談高職數學習題課的類型和作用

皋古之

摘 要：數學習題課是教師根據教材內容和學生的知識程度，以講解習題為主的基本課型，是數學教學的有機組成部分，如何備好習題課，是教師教學基本功的體現。作者試圖根據數學教學實踐，探討高職數學習題課的基本類型和作用。

關鍵詞：習題課類型 數學能力 習題編排

高職學生數學思維能力的訓練主要是通過數學習題課教學完成的，所以習題課是數學課堂教學的重要組成部分。好的習題課可以為學生提供優質的數學課程信息。編制精致的高職數學習題，能激發學生學習數學的興趣，提高學生的數學能力和素養是教師備課基本能力的體現。高職數學習題課的習題可歸結為以下幾個基本類型及作用。

一、導入型

和上課導入新課一樣，為了使學生能在已學的知識的推演中，將陌生的問題轉化為熟知問題而獲得新知識，教師可以在習題課上編排一些具有一定導入性的習題，激發學生探究知識的興趣。如在立體幾何教學中，推證異面直線上兩點間的距離公式，學生可能一時無從下手，教師可以編排如下的練習：

（1）引導觀察模型，設a，b是異面直線，AA'是它們的公垂線，請畫出直觀圖；

（2）是否有過直線b平面a平行于直線a，畫出平面a；

（3）已知a，b所成的角為θ，設a，AA'所確定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ嗎？

（4）證明a┴β；

（5）在直線a上取異于A'點E，在β內作EG┴c角c于F，設F是直線b上任意一點，證明△EFG是直角三角形。

（6）設A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。

通過這一組練習，學生可以比較容易地推出異面直線上兩點之間的距離公式，且會覺得思路清晰，從而獲得新的知識，掌握思考方法，培養主動探究的能力。

二、概念型

對于一些重要的新概念，在習題課上，教師要編排一些體現新概念實質的習題，通過這些習題的解答，幫助學生加深對這些概念的理解和掌握。如在復數模的教學中，學生往往會與實數的絕對值概念相混淆。為了讓學生理解復數的模是實數絕對值概念的推廣，教師在習題課上可安排如下的練習：

（1）設|z|=1，且Z5+Z=1，求復數Z。

通過這個練習，教師可以強調：如果a，b是實數，則

（2）設|x+i|=2，求復數在復平面的軌跡。

（3）設3<|z+2|≤5，復數z在復平面上的圖形是什么？

在概念題的教學中，教師把學生面前的“陷阱”預先提示給學生，使學生運用時不至于引起混淆和錯誤，注重培養學生縝密思維的習慣。

三、基本型

習題課上，教師要適當地編排一些基本習題。如在三角函數教學中，對兩角和與差的公式理解后，教師可安排如下一組練習。

（1）求

（2）求

（3）求

四、類比型

對于學生容易混淆的概念，或形式相似但本質不同的問題，教師在習題課上要安排具有類比型的習題，通過練習，能夠揭示這些知識的不同點，尋找出解決問題的規律。

如對排列數與組合數計算，在初學時，學生容易混淆，習題課中可以編排如下的練習：從標有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9張卡片中任取3張，用其數字組成無重復數字的三位數，有多少種取法；若6也可以當成9用，則又有多少種取法。

通過這個練習，學生容易辨別排列與組合的區別，從而加深對排列數與組合數計算規律的掌握。

五、聯系型

在習題課上，教師要把學生的新舊知識進行聯系，編排一些溝通新舊知識的小綜合題，使學生養成綜合考慮問題的習慣，從而在解題過程中，在理解新知識的同時，鞏固已有的知識，擴大解題思路，培養學生的發散思維能力。如在直線方程習題課時，教師可以編排習題：

（1）設，，求的最大值。

（2）用復數z表示直線方程x+3y-2=0。

教師可以引導學生從幾何圖形、代數、三角函數等方面考慮。通過習題的練習，啟發學生從多方面聯想、探究，提高學生數形結合能力和正確的運算能力。

六、過渡型

在教科書上，例題與習題之間的梯度較大，學生難于獨立完成，這時教師在習題課上需要編排一些具有“臺階”作用的習題，這種“臺階”性質的習題就是過渡型習題。如在正弦函數的單調性這部分內容中，教材中的例題和習題對于單調性的應用，一般僅限于比較兩個三角函數值的大小。為使學生能更好地掌握三角函數的單調性質，教師可以編排一些求復合三角函數的單調區間的習題，也可以編排一些解三角不等式的習題作為過渡性習題。如可編排如下一些習題：

