例談幾何定理探究的教學策略

潘云超

摘 要：幾何定理是初中數學的主要知識領域，有效的教學策略關乎學生數學素養的養成，幾何定理探究活動一般經歷以下幾個步驟：分析知識之間的結構關系，呈現探究內容；分析學生的探究起點，規劃探究方案；重視歸納，提煉數學思想方法；總結幾何探究方法和步驟，形成基本活動經驗.

關鍵詞：幾何定理；探究；教學策略

《義務教育數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學學習活動.”幾何定理是分析、推理、判斷的重要依據，是進行邏輯推理的基礎，是初中數學學習的重要內容.本文以人教版課標教材八年級下冊“17.2勾股定理的逆定理”為教學案例，探討幾何定理探究的教學策略.

一、教學案例

活動1：回顧知識，提供認知框架

問題1：在等腰三角形這一章，我們研究了哪些內容，是怎樣研究的？

生回顧等腰三角形的定義、性質、判定.

【設計意圖】通過問題激活原有認知結構中的知識，為新知學習奠定基礎.

問題2：等腰三角形的判定定理與性質定理有什么關系？

生討論得出性質的逆命題有可能作為判定方法.

【設計意圖】深挖幾何定理之間的內在聯系，判定定理可以從性質定理的逆命題出發.

問題3：在直角三角形這一章，我們已經學習了哪些內容，接下來該學習什么內容，應該怎么學習？

呈現探究內容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命題是否成立.

師生一起完成知識結構導圖，同時指出：這也是幾何研究的一般步驟和方法：下定義—研究性質—探索判定條件，以及探索判定條件的一種方法是性質的逆命題.

【設計意圖】新知與舊知從內容、形式或研究方法上都有類似性，所以，通過問題提供認知框架；重視學習方法的指導，幫助學生理解性質和判定之間的關系，幫助學生對數學學習內容有整體的理解；通過分析知識之間的結構關系，呈現一個有意義、有挑戰性的探究內容.

活動2：探究定理，體驗過程

問題4：寫出勾股定理和它的逆命題.

命題1：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2+b2=c2.

命題2：如果三角形的三邊長為a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

命題2證明有困難，學生提出先研究特殊情況，以3，4，5為邊的三角形是直角三角形嗎？

師肯定學生的想法，指出“從特殊到一般”是研究數學的一般方法.

【設計意圖】碰到問題，解決問題，幫助學生養成良好的數學品質，體會“從特殊到一般”是研究數學的一般方法.

問題5：動手操作，實驗觀察。

畫出三邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考這是直角三角形嗎？為什么？

生通過觀察、測量，猜想這是直角三角形，但是證明有困難.師引導發現所畫的三角形都是全等的，生立刻提取原有知識體系“三邊確定的三角形的形狀是唯一的”即（SSS）.則只要構造一個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可.

【設計意圖】在這過程中學生體會：觀察—實驗—猜想—證明是探究學習的基本過程.

問題6：你能證明以5，12，13為邊的三角形是直角三角形嗎？

【設計意圖】“從特殊到一般”是一個反復認識的過程，通過對某些個體的研究逐步積累對這類事物的了解，再逐步形成對這類事物的總體認識，符合學生的認知規律.

問題7：通過上述兩個問題，可以證明命題2了嗎？

【設計意圖】從特殊到一般，形成一般性的規律.

問題8：整個探究活動，我們經歷了怎樣的過程？

【設計意圖】引導反思，形成幾何探究的基本框架.

問題9：比較勾股定理與勾股定理的逆定理，你發現了什么？

【設計意圖】數學概念的完整性和數學模型的普遍性是數學探索的主要內容.幫助學生養成反思的良好習慣.

活動3：例題講解

活動4：梳理歸納

活動5：課堂延續，拓展探究

探究銳角三角形和鈍角三角形的兩條較短邊的平方和與最長邊的平方的關系.

