葉盤耦合共振條件中激勵階次的確定

乞 征 王建軍

(北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京100191)

葉盤結構是航空發動機等旋轉機械最重要的結構形式之一.隨著航空發動機設計中對高推重比的日益追求，輪盤的厚度越來越薄，致使輪盤與葉片的剛度接近，葉盤耦合振動問題就變得十分突出[1].葉盤耦合振動問題中葉盤耦合共振條件的確定對于預防和抑制葉盤共振、避免共振災害具有重要作用.葉盤耦合振動的共振條件為:①激振力頻率等于葉盤固有頻率;②激勵階次等于葉盤節徑數[2].其中對于轉靜件干涉條件下葉盤所受激振力頻率和激勵階次的確定，國內外學者做了大量的研究工作并取得了重要的研究成果.

晏礪堂等[3]認為轉靜件干涉條件下，葉盤所受激勵階次應等于前排靜葉數目，所受激振力頻率應等于所受激勵階次與轉子轉速的乘積[1－2].據此王延榮、張大義等[4－5]考慮到葉盤節徑數最多為轉子葉片數(即動葉)的一半，認為靜葉數多于轉子葉片數的一半時，便不會引起葉盤耦合共振.姚建堯[6]指出激勵階次應等于靜葉數目與任意整數倍動葉數目的和，大多數情況下此任意整數為零或者較小負整數.辛健強和Li等[7－8]指出轉靜件干涉下轉子受到的激振力頻率應等于靜葉數目與轉子轉速的乘積.Tyler和 Yves等[9－10]認為激勵階次應等于任意整數倍靜葉數目與任意整數倍的動葉數目的和.

從上述研究可以看出，對于轉靜件干涉條件下葉盤所受激振力頻率和激勵階次的確定，學者們的判定原則很不一致.因此本文通過對典型轉子葉盤結構在多種靜葉數目影響下所受激勵特性的分析，證實了辛健強等提出的激振力頻率公式的合理性;提出了一種全新的激勵階次的確定公式，并對其進行了數值與實驗驗證.

1 激勵階次的確定

文獻[11]研究認為，轉靜件干涉條件下，可以假設轉子的某個動葉旋轉過靜子的兩個靜葉間所受激勵形式為正弦曲線的一個周期，那么此動葉旋轉一圈受到的周期激勵次數將等于靜葉數目，于是轉子葉片所受激振力頻率fe應等于轉子轉速與靜葉數目的乘積，即

其中，Ns為靜葉數;Ω為轉子轉速，這就證明了辛健強等提出的激振力頻率確定公式的合理性.

依據文獻[11]上述假設，以葉盤實驗件(圖1)為例，假設其前排有8個靜葉均勻分布時，畫出某時刻8個靜葉間氣動激勵形式和12個動葉葉尖此時受到的激振力示意圖(見圖2)，其中12個動葉葉尖所受激振力組成波形的周期個數代表轉子葉盤受到的激勵階次.同理，畫出前排靜葉數為3時靜葉間氣動激勵形式和12個動葉葉尖此時受到的激振力的示意圖(見圖3).觀察圖2可以發現，這種圖像描述與數據采集中采樣問題的圖像描述非常類似.

簡單介紹數據采集中采樣問題的原理.對某個模擬信號x(t)每隔Δt時間采樣一次，稱Δt時間為采樣周期，其倒數 1/Δt稱為采樣頻率，x(0)，x(Δt)，x(2Δt)，…，稱為采樣值.

采樣定理是指，只有采樣頻率fs大于等于兩倍的原始信號頻率f，才能根據采樣值完全恢復原始信號(見圖4).即fs≥2f時:

式中fa是實際采樣得到的信號頻率.

圖1 葉盤實驗件

圖2 8個靜葉時靜子間氣動力和12個動葉葉尖所受激振力示意圖

圖3 3個靜葉時靜子間氣動力與12個動葉葉尖所受激振力示意圖

圖4 滿足采樣定理的采樣過程

采樣頻率偏低的結果是采集得到的信號頻率與原始信號不同(見圖5)，即信號畸變，這種信號畸變叫做混疊.混疊頻率是原始信號的頻率與它最靠近的采樣頻率整數倍的差的絕對值[12].即fs＜2f時:

其中，n=int(f/fs+0.5)，y=int(x)為向下取整函數，x小數點后面的數全部舍去得到y.