（1）求函數y=1-sinx的單調區間；

（2）解不等式：2sinx≤1；

（3）求函數（）的最小值。

教師在學生完成（1）的解答后，歸納y=?（x）的單調性和y=a+?（x）的單調性的關系；在學生完成（2）的解答后，引導學生歸納如何利用三角函數圖像找出對應于的x相鄰兩個值，再找出滿足的曲線段，最后利用周期性確定滿足不等式的集合。在學生做本題時，教師可提醒注意過渡不等式，從而得到y最小值為。

七、引申型

將習題的方法和結論加以引申，可以使學生的知識和能力得到提升。因此，教師在編排習題時要有一定量的引申型習題，引導學生進行知識的遷移。如在證明等式，稍加變形，得到。若設m+1=k，再稍加變形，便得到引申題。

進一步引申，可證

和

上面兩式可引申為

如果把變形成，則原命題可引申為，用此式可證明等式

。

八、綜合型

在習題課上，教師編排一些綜合型習題，把知識進行系統化，幫助學生形成自己的知識體系，增強學生的知識應用能力。在編排時，教師可以進行一題多解，一題多變，培養學生從多角度，分析問題的綜合思考方法。從某種程度上說，綜合型習題事實上是狹義也是聯系型練習題。在編排綜合性習題時，要注意知識的系統性。

如在講授拋物線的習題課時，教師可編排如下習題：

（1）過拋物線y2=px（p>0）的焦點F作一條垂直于A，B軸的直線交拋物線于A，B兩點，求|AB|；

（2）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，求|AB|；

（3）設有一定長為的線段AB（），其兩端在拋物線y2=2px上移動，求線段AB中點M到y軸的最短距離。

對于題（1），可以引導學生畫出示意圖，根據圖形的直觀分別從直線的普通方程，參數方程和拋物線的極坐標方程進行考慮，用不同的方法求得：|AB|=2p。

對于題（2），教師可以趁熱打鐵，引導學生結合圖形和拋物線的定義，仿照題（1）的方法引導學生完成習題的解答：|AB|=4p。

至于（3），教師可讓學生探討，培養全面系統考慮問題的習慣。通過習題的解答，可以把直線的方程與拋物線的方程串聯在一起，培養學生綜合運用直線和二次曲線所學知識解決問題的能力和正確的運算能力。

對于以上各種類型的習題，教師在不同的習題課的備課中要合理編排，適當搭配，以逐步培養學生的數學創新的思維能力，可以培養學生的數學探究習慣和良好的自學能力，達到職業數學教學目的。

（作者單位：徐州機電工程高等職業學校）endprint

摘 要：數學習題課是教師根據教材內容和學生的知識程度，以講解習題為主的基本課型，是數學教學的有機組成部分，如何備好習題課，是教師教學基本功的體現。作者試圖根據數學教學實踐，探討高職數學習題課的基本類型和作用。

關鍵詞：習題課類型 數學能力 習題編排

高職學生數學思維能力的訓練主要是通過數學習題課教學完成的，所以習題課是數學課堂教學的重要組成部分。好的習題課可以為學生提供優質的數學課程信息。編制精致的高職數學習題，能激發學生學習數學的興趣，提高學生的數學能力和素養是教師備課基本能力的體現。高職數學習題課的習題可歸結為以下幾個基本類型及作用。

一、導入型

和上課導入新課一樣，為了使學生能在已學的知識的推演中，將陌生的問題轉化為熟知問題而獲得新知識，教師可以在習題課上編排一些具有一定導入性的習題，激發學生探究知識的興趣。如在立體幾何教學中，推證異面直線上兩點間的距離公式，學生可能一時無從下手，教師可以編排如下的練習：