二、反思幾何定理教學的一般策略

1.分析知識之間的結構關系，呈現探究內容

奧蘇伯爾提出：在呈現具體內容之前，先呈現一些密切相關、包容范圍廣但又容易使人理解和記憶的引導性材料——先行組織者.其作用是：搭建研究框架，引導思維方向，增強思維的邏輯性、條理性.具體地說，先行組織者能激活認知結構中已具備的相關概念，使學生認識到它們之間的聯系；它能為將要學習的材料提供一個框架或線索，起到了“導游圖”的作用，能使學生對學習進程心中有數，幫助學生建立有意義學習的心向，有助于學生掌握研究問題的方法.

活動：通過先行組織者構成前后一致、邏輯連貫的幾何學習過程.在后續的學習中，就可以運用類比的方法開展學習，為學生的學習提供了認知框架.

2.分析學生的探究起點，規劃探究方案

有效率的活動建立在合理的規劃前提下，在幾何探究中，探究方案規劃主要包括探究什么（明確研究對象，提出研究問題）和怎樣探究（確定探究的大致方向、探究步驟和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的內容：勾股定理的逆命題是否成立？

（2）探究的步驟：先研究特殊的情況，再研究一般情況.

（3）探究的方法：觀察、猜想、求證，類比探究，一般到特殊再到一般.

3.重視歸納，提煉數學思想方法

圖形變化、數形結合、特殊化與一般化、分類、化歸、類比等構成了幾何探究的基本思想方法.數學思想能提高教學效率，提高學生數學素養.形成數學思想并能進行知識方法的有效遷移需要經過以下步驟：（1）過程體驗；（2）反思提煉；（3）復習內化.例如，對“從特殊到一般”的教學，問題5、問題6、問題7體驗從特殊到一般的過程，問題8提煉思想，使之明朗化，活動4復習內化，總結提升.

4.總結幾何探究方法和步驟，形成基本活動經驗

數學知識、思想方法和解決問題的策略、步驟的概括，使之明朗化，是反思總結的核心任務.教師在平時的教學中，不斷引導、反思、總結，才能達到自覺運用階段，例如，活動5，教師反復滲透，學生逐步形成用數學思想方法指導思維活動的能力.

學生思維的參與度，是幾何探究活動教學效率評價的重要依據.沒有思考的探究，不是真正的探究；要實現真正有意義的探究學習，教師要提出好的探究問題，給學生探究的時間，讓學生獨立思考，自主獨立地探索、發現、分析和解決問題，通過探究發展學生的創造性思維.

參考文獻：

吳增生.讓幾何探究活動更好地促進學生的認知發展：初中幾何探究活動的教學策略初探[J].中國數學教育：初中版，2011（12）：3-6.

摘 要：幾何定理是初中數學的主要知識領域，有效的教學策略關乎學生數學素養的養成，幾何定理探究活動一般經歷以下幾個步驟：分析知識之間的結構關系，呈現探究內容；分析學生的探究起點，規劃探究方案；重視歸納，提煉數學思想方法；總結幾何探究方法和步驟，形成基本活動經驗.

關鍵詞：幾何定理；探究；教學策略

《義務教育數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學學習活動.”幾何定理是分析、推理、判斷的重要依據，是進行邏輯推理的基礎，是初中數學學習的重要內容.本文以人教版課標教材八年級下冊“17.2勾股定理的逆定理”為教學案例，探討幾何定理探究的教學策略.

一、教學案例

活動1：回顧知識，提供認知框架

問題1：在等腰三角形這一章，我們研究了哪些內容，是怎樣研究的？

生回顧等腰三角形的定義、性質、判定.

【設計意圖】通過問題激活原有認知結構中的知識，為新知學習奠定基礎.

問題2：等腰三角形的判定定理與性質定理有什么關系？

生討論得出性質的逆命題有可能作為判定方法.

【設計意圖】深挖幾何定理之間的內在聯系，判定定理可以從性質定理的逆命題出發.

