轉換法視角的地球運動計算題難點及其突破

侯劉起+廖偉業

“地球運動”計算題是高中地理教學的難點。轉換法是指在效果不變的前提下，將陌生、復雜的問題轉化為熟悉、簡單的問題的方法。在高考中，“地球運動”計算題是考生取得理想成績的“攔路虎”。對此，很多教師歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。“地球運動”計算題與“立體幾何”有什么關系？“地球運動”計算題的難點又是什么？筆者通過對比“地球運動”與“立體幾何”高考題中的轉換法，剖析“地球運動”計算題的難點，進而提出“地球運動”計算題難點的突破策略。

一、地球運動中的轉換法

“地球運動”計算題包括“太陽高度角的計算”、“晨昏線的判讀”、“時間的計算”、“晝夜長短的判讀及計算”以及“光照圖的判讀”等題型，見例1、例2。

例1：（2006年廣東卷·地理）圖1中外圓表示緯線圈，N表示極點。讀圖，回答下列問題。

（1）若AB弧表示夜弧，則D點的日出時刻是：

A.21時30分 B.2時30分

C.8時00分 D.3時30分

（2）下列哪座城市的晝夜長短與圖示情況最接近：

A.大慶 B.海口 C.岳陽 D.長春

（3）若AB弧表示2006年3月1日的范圍，其余為另一日期。設B點為0時，則100°E的區時為：

A.2月28日13時40分 B.2月29日3時40分

C.3月2日14時00分 D.2月28日14時00分

解析：問題（1）考查晝夜長短及日出時刻的計算。解題時，應該把平面幾何信息轉換成時間信息，具體為：若AB弧表示夜弧，且從NA到NB所跨經度為75°。因為經度每隔15°，地方時相差1小時，所以AB弧表示的夜長為5小時，則D點所對應緯線的白晝時間為19小時。因此，日出時刻=12時-白晝的一半=12時-9時30分=2時30分，故選B。

問題（2）考查晝夜長短的空間分布。解題時，應該把平面圖轉換成立體圖，具體為：圖示地點晝長夜短，所以此時太陽直射北半球（以太陽直射北回歸線為例），見圖2。從圖中可知晝長從太陽直射點到高緯度逐漸變長。另外，圖1所示地區晝長遠遠大于夜長。4個選項中，大慶緯度最高，晝長最長，故選A。

問題（3）考查時間的計算。解題時，應該把平面幾何信息轉換成經線、時間信息。日界線有兩條，一條為180°經線，一條為地方時是0時的經線。B點為0時，則NA為180°經線。圖示極點N為北極點，且NA、NB兩條經線相隔75°，則NB的經度為105°W，即西7區的區時為0時。那么100°E的區時（東7區）為0時+14時=3月2日14點00分，故選C。

例2：（2010年全國卷Ⅰ· 文綜）假設從空中R點看到地表的緯線m和晨昏線n，如圖3所示。R點在地表的垂直投影為S。據此回答下列問題。

■

（1）S地的緯度：

A.與M地相同 B.介于M、N兩地之間

C.高于N地 D.低于M地

（2）如果在位于大陸上的N地看見太陽正在落下，則這一時期：

A.S地的白晝比N地長

B.美國加利福尼亞州火險等級高

C.巴西東南部正值雨季

D.長江口附近海水鹽度處于高值期

（3）若R點沿直線RS：

A.上升，看到m、n的兩交點間距離加大

B.下降，看到m、n的兩交點間距離加大

C.上升，看到m、n呈現彎曲方向相反的相交曲線

D.上升或下降，看到m、n的形狀保持不變

解析：問題（1）考查觀察點及其投影的位置。解題時，應該把緯線的形狀轉換成S點的位置。因為緯線是一條直線，所以是從緯線m所在的小圓面上向下觀察。連接R與地心就可以找到S（見圖4），故選D。

問題（2）考查太陽直射點的位置及相關現象。解題時，應該把平面距離轉換成晝（夜）長。由圖3可知，n為昏線，m、n兩交點間的距離代表夜長。則此時晝長>夜長。所以，此時為北半球的夏半年。經分析B正確。

