考慮斜拉索松弛的盤繞式伸展臂振動模型

韓建斌 黃 海 馬海波

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

盤繞式伸展臂是一種空間伸展臂，廣泛用于太陽電池陣、探測臂等空間伸展機構.伸展臂完全展開后形成三角形截面桁架結構，依靠橫桿、縱桿、斜拉索的相互作用保持穩定.但其結構特點又與普通桁架不同:

1) 橫桿處于彎曲狀態[1－2]，此時雖然承受一定壓力，但拉壓剛度很小[3];

2)斜拉索處于拉緊狀態，不能承受壓力，在變形較大時會發生松弛現象[4－6].

進入應用以來，針對伸展臂展開狀態下的變形及振動特性研究[3，7－9]一直是盤繞式伸展臂研究工作的重要內容.但由于斜拉索的松弛造成剛度的改變[10]，使得考慮斜拉索松弛的伸展臂振動研究有一定難度.理論上針對剛度隨變形階躍變化的分段線性剛度系統，在單自由度或多自由度下已有較為合適的方法可以借鑒[11－14]，但應用在連續系統下還需要一定的變換.

本文以北航微小衛星用盤繞式伸展臂為對象，在Ansys環境下建立了有限元模型，分別計算了斜拉索松弛前后兩種結構下的伸展臂基頻.為研究振幅較大而使結構不斷變換時盤繞式伸展臂的基頻特性，建立滿足分段線性剛度特性的等效連續梁模型.使用等價線性化方法，并代入斜拉索松弛判據及松弛前后兩種結構下的基頻，得到伸展臂等效振動頻率隨端部振幅的變化關系.最后利用Ansys的瞬態分析對上述等效頻率結果進行了仿真驗證.該模型探討了一種考慮斜拉索松弛時盤繞式伸展臂振動的初步的研究方法，研究了斜拉索松弛對伸展臂振動系統的影響，可以作為對盤繞式伸展臂進行振動控制的理論基礎.

1 盤繞式伸展臂有限元建模介紹

本文以圖1所示盤繞式伸展臂為研究對象.

圖1 盤繞式伸展臂

盤繞式伸展臂包括縱桿、斜拉索、橫框等部件.橫框由鉸鏈、橫桿組成三角形框架，其中橫桿與鉸鏈之間為鉸接狀態，在研究橫桿變形時按照兩端簡支處理.

模型結構示意圖如圖2所示，由橫桿、縱桿、斜拉索及鉸鏈等部分組成.3根縱桿在鉸鏈位置可以繞OA，OB，OC旋轉，橫桿與鉸鏈之間為鉸接狀態.以鉸鏈B為例，AB，BC桿對應的鉸接軸為BD，BE.

圖2 模型結構示意圖

盤繞式伸展臂和普通桁架不同，其橫桿處于彎曲狀態，斜拉索受拉張緊但不承受壓力.針對這兩點的處理方法如下.

1.1 彎曲橫桿及預緊力建模方法

盤繞式伸展臂在展開后及振動過程中，由于預緊力的作用，橫桿始終保持彎曲狀態，如圖3a所示.此時橫桿處于材料力學中的壓桿屈服狀態，兩端連線方向等效拉壓剛度較小，因此相關文獻中按照恒力建立橫桿模型[8].圖3b所示為兩端簡支壓桿受壓屈服前后的受力與變形關系.伸展臂展開后，橫桿處于圖3b的虛線框所示受力狀態[3].

圖3b的橫軸為橫桿兩端距離減小量與原長的比值.文獻[15]利用彈性細桿的Kirchhoff動力學給出了兩端簡支壓桿彎曲后壓力與變形的公式，可以準確描述圖3b虛線框內的曲線:

式中，EI為壓桿彎曲剛度;b0為直線狀態壓桿全長;k為隨壓桿彎曲程度增大而變大的量;K(k)，E(k)，F(k)為關于 k的橢圓積分[15].

根據式(1)，在保證橫桿長度、截面積不變的情況下，可以計算出一個滿足圖3b虛線框曲線內受力與變形關系的等效彈性模量Eeq.將Eeq作為橫桿材料的彈性模量.

圖3 橫桿彎曲狀態及彎曲前后張力變化曲線

在多數有限元軟件中預緊力可以用設置初始應變的方法很方便地加載[9]，因此本文通過為橫桿設置初始應變加載預緊力.