問題3：在直角三角形這一章，我們已經學習了哪些內容，接下來該學習什么內容，應該怎么學習？

呈現探究內容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命題是否成立.

師生一起完成知識結構導圖，同時指出：這也是幾何研究的一般步驟和方法：下定義—研究性質—探索判定條件，以及探索判定條件的一種方法是性質的逆命題.

【設計意圖】新知與舊知從內容、形式或研究方法上都有類似性，所以，通過問題提供認知框架；重視學習方法的指導，幫助學生理解性質和判定之間的關系，幫助學生對數學學習內容有整體的理解；通過分析知識之間的結構關系，呈現一個有意義、有挑戰性的探究內容.

活動2：探究定理，體驗過程

問題4：寫出勾股定理和它的逆命題.

命題1：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2+b2=c2.

命題2：如果三角形的三邊長為a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

命題2證明有困難，學生提出先研究特殊情況，以3，4，5為邊的三角形是直角三角形嗎？

師肯定學生的想法，指出“從特殊到一般”是研究數學的一般方法.

【設計意圖】碰到問題，解決問題，幫助學生養成良好的數學品質，體會“從特殊到一般”是研究數學的一般方法.

問題5：動手操作，實驗觀察。

畫出三邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考這是直角三角形嗎？為什么？

生通過觀察、測量，猜想這是直角三角形，但是證明有困難.師引導發現所畫的三角形都是全等的，生立刻提取原有知識體系“三邊確定的三角形的形狀是唯一的”即（SSS）.則只要構造一個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可.

【設計意圖】在這過程中學生體會：觀察—實驗—猜想—證明是探究學習的基本過程.

問題6：你能證明以5，12，13為邊的三角形是直角三角形嗎？

【設計意圖】“從特殊到一般”是一個反復認識的過程，通過對某些個體的研究逐步積累對這類事物的了解，再逐步形成對這類事物的總體認識，符合學生的認知規律.

問題7：通過上述兩個問題，可以證明命題2了嗎？

【設計意圖】從特殊到一般，形成一般性的規律.

問題8：整個探究活動，我們經歷了怎樣的過程？

【設計意圖】引導反思，形成幾何探究的基本框架.

問題9：比較勾股定理與勾股定理的逆定理，你發現了什么？

【設計意圖】數學概念的完整性和數學模型的普遍性是數學探索的主要內容.幫助學生養成反思的良好習慣.

活動3：例題講解

活動4：梳理歸納

活動5：課堂延續，拓展探究

探究銳角三角形和鈍角三角形的兩條較短邊的平方和與最長邊的平方的關系.

二、反思幾何定理教學的一般策略

1.分析知識之間的結構關系，呈現探究內容

奧蘇伯爾提出：在呈現具體內容之前，先呈現一些密切相關、包容范圍廣但又容易使人理解和記憶的引導性材料——先行組織者.其作用是：搭建研究框架，引導思維方向，增強思維的邏輯性、條理性.具體地說，先行組織者能激活認知結構中已具備的相關概念，使學生認識到它們之間的聯系；它能為將要學習的材料提供一個框架或線索，起到了“導游圖”的作用，能使學生對學習進程心中有數，幫助學生建立有意義學習的心向，有助于學生掌握研究問題的方法.

活動：通過先行組織者構成前后一致、邏輯連貫的幾何學習過程.在后續的學習中，就可以運用類比的方法開展學習，為學生的學習提供了認知框架.

2.分析學生的探究起點，規劃探究方案

有效率的活動建立在合理的規劃前提下，在幾何探究中，探究方案規劃主要包括探究什么（明確研究對象，提出研究問題）和怎樣探究（確定探究的大致方向、探究步驟和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的內容：勾股定理的逆命題是否成立？

（2）探究的步驟：先研究特殊的情況，再研究一般情況.

（3）探究的方法：觀察、猜想、求證，類比探究，一般到特殊再到一般.

