對拋物型偏微分方程一種新的數值解法的研究?

吐克孜艾肯,阿布都熱西提阿布都外力

(新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

科學計算在各門自然科學（物理學，氣象學，地質學和生命科學等）技術科學與工程科學（核技術，石油勘探，航空和航天和大型土木工程等）中起著越來越大的作用，在很多重要領域中成為不可或缺的工具.而科學與工程計算中最重要的內容就是求解在科學研究和工程技術中出現的各種各樣的偏微分方程或方程組.在拋物型方程數值解法中常見的有Crank-Nicolson格式，跳點格式，三層顯式格式，三層隱式格式，Saul’ev算法，分組顯示方法等，但其各有利弊，計算量大，精度低.拋物型方程數值方法中的早期經典隱格式當推Crank-Nicolson格式，但由于此格式精度不夠理想，有邊界附近發生振動等缺點.隨著高階精度格式的發展，人們以很少使用它.近年來，阿布都熱西提·阿布都外力提出了熱傳導方程的局部Crank－Nicolson方法[1]和修正局部Crank－Nicolson方法[2]，黃鵬展將該方法推廣到一維變系數擴散方程[3]及burgers方程，開依沙爾·熱合曼[4]用此法研究了一維對流擴散方程及本人對非定常對流擴散方程的研究，均得到很好的結果.本文根據這一方法對拋物型方程提出新的數值解法，這種方法在穩定性方面具有一定的優勢并且具有計算簡單，誤差小，編程方便等優點.通過這項工作，對其他一些拋物型方程的數值解法也是一個很好的參考.

1 差分格式的構造

考慮一維熱傳導方程第一初邊值問題

其中g(x)為給定的已知函數，a為熱擴散系數.對(1)的空間微分項用中心差商代替，就得到半離散差分方程式

其中V(t)=是u(xi,t)的近似解，并且A是如下所示(N?1)×(N?1)的三對角矩陣.

常微分方程（2）對于初值向量

的解可以表為

設τ=間步長,tn=nτ(n=1,2,···,N),進而有

對非線性項滯后一個時間步長，得到非線性項方程組（4）的線性化形式

其中矩陣A是（3）.考慮熱傳導方程的Crank?Nicolson格式，可以寫成如下形式

(7)式可以改寫成

(8)式的矩陣形式為

利用(6)和(9)式,有如下近似

命題1設矩陣A可以表示成

的形式，則

對于任何h,t成立，此處s是正整數與N有關.由(11)式，對任意σ=1，有

系數矩陣A按以下形式分成分塊矩陣

這種按一個元素分裂得到的分塊矩陣的特征值是-2，0或全為0.對任意的i=1,2,N?1,j=1,2,N?1，從（10）得

結合(12),(13),(14)，有

因此，結合（6）和（15），就得到一個新的差分格式

記Bij=A((N?1)?i)((N?1)?j))，為了改善精度，將Bij代入（16）就得到

其中Ii是一個i×i階的單位矩陣，

類似于（21），有

從而，就得到了V(tn+1)的顯示表達式.顯然，(18)為顯格式.由于把A分離成（13）這樣的一些簡單矩陣，雖然(13)中出現求逆過程，但是可以用手算直接正確地求出它的表達式，沒有誤差.這樣就不需要直接解以大型矩陣為系數矩陣的線性方程組，所以此格式有計算量少，精度高的優點.這是數值計算上很重要的問題.

2 穩定性，相容性及收斂性引理

定理1設矩陣A能表示成的形式，即（13）表示的分裂形式，則差分格式(18)是無條件穩定的.

證明矩陣Aij的特征值是-2，0或全為0，因此的歐氏模不超過1.由穩定性充分必要條件知差分格式(18)是無條件穩定的.

定理2設矩陣A能表示成的形式，那么差分格式(18)的截斷誤差為O(h2+τ2).

證明由Taylor展開，易得差分格式（7）的截斷誤差為O(h2+τ2).而差分格式(18)的截斷誤差是N?1個（7）情形相乘得到的，故它的截斷誤差為O(h2+τ2).

定理3設矩陣A能表示成的形式，即（13）表示的分裂形式，任意常數，則差分格式(18)是相容的[2].

定理4設矩陣A能表示成的形式，即（13）表示的分裂形式，任意常數，則差分格式(18)是收斂的[2].

3 數值例子

考慮一維熱傳導方程的第一初邊值問題

用變量分離法可得（20）式的解析解為

取a為網格比.下面取不同的網格比,用Crank?Nicolson法，修正局部C?N法，新提出的方法來求數值解，結果如表1，表2所示：

表1 h=0.1,λ=0.01時，解析解與近似解的對照

表2 h=0.1,λ=0.001時，解析解與近似解的對照

由表1，表2可以看出采用新提出的方法求出的數值結果與解析解的誤差比采用Crank-Nicolson法的誤差小，與修正局部Crank-Nicolson法的誤差很近似.由表1，表2還可以看出隨著網格比的減小，數值解越逼近解析解.

4 結論

本文在Crank-Nicolson算法的基礎上,將所研究的偏微分方程轉化為常微分方程組，利用指數函數的Trotter積分公式近似該常微分方程組的系數矩陣分離成分塊小矩陣，再利用Crank-Nicolson算法求得結果，從而推出了拋物型方程的一種新的差分格式.進行了相應的理論分析和數值試驗.該方法具有計算量少，無條件穩定的優點，通過數值試驗驗證了采用本文提出的一個元素的分裂算法的可行性，由此對復雜的數學物理方程出現的一階，二階甚至更高階的微分項無法用中心差商代替，如果用其他差商代替,那么已有的分裂形式就不再適合，本文采用的分裂方式就給對復雜的數學物理方程采用修正局部Crank-Nicolson法提供了可能.