基于高中數學問題解決認知模式的數學錯題分析

黃永權

摘 要：運用數學問題解決的認知結構理論對數學錯題進行分析并得出了相關結論，提出了對高中數學教師教學方法的建議。

關鍵詞：數學；錯題；教學

一、問題解決的認知模式概述

問題解決的認知模式是從人的認知層面去探索解決問題的本質。該研究已經取得了很大的成果，在世界上比較有代表性的理論有：（1）奧蘇伯爾和魯賓遜問題解決模式：呈現問題情境命題—明確問題的目標和已知條件—填補空隙—解題后的檢驗。（2）格拉斯的問題解決模式：形成初始表征—制訂解決計劃—重構表征—執行計劃或檢驗結果。（3）基克等人提出的問題解決四個階段：理解與表征問題—尋求解答—嘗試應答—評價。國內很多學者亦對此問題進行了理論研究與探索，如胥興春、劉電芝將問題解決的過程動態劃分為四個環節：信息感知—情景表征—尋求解題方案—數學運算。在上述相關理論的指導下，我們以高中的數學問題尤其是錯題為材料，調查了中學生在解決數學問題過程中的認知模式問題。

二、我們對錯題調查的研究及結果分析

我們在研究中，以高二數學題錯題作為實驗材料，并且在研究中發放了調查問卷150份，收回148份，剔除6份無效調查問卷后，有效調查問卷為142份。在調查問卷結束后，我們又運用了個案的訪談法對單個學生的解題思路進行了更加明確的掌握。

綜合學生錯題、調查問卷以及對學生的訪談，根據學生解決問題進程中表征層次的不同和策略選取的差異，我們分析出了三種存在于學生中的解決問題的認知模式：（1）盲目式模式，指解題學生對問題解決所應當運用的基礎知識掌握不全面、不系統，導致解題思路不清晰，往往在多步之間來回搖擺、捉摸不定，找不到正確的解題步驟與策略，從而導致失敗。（2）產生式模式，這種方式指的是，在解題過程中學生多使用分析遞歸策略或探索策略來解答問題，但由于題目的復雜性，這種表征過程往往不會一次有效，解決問題的學生需要不斷地提取問題中的有效信息，并運用自身的相關知識經驗完成對問題的表征。因此，表征過程往往是循序漸進、層層遞進式。（3）范疇式模式，這種模式是指問題表征進程是分布式或跳躍式的。解決問題的學生能夠快速、有效地整合提取題目的關鍵信息，進而產生頓悟和啟發，并靈活地運用自己掌握的知識解決問題，這種表征過程從初始狀態到目標狀態之間完全沒有循環往復的過程。這種表征依賴于陳述性知識的結構化程度高，稱為范疇式認知模式。

三、對調查結果的分析

1.問題解決認知模式分布不均。為了比較不同的認知模式在學生中的適用情況，我們將全部調查對象使用的認知模式做了統計分析。結果顯示，僅有極少部分學生能使用范疇式認知模式解題，大部分學生采用的是產生式的解題模式，更有極少數的學生是采用盲目式的解題方式。造成這種現象的原因是什么呢？主要是因為認知模式是受主體的知識背景、思維水平及方式和認知結構中掌握的問題模板等多方面影響。大多數學生采用產生式認知模式解決問題，首先說明了大多數學生在解題過程中往往喜歡按部就班、穩妥地解決問題，多采用常規的思維方式，循序漸進，實質上，其思維方式是根據所求一步一步進行逆推，解題步驟表現為“要解決問題，需要具備什么條件”的模式或“要求……需求……”的模式，因此運用的是和線性的循序漸進式的信息表征方式或分析遞歸策略。其次，說明了大多數學生腦海中儲存的數學解題圖式模板較少。因為學生掌握的模板深刻地影響著學生問題表征的方式與水平，進而影響策略的選擇和運用。這種解題圖式模板主要包括學生已經掌握的與將解決題目相關的知識基礎、解題經驗與解題策略。學生原有解決問題的策略會影響到新問題的表征。在教學過程中，大部分教師沒有養成一個抽象概括典型例題的教學習慣與方式，僅僅采用常規的方式教授學生。久而久之，只有那種概括分析能力強、思維水平高、善于把握知識原理的學生才能靈活地運用范疇式的認知模式解決問題。而大部分學生受教師傳統教授思維方式的影響，僅能按部就班地使用產生式認知模式解決問題。更有極少數不認真學習或領悟能力比較差的學生由于對基本概念與原理掌握不夠扎實，導致僅能使用盲目式的認知模式解題。