圖5 不滿足采樣定理的采樣過程

對比圖5和圖2可以發現二者的圖像描述非常類似，圖5中信號頻率f是指單位時間內的信號波形個數，對應圖2即是單位角度內的靜子間氣動激勵波形個數，即Ns/2π;采樣頻率fs是指單位時間內的采樣點數，對應圖2是單位角度內的動葉數，即Nr/2π，其中Nr代表動葉數;采樣得到的信號頻率fa是指采樣點在單位時間內組成波形的周期個數，對應圖2是單位角度內的激勵階次，即Ne/2π，其中 Ne代表激勵階次.用Ns/2π，Nr/2π，Ne/2π 分別替換式(3)中的 f，fs，fa有

其中，n=int(Ns/Nr+0.5).同理，圖4和圖3的圖像描述非常類似，用Ns/2π，Ne/2π分別替換式中的 f，fa有

不難發現Nr＞2Ns時，Ne=Ns只是式(4)中n=0的特殊情況;Nr=2Ns時，Ne=Ns也只是式(4)中n=1的特殊情況，合并式(4)和式(5)，得到Nr，Ns，Ne三者之間更簡潔的關系公式:

其中n=int(Ns/Nr+0.5).可以看到，轉靜子干涉條件下，葉盤所受激勵階次只與動靜葉數目有關，動靜葉數目一旦確定，激勵階次就是唯一的.這就明確了激勵階次的影響因素，較姚建堯和Tyler等提出的激勵階次的確定原則避免了由任意整數帶來的激勵階次的不確定性，減小了這種不確定性帶來的判斷葉盤共振條件的復雜性.

以葉盤實驗件12個動葉為例，畫出Ne與Ns的關系曲線，如圖6所示，可以看到當動葉數確定，無論靜葉數如何變化激勵階次最大為動葉數的一半.

圖6 12個動葉時激勵階次與靜子數關系

2 數值與實驗驗證

本節給出轉靜件干涉條件下葉盤結構所受激勵階次影響因素的數值仿真與實驗驗證.保持激振力頻率不變，改變前排靜葉數目，通過不同靜葉數目下葉盤葉尖的軸向響應幅值比較，驗證式(6)的合理性，激振力頻率取葉盤4節徑固有頻率 98.75 Hz.

數值驗證部分采用了ANSYS軟件的直接耦合場壓電分析功能，葉盤的有限元模型如圖7所示，對葉盤內環節點施加全約束，葉片根部為壓電陶瓷激振片，采用耦合場SOLID5六面體單元劃分壓電片網格，對其上下表面節點進行電壓自由度耦合，并利用APDL編程對其施加不同靜葉數下的模擬行波激勵電壓信號來進行瞬態響應分析，計算步長取激振力最小周期的1/20，給定阻尼比為2‰.

圖7 葉盤實驗件有限元模型

實驗驗證部分采用文獻[13]搭建的實驗系統，給葉盤實驗件(見圖7)施加不同靜葉數下的模擬行波激勵，測量葉盤葉尖節點在相同激振頻率、不同前排靜葉數下的軸向位移響應幅值.

數值仿真和實驗結果如圖8所示，可以看到有限元與實驗結果得到了較好的相互驗證.在激振力頻率保持葉盤4節徑固有頻率不變時，只有在4，8，16，20靜葉數下，葉盤發生了共振，說明只有此時激勵階次與節徑數4相等.對于葉盤實驗件，在式(6)的確定準則下其所受激勵階次為4時的前排靜葉數也應是4，8，16，20，這就從有限元仿真和實驗測試兩個角度驗證了式(6)的正確性.

圖8 相同激勵頻率不同靜葉數下葉盤葉尖的響應幅值

3 結論

1)轉靜件干涉條件下，葉盤結構所受激振力頻率等于靜葉數與轉子轉速的乘積，所受激勵階次等于靜葉數和它最靠近的動葉數整數倍的差的絕對值.

2)靜葉數多于轉子葉片數的一半時，也會引起葉盤耦合共振.

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