3.重視歸納，提煉數學思想方法

圖形變化、數形結合、特殊化與一般化、分類、化歸、類比等構成了幾何探究的基本思想方法.數學思想能提高教學效率，提高學生數學素養.形成數學思想并能進行知識方法的有效遷移需要經過以下步驟：（1）過程體驗；（2）反思提煉；（3）復習內化.例如，對“從特殊到一般”的教學，問題5、問題6、問題7體驗從特殊到一般的過程，問題8提煉思想，使之明朗化，活動4復習內化，總結提升.

4.總結幾何探究方法和步驟，形成基本活動經驗

數學知識、思想方法和解決問題的策略、步驟的概括，使之明朗化，是反思總結的核心任務.教師在平時的教學中，不斷引導、反思、總結，才能達到自覺運用階段，例如，活動5，教師反復滲透，學生逐步形成用數學思想方法指導思維活動的能力.

學生思維的參與度，是幾何探究活動教學效率評價的重要依據.沒有思考的探究，不是真正的探究；要實現真正有意義的探究學習，教師要提出好的探究問題，給學生探究的時間，讓學生獨立思考，自主獨立地探索、發現、分析和解決問題，通過探究發展學生的創造性思維.

參考文獻：

吳增生.讓幾何探究活動更好地促進學生的認知發展：初中幾何探究活動的教學策略初探[J].中國數學教育：初中版，2011（12）：3-6.

摘 要：幾何定理是初中數學的主要知識領域，有效的教學策略關乎學生數學素養的養成，幾何定理探究活動一般經歷以下幾個步驟：分析知識之間的結構關系，呈現探究內容；分析學生的探究起點，規劃探究方案；重視歸納，提煉數學思想方法；總結幾何探究方法和步驟，形成基本活動經驗.

關鍵詞：幾何定理；探究；教學策略

《義務教育數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學學習活動.”幾何定理是分析、推理、判斷的重要依據，是進行邏輯推理的基礎，是初中數學學習的重要內容.本文以人教版課標教材八年級下冊“17.2勾股定理的逆定理”為教學案例，探討幾何定理探究的教學策略.

一、教學案例

活動1：回顧知識，提供認知框架

問題1：在等腰三角形這一章，我們研究了哪些內容，是怎樣研究的？

生回顧等腰三角形的定義、性質、判定.

【設計意圖】通過問題激活原有認知結構中的知識，為新知學習奠定基礎.

問題2：等腰三角形的判定定理與性質定理有什么關系？

生討論得出性質的逆命題有可能作為判定方法.

【設計意圖】深挖幾何定理之間的內在聯系，判定定理可以從性質定理的逆命題出發.

問題3：在直角三角形這一章，我們已經學習了哪些內容，接下來該學習什么內容，應該怎么學習？

呈現探究內容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命題是否成立.

師生一起完成知識結構導圖，同時指出：這也是幾何研究的一般步驟和方法：下定義—研究性質—探索判定條件，以及探索判定條件的一種方法是性質的逆命題.

【設計意圖】新知與舊知從內容、形式或研究方法上都有類似性，所以，通過問題提供認知框架；重視學習方法的指導，幫助學生理解性質和判定之間的關系，幫助學生對數學學習內容有整體的理解；通過分析知識之間的結構關系，呈現一個有意義、有挑戰性的探究內容.

活動2：探究定理，體驗過程

問題4：寫出勾股定理和它的逆命題.

命題1：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2+b2=c2.

命題2：如果三角形的三邊長為a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

命題2證明有困難，學生提出先研究特殊情況，以3，4，5為邊的三角形是直角三角形嗎？

師肯定學生的想法，指出“從特殊到一般”是研究數學的一般方法.

【設計意圖】碰到問題，解決問題，幫助學生養成良好的數學品質，體會“從特殊到一般”是研究數學的一般方法.

問題5：動手操作，實驗觀察。

畫出三邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考這是直角三角形嗎？為什么？

生通過觀察、測量，猜想這是直角三角形，但是證明有困難.師引導發現所畫的三角形都是全等的，生立刻提取原有知識體系“三邊確定的三角形的形狀是唯一的”即（SSS）.則只要構造一個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可.