（1）引導觀察模型，設a，b是異面直線，AA'是它們的公垂線，請畫出直觀圖；

（2）是否有過直線b平面a平行于直線a，畫出平面a；

（3）已知a，b所成的角為θ，設a，AA'所確定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ嗎？

（4）證明a┴β；

（5）在直線a上取異于A'點E，在β內作EG┴c角c于F，設F是直線b上任意一點，證明△EFG是直角三角形。

（6）設A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。

通過這一組練習，學生可以比較容易地推出異面直線上兩點之間的距離公式，且會覺得思路清晰，從而獲得新的知識，掌握思考方法，培養主動探究的能力。

二、概念型

對于一些重要的新概念，在習題課上，教師要編排一些體現新概念實質的習題，通過這些習題的解答，幫助學生加深對這些概念的理解和掌握。如在復數模的教學中，學生往往會與實數的絕對值概念相混淆。為了讓學生理解復數的模是實數絕對值概念的推廣，教師在習題課上可安排如下的練習：

（1）設|z|=1，且Z5+Z=1，求復數Z。

通過這個練習，教師可以強調：如果a，b是實數，則

（2）設|x+i|=2，求復數在復平面的軌跡。

（3）設3<|z+2|≤5，復數z在復平面上的圖形是什么？

在概念題的教學中，教師把學生面前的“陷阱”預先提示給學生，使學生運用時不至于引起混淆和錯誤，注重培養學生縝密思維的習慣。

三、基本型

習題課上，教師要適當地編排一些基本習題。如在三角函數教學中，對兩角和與差的公式理解后，教師可安排如下一組練習。

（1）求

（2）求

（3）求

四、類比型

對于學生容易混淆的概念，或形式相似但本質不同的問題，教師在習題課上要安排具有類比型的習題，通過練習，能夠揭示這些知識的不同點，尋找出解決問題的規律。

如對排列數與組合數計算，在初學時，學生容易混淆，習題課中可以編排如下的練習：從標有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9張卡片中任取3張，用其數字組成無重復數字的三位數，有多少種取法；若6也可以當成9用，則又有多少種取法。

通過這個練習，學生容易辨別排列與組合的區別，從而加深對排列數與組合數計算規律的掌握。

五、聯系型

在習題課上，教師要把學生的新舊知識進行聯系，編排一些溝通新舊知識的小綜合題，使學生養成綜合考慮問題的習慣，從而在解題過程中，在理解新知識的同時，鞏固已有的知識，擴大解題思路，培養學生的發散思維能力。如在直線方程習題課時，教師可以編排習題：

（1）設，，求的最大值。

（2）用復數z表示直線方程x+3y-2=0。

教師可以引導學生從幾何圖形、代數、三角函數等方面考慮。通過習題的練習，啟發學生從多方面聯想、探究，提高學生數形結合能力和正確的運算能力。

六、過渡型

在教科書上，例題與習題之間的梯度較大，學生難于獨立完成，這時教師在習題課上需要編排一些具有“臺階”作用的習題，這種“臺階”性質的習題就是過渡型習題。如在正弦函數的單調性這部分內容中，教材中的例題和習題對于單調性的應用，一般僅限于比較兩個三角函數值的大小。為使學生能更好地掌握三角函數的單調性質，教師可以編排一些求復合三角函數的單調區間的習題，也可以編排一些解三角不等式的習題作為過渡性習題。如可編排如下一些習題：

（1）求函數y=1-sinx的單調區間；

（2）解不等式：2sinx≤1；

（3）求函數（）的最小值。

教師在學生完成（1）的解答后，歸納y=?（x）的單調性和y=a+?（x）的單調性的關系；在學生完成（2）的解答后，引導學生歸納如何利用三角函數圖像找出對應于的x相鄰兩個值，再找出滿足的曲線段，最后利用周期性確定滿足不等式的集合。在學生做本題時，教師可提醒注意過渡不等式，從而得到y最小值為。

七、引申型

將習題的方法和結論加以引申，可以使學生的知識和能力得到提升。因此，教師在編排習題時要有一定量的引申型習題，引導學生進行知識的遷移。如在證明等式，稍加變形，得到。若設m+1=k，再稍加變形，便得到引申題。

進一步引申，可證

和

上面兩式可引申為

如果把變形成，則原命題可引申為，用此式可證明等式

。

八、綜合型

在習題課上，教師編排一些綜合型習題，把知識進行系統化，幫助學生形成自己的知識體系，增強學生的知識應用能力。在編排時，教師可以進行一題多解，一題多變，培養學生從多角度，分析問題的綜合思考方法。從某種程度上說，綜合型習題事實上是狹義也是聯系型練習題。在編排綜合性習題時，要注意知識的系統性。

