基于最小二乘法的執行器系統機械屬性評價

張業明

(河南理工大學 機械與動力工程學院，焦作454000)

蔡茂林

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

產品的機械屬性除了滿足基本的技術要求外，還應包括可靠性、維修性、安全性、適用性等指標，這導致了產品機械屬性評價的過程既復雜又困難.氣動執行器和電動執行器系統作為典型的機電系統，其機械屬性評價可以看作一個多目標(多屬性)綜合評價問題，其評價結果取決于兩種執行器的機械屬性評價體系，即評價方法、評價矩陣和權重.確定權重的方法有:主觀賦權法、客觀賦權法和主客觀兼顧綜合賦權法[1].

目前，有關機電產品的質量方面的研究不斷增多，各種形式的評價方法很多，常見的有信息熵法、模糊綜合評價法、層次分析法(AHP，Analytic Hierarchy Process)、灰色關聯分析法、加權平均法、模糊物元分析法等[2－5].針對氣動和電動執行器系統的評價，這些方法都有一定的適用范圍.信息熵法是一種基于信息論的方法，對于解決隨機事件和信號所含信息量大小的評價非常有效，它減少了評估中專家主觀偏好和專業傾向的干擾，彌補了傳統方法的不足[6].模糊綜合評價法對于多因素、多層次的系統評估效果很好，其數學模型建立較難.AHP可以對兼有定性與定量因素的系統問題進行簡單評判，也可以利用AHP確定屬性指標的權重.由于定性因素的影響，AHP具有較大隨機性.加權平均法容易丟掉關鍵信息.模糊物元分析法更適合解決不相容特性的問題[7].

本文針對兩種執行器系統機械屬性的特點和評價方法存在的問題，建立了兩種執行器系統的機械屬性評價體系，提出了一種基于最小二乘法的組合權重機械屬性評價算法，然后根據信息熵和AHP的理論計算相應的屬性權重，接著基于最小二乘法計算兩種評價模型組合權重，最終得到兩種執行器系統的機械屬性綜合評價結果.

1 執行器系統的機械屬性評價體系

1.1 評價因素獲取

由于氣動和電動執行器都不能夠單獨使用，必須建立氣動執行器系統和電動執行器系統，它們才能夠正常工作.執行器系統大致可以分為能源輸送轉換部件和執行器兩部分，能源輸送轉換部件為執行器提供運動能源.比如氣動執行器系統，通過壓縮機、空氣冷卻凈化裝置和輸送管網等獲得干凈清潔的壓縮空氣，執行器依靠壓縮空氣的傳送能獲取運動能源.另外，在實際工作中，執行器系統的機械屬性主要取決于執行器本身的機械構造、工作行程、控制精度等特性.因此，為了簡化執行器系統的機械屬性評價，將執行器本身的機械屬性作為主要評價因素，在考慮運行功率、能量消耗和可靠性等因素時結合執行器系統的實際運行狀況綜合分析[8]，排除系統的能源輸送轉換部件對系統評價的影響.

兩種執行器系統的機械屬性評價因素主要從如下3方面獲取:①通過查閱產品技術手冊，獲取技術參數;②以執行器系統的實際運行數據作為依據，從中獲取實際運行功耗、控制特性等數據;③結合一些現場應用的經驗數據和流體知識，掌握執行器系統的可靠性和維護性等信息.

兩種執行器系統有很多機械屬性，如質量、體積、運行功率、功率密度、使用便利性、負載能力、定位精度、可靠性等.根據工業現場氣動和電動執行器系統的應用領域和使用規模，選取兩種最常用的執行器規格為研究對象，如表1所示.

表1 兩種執行器系統的評價因素

兩種執行器系統在下列工況下運行:水平搬運重物5 kg，垂直搬運重物2 kg，搬運距離30 mm，每分鐘作動次數5次.執行器系統評價數據從產品樣本手冊和執行器系統能耗實驗數據獲得[8].

1.2 評價體系建立

根據兩種執行器系統的機械屬性評價因素，構建系統的多目標決策層次結構，如圖1所示.

圖1 系統機械屬性多目標決策層次結構

兩種執行器系統的機械屬性評價因素可以寫成矩陣的形式.假設具有m項評價指標和n個評價對象的標準化的矩陣C=(cij)n×m.

式中，n為評價對象數量;m為評價因素數量;cij為Ci中第j個評價因素的數值.

執行器系統組合權重機械屬性評價體系如圖2所示.首先建立評價對象集，采用合適的綜合評價方法進行處理.結合兩種執行器系統的現場應用情況，利用信息熵的方法可以直接從這些機械屬性中得到執行器系統的方案排序，但是不包含專家或工程師的經驗數據和偏好.而采用基于AHP的評價方法則可以將專家或工程師的經驗數據和偏好納入其中，對整個執行器系統的機械屬性評價也是有利的.因此，提出了一種基于最小二乘法的信息熵和AHP組合權重機械屬性評價.在執行器系統的機械屬性評價中，屬性權重確定是其機械屬性評價的核心內容.