問題（3）考查m、n形狀的變化。m、n兩交點間的距離代表晝（夜）長，不會因觀察者位置的改變而改變。由圖4可知，若沿直線RS上升，緯線m向南彎曲，故選C。

二、立體幾何中的轉換法

高考立體幾何中常見的題型包括表面積與體積的計算，線線、線面、面面等位置關系（平行、垂直）的證明以及異面直線所成角、線面角、二面角等角的計算等，見例3。

例3：（2013年全國新課標卷Ⅰ·文數）如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（1）證明：AB⊥A1C；

（2）若AB=CB=2，A1C=■，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積。

解析：問題（1）是異面直線間位置關系的證明，該類題目通常需要添加輔助線，把線線之間的關系轉化成線面之間的關系，具體為：取AB的中點O，連接OC、OA1、A1B，見圖6。因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB。

因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C。因為A1C在平面OA1C內，故AB⊥A1C。

問題（2）是求三棱柱的體積，因為該三棱柱不是直三棱柱，所以需要把求三棱柱的體積轉化為找三棱柱的高線，具體為：由題意知，△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以OC=OA1=■，又A1C=■，則A1C2=OC2+OA12，故OA1⊥OC。又因為OA1⊥AB，OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，則OA1為棱柱ABC-A1B1C1的高。

又△ABC的面積S△ABC=■，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1=3。endprint

高考文科數學中，與球有關的題型主要有：根據球的截面計算球的表面積、體積以及球面距離等，見例4。

例4：（2008年湖北卷·文數）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：該題目考查小圓半徑、球心到截面的距離以及球的半徑之間的關系。該題目中包含文字信息較多。解題時，應該把文字、數字以及復雜抽象的內容通過形象的圖示反映出來（如圖3）。然后，把立體圖形轉換成平面幾何，并利用勾股定理計算大圓的半徑。最后，利用公式求球的體積，具體為：由圖7知，OA為大圓的半徑，OB為截面與球心的距離，AB為小圓半徑。

則OB=1。又由題意知π·AB2=π，則AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故選D。

三、地球運動計算題難點及其突破

教師不能簡單地把“地球運動計算題得分不高”歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。因為，地球運動與立體幾何的難點不同，具體如下。

第一，地球運動注重圖形與文字、圖形與圖形之間的轉換，不需要添加輔助線；立體幾何側重于添加輔助線。

第二，地球運動側重于從平面幾何知識向地球運動知識的轉換，如把角度轉換成時間、把距離轉換成晝（夜）長；立體幾何側重于從“立體圖向平面圖的轉換”，然后，借助平面幾何知識進行計算，如利用勾股定理計算球的半徑。

第三，地球運動側重于地球表面，最主要的是根據幾何知識計算時間、晝夜長短、太陽高度等；立體幾何側重于地球內部與地球表面的聯系，如利用小圓半徑、球心到截面的距離計算球的半徑、體積、表面積等。

鑒于此，提出地球運動計算題難點突破策略，具體如下。

第一，“地球運動”計算題是考生取得理想成績的“攔路虎”。因此，在突破難點過程中，要熟練掌握地球運動計算題相關知識，如晨昏線、地方時（區時）、太陽高度角以及晝夜長短等，并加以綜合運用。

第二，在突破難點過程中，首先借助高考題、模擬題等題目，總結地球運動計算題中的各種光照圖，如立體圖、側視圖、俯視圖等。其次提煉光照圖中常用的平面幾何知識，如角度、距離等。最后總結平面幾何知識向地球運動知識轉換方法，如把角度轉換成時間、把距離轉換成晝（夜）長。

第三，雖然不能簡單地把“地球運動計算題得分不高”歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。但是，解決地球運動計算題過程中需要良好的空間思維能力。因此，突破難點須借助地球儀等教學儀器以及立體幾何中的球體等知識點，加強空間思維能力訓練。▲endprint

高考文科數學中，與球有關的題型主要有：根據球的截面計算球的表面積、體積以及球面距離等，見例4。

例4：（2008年湖北卷·文數）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：該題目考查小圓半徑、球心到截面的距離以及球的半徑之間的關系。該題目中包含文字信息較多。解題時，應該把文字、數字以及復雜抽象的內容通過形象的圖示反映出來（如圖3）。然后，把立體圖形轉換成平面幾何，并利用勾股定理計算大圓的半徑。最后，利用公式求球的體積，具體為：由圖7知，OA為大圓的半徑，OB為截面與球心的距離，AB為小圓半徑。