如在講授拋物線的習題課時，教師可編排如下習題：

（1）過拋物線y2=px（p>0）的焦點F作一條垂直于A，B軸的直線交拋物線于A，B兩點，求|AB|；

（2）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，求|AB|；

（3）設有一定長為的線段AB（），其兩端在拋物線y2=2px上移動，求線段AB中點M到y軸的最短距離。

對于題（1），可以引導學生畫出示意圖，根據圖形的直觀分別從直線的普通方程，參數方程和拋物線的極坐標方程進行考慮，用不同的方法求得：|AB|=2p。

對于題（2），教師可以趁熱打鐵，引導學生結合圖形和拋物線的定義，仿照題（1）的方法引導學生完成習題的解答：|AB|=4p。

至于（3），教師可讓學生探討，培養全面系統考慮問題的習慣。通過習題的解答，可以把直線的方程與拋物線的方程串聯在一起，培養學生綜合運用直線和二次曲線所學知識解決問題的能力和正確的運算能力。

對于以上各種類型的習題，教師在不同的習題課的備課中要合理編排，適當搭配，以逐步培養學生的數學創新的思維能力，可以培養學生的數學探究習慣和良好的自學能力，達到職業數學教學目的。

（作者單位：徐州機電工程高等職業學校）endprint

摘 要：數學習題課是教師根據教材內容和學生的知識程度，以講解習題為主的基本課型，是數學教學的有機組成部分，如何備好習題課，是教師教學基本功的體現。作者試圖根據數學教學實踐，探討高職數學習題課的基本類型和作用。

關鍵詞：習題課類型 數學能力 習題編排

高職學生數學思維能力的訓練主要是通過數學習題課教學完成的，所以習題課是數學課堂教學的重要組成部分。好的習題課可以為學生提供優質的數學課程信息。編制精致的高職數學習題，能激發學生學習數學的興趣，提高學生的數學能力和素養是教師備課基本能力的體現。高職數學習題課的習題可歸結為以下幾個基本類型及作用。

一、導入型

和上課導入新課一樣，為了使學生能在已學的知識的推演中，將陌生的問題轉化為熟知問題而獲得新知識，教師可以在習題課上編排一些具有一定導入性的習題，激發學生探究知識的興趣。如在立體幾何教學中，推證異面直線上兩點間的距離公式，學生可能一時無從下手，教師可以編排如下的練習：

（1）引導觀察模型，設a，b是異面直線，AA'是它們的公垂線，請畫出直觀圖；

（2）是否有過直線b平面a平行于直線a，畫出平面a；

（3）已知a，b所成的角為θ，設a，AA'所確定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ嗎？

（4）證明a┴β；

（5）在直線a上取異于A'點E，在β內作EG┴c角c于F，設F是直線b上任意一點，證明△EFG是直角三角形。

（6）設A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。

通過這一組練習，學生可以比較容易地推出異面直線上兩點之間的距離公式，且會覺得思路清晰，從而獲得新的知識，掌握思考方法，培養主動探究的能力。

二、概念型

對于一些重要的新概念，在習題課上，教師要編排一些體現新概念實質的習題，通過這些習題的解答，幫助學生加深對這些概念的理解和掌握。如在復數模的教學中，學生往往會與實數的絕對值概念相混淆。為了讓學生理解復數的模是實數絕對值概念的推廣，教師在習題課上可安排如下的練習：

（1）設|z|=1，且Z5+Z=1，求復數Z。

通過這個練習，教師可以強調：如果a，b是實數，則

（2）設|x+i|=2，求復數在復平面的軌跡。

（3）設3<|z+2|≤5，復數z在復平面上的圖形是什么？

在概念題的教學中，教師把學生面前的“陷阱”預先提示給學生，使學生運用時不至于引起混淆和錯誤，注重培養學生縝密思維的習慣。

三、基本型

習題課上，教師要適當地編排一些基本習題。如在三角函數教學中，對兩角和與差的公式理解后，教師可安排如下一組練習。

（1）求

（2）求

（3）求

四、類比型

對于學生容易混淆的概念，或形式相似但本質不同的問題，教師在習題課上要安排具有類比型的習題，通過練習，能夠揭示這些知識的不同點，尋找出解決問題的規律。

如對排列數與組合數計算，在初學時，學生容易混淆，習題課中可以編排如下的練習：從標有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9張卡片中任取3張，用其數字組成無重復數字的三位數，有多少種取法；若6也可以當成9用，則又有多少種取法。