2.解題成績與認知模式顯著相關。認知模式與解題成績等級呈顯著相關。采用范疇式認知模式解題的學生因為他們腦海中已經形成了良好的認知結構，并掌握了扎實穩定的知識結構，對問題的有效信息能夠快速靈活地進行整合與組織，因此表征一般快速而且科學，其次，因為這部分學生掌握的問題圖式模板亦比較豐富，所以他們在解題過程中可以很快地進行模式匹配解決問題，所以錯題較少，成績較好。相反，如果學生對所學的知識掌握不夠全面，沒有形成自己穩定的知識結構和豐富的知識內容并且對問題圖式模板掌握比較少，他不能有效地提取問題信息，不能將問題中的信息與自身所學有效的結合，從而表現出表征的混亂，導致解題策略的盲目選擇，解題過程的來回反復，以至于無法順利地解決問題。

四、本研究對高中數學教師教學的啟發

1.加強數學概念和原理的教學。首先，概念和原理是學生解題的基礎，正所謂“萬變不離其宗”。其次，概念和原理的掌握程度深刻地影響著學生認知結構的建構，從而影響學生問題表征的進度和深度。因此，高中數學教師在教學過程中應注意學生基礎的夯實，加強其基本概念和原理的教育。

2.注重審題方式的教學。當前，很多學生在解題過程中不知如何審題，不能識別和提取題目中的關鍵信息，不能把問題上升到理論和原理的層面，導致解題錯誤。所以，高中數學教師教學中一定要注意教學生如何審題，如何整合提取題目中的關鍵信息，如何運用原理進行解答。

3.正確處理三類學生數學水平的差異。三類學生之所以在問題表征、模式識別都存在差異性，很大一部分的原因在于其掌握的數學知識的程度，因此教師需要因材施教。首先，教師需要幫助學生適時地復習鞏固已學過的數學知識，同時恰當地引入課外知識，擴展數學知識背景，使學生開闊眼界。其次，要適時逐步地提升中等生作業題目的難度和靈活性。中等生對基礎知識的掌握是準確的，但他們的思維水平不如優生深刻、靈活，知識網絡不如優生完整。因此，通過適時地提升作業題目的靈活性，可以使他們在解決問題的過程中，不斷提升對某些知識、方法的理解，促進知識網絡的優化。第三，幫助后進生準確地理解基本概念、基本原理，增強對某些固定解題方法的應用練習。采用盲目式認知模式的學生對基本概念、基本原理的理解不夠深刻，從而導致他們在長時記憶中的知識網絡過于簡單、模式質量存在不足，從而不能準確、順利地進行問題表征和模式識別。所以教師應該幫助后進生準確地理解基本概念、基本原理，加強對某些解題方法的練習，不斷地縮小與中等生的差距。

這篇文章運用心理學等相關知識，結合自身的調查研究，通過對高中數學問題解決認知模式的分析，提出了自己對高中數學教育方法的幾點思考，希望能對高中數學教師產生一些啟發。

參考文獻：

[1]喻平.數學教育心理學[M].南寧：廣西教育出版社，2004-01.

[2]廖運章.數學應用問題解決心理機制的調查與認知分析.數學教育學報，2001（1）.

[3]梁寧建.當代認知心理學[M].上海：上海教育出版社，2003-01.

[4]鄧鑄.知識豐富領域問題表征與解決策略[J].寧波大學學報：教育科學版，2002（1）.endprint