【設計意圖】在這過程中學生體會：觀察—實驗—猜想—證明是探究學習的基本過程.

問題6：你能證明以5，12，13為邊的三角形是直角三角形嗎？

【設計意圖】“從特殊到一般”是一個反復認識的過程，通過對某些個體的研究逐步積累對這類事物的了解，再逐步形成對這類事物的總體認識，符合學生的認知規律.

問題7：通過上述兩個問題，可以證明命題2了嗎？

【設計意圖】從特殊到一般，形成一般性的規律.

問題8：整個探究活動，我們經歷了怎樣的過程？

【設計意圖】引導反思，形成幾何探究的基本框架.

問題9：比較勾股定理與勾股定理的逆定理，你發現了什么？

【設計意圖】數學概念的完整性和數學模型的普遍性是數學探索的主要內容.幫助學生養成反思的良好習慣.

活動3：例題講解

活動4：梳理歸納

活動5：課堂延續，拓展探究

探究銳角三角形和鈍角三角形的兩條較短邊的平方和與最長邊的平方的關系.

二、反思幾何定理教學的一般策略

1.分析知識之間的結構關系，呈現探究內容

奧蘇伯爾提出：在呈現具體內容之前，先呈現一些密切相關、包容范圍廣但又容易使人理解和記憶的引導性材料——先行組織者.其作用是：搭建研究框架，引導思維方向，增強思維的邏輯性、條理性.具體地說，先行組織者能激活認知結構中已具備的相關概念，使學生認識到它們之間的聯系；它能為將要學習的材料提供一個框架或線索，起到了“導游圖”的作用，能使學生對學習進程心中有數，幫助學生建立有意義學習的心向，有助于學生掌握研究問題的方法.

活動：通過先行組織者構成前后一致、邏輯連貫的幾何學習過程.在后續的學習中，就可以運用類比的方法開展學習，為學生的學習提供了認知框架.

2.分析學生的探究起點，規劃探究方案

有效率的活動建立在合理的規劃前提下，在幾何探究中，探究方案規劃主要包括探究什么（明確研究對象，提出研究問題）和怎樣探究（確定探究的大致方向、探究步驟和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的內容：勾股定理的逆命題是否成立？

（2）探究的步驟：先研究特殊的情況，再研究一般情況.

（3）探究的方法：觀察、猜想、求證，類比探究，一般到特殊再到一般.

3.重視歸納，提煉數學思想方法

圖形變化、數形結合、特殊化與一般化、分類、化歸、類比等構成了幾何探究的基本思想方法.數學思想能提高教學效率，提高學生數學素養.形成數學思想并能進行知識方法的有效遷移需要經過以下步驟：（1）過程體驗；（2）反思提煉；（3）復習內化.例如，對“從特殊到一般”的教學，問題5、問題6、問題7體驗從特殊到一般的過程，問題8提煉思想，使之明朗化，活動4復習內化，總結提升.

4.總結幾何探究方法和步驟，形成基本活動經驗

數學知識、思想方法和解決問題的策略、步驟的概括，使之明朗化，是反思總結的核心任務.教師在平時的教學中，不斷引導、反思、總結，才能達到自覺運用階段，例如，活動5，教師反復滲透，學生逐步形成用數學思想方法指導思維活動的能力.

學生思維的參與度，是幾何探究活動教學效率評價的重要依據.沒有思考的探究，不是真正的探究；要實現真正有意義的探究學習，教師要提出好的探究問題，給學生探究的時間，讓學生獨立思考，自主獨立地探索、發現、分析和解決問題，通過探究發展學生的創造性思維.

參考文獻：

吳增生.讓幾何探究活動更好地促進學生的認知發展：初中幾何探究活動的教學策略初探[J].中國數學教育：初中版，2011（12）：3-6.