通過這個練習，學生容易辨別排列與組合的區別，從而加深對排列數與組合數計算規律的掌握。

五、聯系型

在習題課上，教師要把學生的新舊知識進行聯系，編排一些溝通新舊知識的小綜合題，使學生養成綜合考慮問題的習慣，從而在解題過程中，在理解新知識的同時，鞏固已有的知識，擴大解題思路，培養學生的發散思維能力。如在直線方程習題課時，教師可以編排習題：

（1）設，，求的最大值。

（2）用復數z表示直線方程x+3y-2=0。

教師可以引導學生從幾何圖形、代數、三角函數等方面考慮。通過習題的練習，啟發學生從多方面聯想、探究，提高學生數形結合能力和正確的運算能力。

六、過渡型

在教科書上，例題與習題之間的梯度較大，學生難于獨立完成，這時教師在習題課上需要編排一些具有“臺階”作用的習題，這種“臺階”性質的習題就是過渡型習題。如在正弦函數的單調性這部分內容中，教材中的例題和習題對于單調性的應用，一般僅限于比較兩個三角函數值的大小。為使學生能更好地掌握三角函數的單調性質，教師可以編排一些求復合三角函數的單調區間的習題，也可以編排一些解三角不等式的習題作為過渡性習題。如可編排如下一些習題：

（1）求函數y=1-sinx的單調區間；

（2）解不等式：2sinx≤1；

（3）求函數（）的最小值。

教師在學生完成（1）的解答后，歸納y=?（x）的單調性和y=a+?（x）的單調性的關系；在學生完成（2）的解答后，引導學生歸納如何利用三角函數圖像找出對應于的x相鄰兩個值，再找出滿足的曲線段，最后利用周期性確定滿足不等式的集合。在學生做本題時，教師可提醒注意過渡不等式，從而得到y最小值為。

七、引申型

將習題的方法和結論加以引申，可以使學生的知識和能力得到提升。因此，教師在編排習題時要有一定量的引申型習題，引導學生進行知識的遷移。如在證明等式，稍加變形，得到。若設m+1=k，再稍加變形，便得到引申題。

進一步引申，可證

和

上面兩式可引申為

如果把變形成，則原命題可引申為，用此式可證明等式

。

八、綜合型

在習題課上，教師編排一些綜合型習題，把知識進行系統化，幫助學生形成自己的知識體系，增強學生的知識應用能力。在編排時，教師可以進行一題多解，一題多變，培養學生從多角度，分析問題的綜合思考方法。從某種程度上說，綜合型習題事實上是狹義也是聯系型練習題。在編排綜合性習題時，要注意知識的系統性。

如在講授拋物線的習題課時，教師可編排如下習題：

（1）過拋物線y2=px（p>0）的焦點F作一條垂直于A，B軸的直線交拋物線于A，B兩點，求|AB|；

（2）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，求|AB|；

（3）設有一定長為的線段AB（），其兩端在拋物線y2=2px上移動，求線段AB中點M到y軸的最短距離。

對于題（1），可以引導學生畫出示意圖，根據圖形的直觀分別從直線的普通方程，參數方程和拋物線的極坐標方程進行考慮，用不同的方法求得：|AB|=2p。

對于題（2），教師可以趁熱打鐵，引導學生結合圖形和拋物線的定義，仿照題（1）的方法引導學生完成習題的解答：|AB|=4p。

至于（3），教師可讓學生探討，培養全面系統考慮問題的習慣。通過習題的解答，可以把直線的方程與拋物線的方程串聯在一起，培養學生綜合運用直線和二次曲線所學知識解決問題的能力和正確的運算能力。

對于以上各種類型的習題，教師在不同的習題課的備課中要合理編排，適當搭配，以逐步培養學生的數學創新的思維能力，可以培養學生的數學探究習慣和良好的自學能力，達到職業數學教學目的。

（作者單位：徐州機電工程高等職業學校）endprint