S模糊模型具有執行器故障的離散時間非線性系統

考慮如下一類具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統：

其中：x（k）表示n維系統狀態向量；u（k）表示控制系統的m維執行器向量；Ai和Bi表示適當維數的系統參數矩陣；wL表示執行器發生故障信息的標識矩陣；hi（θ（k））表示T－S模糊模型的模糊隸屬函數；r表示模糊模型規則數.

不失一般性，標識矩陣wL的組成結構可表示為

若wLj＝0，則表示第j個執行器發生故障.于是，對于擁有m個執行器的系統，執行器正常或部分發生故障的可能情況有2m－1種，即集合Ω中由2m－1個矩陣組成，因而有L＝1，2，…，2m－1.

定義1 若在執行器正常或部分發生故障可能的2m－1種情況下具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）都是全局漸近穩定的，則稱帶有執行器故障的離散時間T－S模糊系統（1）是可靠穩定的.

1.2 新型可靠控制器的設計

為了保證具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）的可靠穩定性，文獻［6］基于PDC技術提出了一種模糊狀態反饋控制律，即

得到了基于線性矩陣不等式條件下的可靠控制器設計條件，但文獻［6］給出的設計方法存在較大的保守性.為了進一步減少上述結果的保守性，本文基于非－PDC技術提出一種新型可靠控制器：

其中：

與文獻［6］提出的狀態反饋控制律相比，新型可靠控制器（3）具有全新的控制架構，能引入二倍的控制增益矩陣（Fi和Gi）.為了配合這種全新的控制架構，本文提出了一個與之匹配的Lyapunov函數和一種自由矩陣變量技術，顯著增加了可靠控制設計過程中的自由度，并得到保守性更小的可靠控制器設計條件.

引理1［10］對于對稱正定矩陣P＞0和P＋＞0，矩陣不等式ATPA－P＜0成立的充分條件是存在一個適當維數的矩陣使得如下矩陣不等式成立：

2 主要結果

為進一步減少已有具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統可靠控制器設計的保守性，本文基于非－PDC技術提出一種新型可靠控制器（3），并提出了一種新的自由矩陣變量技術，可將不同模糊子模型間的耦合關系映射到若干個組合大矩陣中，因此在可靠控制器設計過程中能更有效地考慮模糊隸屬函數的有用信息，減少控制條件的保守性.

則具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）在新型可靠控制器（3）的控制下是可靠穩定的.

證明：對在新型可靠控制器（3）控制下的具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）考慮如下Lyapunov函數：

對式（7）沿時間方向求取一階差分函數，可得

其中

由Lyapunov穩定性定理可知：具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）是可靠穩定的充分條件為如下矩陣不等式成立：

對不等式（10）使用引理1，可得能保證矩陣不等式（10）成立的充分條件為如下矩陣不等式成立：

其中：

整理不等式（11）左側，有

其中：

此時，若線性矩陣不等式（4）和（5）成立，則有

將線性矩陣不等式（6）兩邊分別左乘（h1I … hrI）右乘（h1I … hrI）T可得

結合矩陣不等式（13）和（14），易得如果線性矩陣不等式（4）～（6）成立，則矩陣不等式（11）也成立，即具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）在新型可靠控制器（3）的控制下是可靠穩定的.證畢.

注1 通過設計與新型可靠控制器相匹配的Lyapunov函數構造及提出一種新的自由矩陣變量技術，定理1得到了保守性更小的具有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）的可靠控制器設計條件.特別地，自由矩陣變量的成功引入將各個模糊子模型間的耦合關系映射到若干個大矩陣（6）中，上述方法能更有效地考慮模糊隸屬函數的有用信息，顯著減少結果的保守性.

3 仿真實驗

考慮如下形式的一類離散時間非線性控制系統：

按照T－S模糊建模方法，令

則離散時間非線性控制系統（15）可由如下離散時間T－S模糊系統表示：

其中：

為了驗證本文提出的可靠控制器設計方法的有效性，本文在仿真實驗中分別使用文獻［6］給出的已有方法和本文定理1提出的方法進行對應可靠控制器的設計.結果表明：文獻［6］提出的設計方法只能在β≤1.68時才能保證帶有執行器故障的離散時間T－S模糊控制系統（1）是可靠穩定的可行解；而定理1得到的結果是β≤1.71.由此，本文提出的新型可靠控制器及相關技術措施在減少保守性方面均有效.

令β＝1.70，此時只有本文方法能提供可靠控制器設計方案.利用Matlab計算軟件可得滿足線性矩陣不等式（4）～（8）條件下的控制增益矩陣F1，F2，G1，G2.

圖1 狀態變量x1（k）的軌跡Fig.1 Trajectory of the state variable x1（k）

圖2 狀態變量x2（k）的軌跡Fig.2 Trajectory of the state variable x2（k）

圖3 控制輸出量u1（k）的軌跡Fig.3 Trajectory of the control input u1（k）

綜上所述，本文針對具有執行器故障的離散時間非線性系統的可靠控制問題提出了一種新型的可靠控制器設計方案.在非－PDC技術設計思想的啟發下，所設計的新型可靠控制器能引入更多控制增益矩陣，從而增加了控制設計過程的自由度.此外，還提出了一種自由矩陣變量技術，它能將各個模糊子模型間的耦合關系映射到若干個大矩陣中，通過更有效地考慮模糊隸屬函數的有用信息進一步減少了可靠控制器設計條件的保守性.仿真實驗驗證了本文提出方法的有效性和可行性.

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