圖2 執行器系統組合權重機械屬性評價體系

2 機械屬性評價權重確定

2.1 信息熵的屬性權重確定

假設 x是一個隨機變量，{x1，x2，…，xn}是其可能的取值集合(連續型數據需要進行離散化)，P(xi)是取xi值的概率，則信息熵為

式中，a為對數的底，若以2為底，H(xi)的單位稱為比特(bit);而當取10或e為底時，相應的單位稱為迪西特(decit)與奈特(nat)[9].

系統機械屬性信息熵權重確定步驟如下.

1)評價指標的數據處理.

執行器系統機械屬性評價指標的數據處理可分為定量化、規范化和歸一化3步.定量化就是把定性的指標轉化為定量指標.將不同量綱的指標，通過適當的變換，化為無量綱的標準化指標，這就是屬性指標的規范化[10].定量化和規范化后得到規范化矩陣R，接著進行歸一化，即矩陣R中的每一個元素的新值為該元素的原值除以所在列的總和.矩陣R歸一化后得到:

2)計算評價因素輸出的信息熵Ej.

3)計算屬性權重ωa.

2.2 AHP的屬性權重確定

AHP是一種層次權重決策分析方法.它將決策問題按總目標、各層子目標、評價準則直至備選方案的順序分解為不同的層次結構，然后用求解判定矩陣特征向量的方法，求得每一層次的各元素對上一層次某元素的優選權重，最后再利用加權和的方法，遞階歸并各備選方案對總目標的最終權重，最終權重最大者即為最優方案[12].

AHP屬性權重向量確定步驟如圖3所示，具體的公式推導過程見文獻[12].

由AHP理論，計算屬性權重ωb:

2.3 最小二乘法的組合屬性權重確定

信息熵很少關注產品使用者的應用實踐經驗，AHP存在決策者主觀認定的數值或相對重要性的不準確值當作準確值處理的問題[13].因此，將兩種評價方法相結合，運用最小二乘法進行主客觀的組合權重綜合評價.

圖3 AHP屬性權重向量確定步驟

最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配.利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小[14].

設主客觀優化組合權重為ω，則

對于所有評價對象的所有指標，主客觀組合權重的評價值偏差應當越小越好[15]，由此建立最小二乘法優化組合評價模型.設x，y分別為ωa和ωb的倍乘系數，且 x+y=2，則

構建拉格朗日極值函數得

由偏導公式得

式(12)運用矩陣表示為

式中，A為對角陣;e，ω，B為向量.

求解方程(13)，得組合權重:

2.4 綜合評價值

設各評價對象的組合權重機械屬性綜合評價值為S，第i個評價對象的評價值為s(i):

3 實例分析

以工業現場的氣動和電動執行器系統為例，兩種執行器系統的主要機械屬性如表1所示.根據式(3)～式(6)，計算信息熵評價權重ωa.

通過兩種執行器系統的機械屬性分析，結合專家的經驗和知識，應用AHP確定評價因素層的一致性判定矩陣D，計算AHP評價權重ωb.

假定信息熵和AHP的權重結果的可信度都是50%，即x=y=1.利用基于最小二乘法的信息熵和AHP組合權重計算方法，計算執行器系統的組合權重ω和基于組合權重的執行器系統綜合評價值S.

針對表1中的運行情況，由于組合權重綜合評價結果:0.74 ＞0.58，因此，CDJ2B10-30A 的氣動執行器系統比RCS2-RA4C-A-20-6-50-T2-S的電動執行器系統的機械屬性好.

4 3種機械屬性評價方法對比

采用信息熵、層次分析-模糊綜合評價(AHPFCE，Analytic Hierarchy Process-Fuzzy Comprehensive Evaluation)和最小二乘法組合權重3種機械屬性評價方法對氣動和電動執行器系統進行評價，結果如表2所示.

表2 3種評價方法的執行器系統評價結果

通過3種機械屬性評價方法對氣動和電動執行器系統進行綜合評價，得出在該特定工況下，氣動執行器系統的方案優于電動執行器系統.其中，最小二乘法組合權重評價結果的標準偏差最小，這是由最小二乘法的數學基礎決定的.

5 結論

本文作者前期進行了信息熵和AHP-FCE兩種評價方法的研究.在總結前期研究成果的基礎上，提出了基于最小二乘法的信息熵和AHP的組合權重評價方法.該方法首先計算出氣動與電動兩種執行器系統的機械屬性組合權重，然后求出兩種執行器系統的綜合評價值，結果表明在特定工況下氣動執行器系統比電動執行器系統優越.將信息熵、AHP-FCE和最小二乘法組合權重3種機械屬性評價方法進行對比，結果表明最小二乘法組合權重的結果標準偏差最小.該方法為今后執行器系統的生命周期綜合評價提供了一定理論基礎，對其他相似機電系統的綜合評價也具有一定的參考價值.

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