則OB=1。又由題意知π·AB2=π，則AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故選D。

三、地球運動計算題難點及其突破

教師不能簡單地把“地球運動計算題得分不高”歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。因為，地球運動與立體幾何的難點不同，具體如下。

第一，地球運動注重圖形與文字、圖形與圖形之間的轉換，不需要添加輔助線；立體幾何側重于添加輔助線。

第二，地球運動側重于從平面幾何知識向地球運動知識的轉換，如把角度轉換成時間、把距離轉換成晝（夜）長；立體幾何側重于從“立體圖向平面圖的轉換”，然后，借助平面幾何知識進行計算，如利用勾股定理計算球的半徑。

第三，地球運動側重于地球表面，最主要的是根據幾何知識計算時間、晝夜長短、太陽高度等；立體幾何側重于地球內部與地球表面的聯系，如利用小圓半徑、球心到截面的距離計算球的半徑、體積、表面積等。

鑒于此，提出地球運動計算題難點突破策略，具體如下。

第一，“地球運動”計算題是考生取得理想成績的“攔路虎”。因此，在突破難點過程中，要熟練掌握地球運動計算題相關知識，如晨昏線、地方時（區時）、太陽高度角以及晝夜長短等，并加以綜合運用。

第二，在突破難點過程中，首先借助高考題、模擬題等題目，總結地球運動計算題中的各種光照圖，如立體圖、側視圖、俯視圖等。其次提煉光照圖中常用的平面幾何知識，如角度、距離等。最后總結平面幾何知識向地球運動知識轉換方法，如把角度轉換成時間、把距離轉換成晝（夜）長。

第三，雖然不能簡單地把“地球運動計算題得分不高”歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。但是，解決地球運動計算題過程中需要良好的空間思維能力。因此，突破難點須借助地球儀等教學儀器以及立體幾何中的球體等知識點，加強空間思維能力訓練。▲endprint

高考文科數學中，與球有關的題型主要有：根據球的截面計算球的表面積、體積以及球面距離等，見例4。

例4：（2008年湖北卷·文數）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：該題目考查小圓半徑、球心到截面的距離以及球的半徑之間的關系。該題目中包含文字信息較多。解題時，應該把文字、數字以及復雜抽象的內容通過形象的圖示反映出來（如圖3）。然后，把立體圖形轉換成平面幾何，并利用勾股定理計算大圓的半徑。最后，利用公式求球的體積，具體為：由圖7知，OA為大圓的半徑，OB為截面與球心的距離，AB為小圓半徑。

則OB=1。又由題意知π·AB2=π，則AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故選D。

三、地球運動計算題難點及其突破

教師不能簡單地把“地球運動計算題得分不高”歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。因為，地球運動與立體幾何的難點不同，具體如下。

第一，地球運動注重圖形與文字、圖形與圖形之間的轉換，不需要添加輔助線；立體幾何側重于添加輔助線。

第二，地球運動側重于從平面幾何知識向地球運動知識的轉換，如把角度轉換成時間、把距離轉換成晝（夜）長；立體幾何側重于從“立體圖向平面圖的轉換”，然后，借助平面幾何知識進行計算，如利用勾股定理計算球的半徑。

第三，地球運動側重于地球表面，最主要的是根據幾何知識計算時間、晝夜長短、太陽高度等；立體幾何側重于地球內部與地球表面的聯系，如利用小圓半徑、球心到截面的距離計算球的半徑、體積、表面積等。

鑒于此，提出地球運動計算題難點突破策略，具體如下。

第一，“地球運動”計算題是考生取得理想成績的“攔路虎”。因此，在突破難點過程中，要熟練掌握地球運動計算題相關知識，如晨昏線、地方時（區時）、太陽高度角以及晝夜長短等，并加以綜合運用。

第二，在突破難點過程中，首先借助高考題、模擬題等題目，總結地球運動計算題中的各種光照圖，如立體圖、側視圖、俯視圖等。其次提煉光照圖中常用的平面幾何知識，如角度、距離等。最后總結平面幾何知識向地球運動知識轉換方法，如把角度轉換成時間、把距離轉換成晝（夜）長。

第三，雖然不能簡單地把“地球運動計算題得分不高”歸因于學生“立體幾何知識掌握不牢”。但是，解決地球運動計算題過程中需要良好的空間思維能力。因此，突破難點須借助地球儀等教學儀器以及立體幾何中的球體等知識點，加強空間思維能力訓練。▲endprint