彎曲橫桿的作用在于利用其承載能力對變形的不敏感，來保證預緊力大小的一致[1].考慮實際上預緊完成后橫桿彎曲程度并不是很大，因此橫桿此時所受壓力和橫桿作為壓桿的歐拉失穩載荷Fcr相近，即在盤繞半徑、節距、橫桿剛度及橫桿的連接方式確定的情況下，預緊力是確定的.因此橫桿的初始應變設置為

設置橫桿的預應變為－εini，相當于橫桿發生－εini大小的應變后長度為b.此時橫桿對兩端有Fcr大小的張力，如圖4a所示.因此設置－εini之后相當于給伸展臂施加了圖4b所示的靜力載荷.

用靜力分析可以得到含預應力的盤繞式伸展臂模型.

1.2 斜拉索松弛處理

在變形較大時，單側斜拉索會發生松弛現象.Ansys的Link10單元可以設置為單向受拉桿單元，但在模態分析中不考慮非線性特性，Link10仍然作為普通可拉壓桿件處理.針對斜拉索松弛后的盤繞式伸展臂結構進行如下分析.

圖4 橫桿預應力示意圖

通常斜拉索拉壓剛度較大，因此當桁架橫向有很小變形時，斜拉索即開始松弛.此時分析其受力情況可忽略桁架整體的橫向變形影響.以帶斜拉索的二維桁架為對象進行分析，當頂端受橫向力F作用使得斜拉索松弛時，將松弛拉索去除，將拉緊索按桿件建模.如圖5所示(實線F).

圖5 二維桁架變形分析

圖5a中斜線為不受壓的繩索，圖5b斜線為單根可拉壓桿.設節距為t，斜桿長為l，CD長為b.圖5 中:

通常桁架兩端均連接剛性部件，因此忽略AB，CD兩根桿件的變形.由單位載荷法可以計算圖5a和圖5b的端部橫向位移，二者均為

同理可以證明，當橫向力反向時(圖5虛線F)，圖5a和圖5b的端部橫向位移仍為式(4).

由此可以說明單根斜桿與2根交替張緊的斜拉索作用相同，兩種結構的整體橫向剛度相同.因此對2根斜拉索交替松弛的結構進行模態分析時，為了不在結構中加入斜拉索這種非線性單元，用1根可拉壓桿代替2根斜拉索進行建模.

1.3 盤繞式伸展臂有限元模型

針對北航微小衛星用盤壓桿建立有限元模型.用上述方法處理彎曲橫桿、斜拉索等盤繞式伸展臂的特殊元素，在Ansys環境下建立有限元模型.橫桿選用Link8單元，斜拉索用Link10單元.其中Link8為Ansys中三維軸向拉伸-壓縮桿單元，具有兩個節點，不考慮彎曲及扭轉.Link10和Link8相似，但可以設置為單向受壓或受拉(可用于靜力及瞬態分析)，因而很適合用于斜拉索建模.在下文模態分析部分，Link10單元按普通可拉壓桿件處理，在靜力及瞬態分析部分可以設置為單向受拉單元.

通過給Link8單元設置－εini大小的初始應變來設置預緊力.縱桿選用普通梁單元Beam188，且每節縱桿分3段建立.鉸鏈按點質量建模[8]，使用Mass21建立.

此外一般伸展臂端部會連接一定的剛性部件，因此將最終模型一端的3個鉸鏈固定，自由端3根橫桿按普通桿件建模，E=3.387×104MPa，且無初始應變.

各單元詳細參數見表1.

表1 模型詳細參數

圖6 斜拉索松弛前伸展臂有限元模型

計算斜拉索松弛后盤繞式伸展臂的結構頻率時，用Link10單元建立單根桿單元，代替2根交替松弛的斜拉索建模，見圖7.

圖7 斜拉索松弛后伸展臂有限元模型

1.4 模態計算

對上述盤繞式伸展臂模型進行模態分析.計算預緊狀態下伸展臂的模態需要考慮預應力.在Ansys中先后進行靜力和模態分析，并在二者的設置中打開預應力效應選項(PSTRES ON)，即可得到預緊狀態下伸展臂的模態結果.用圖6、圖7所示模型分別進行上述計算，得到模型第1階振動模態如圖8所示.

圖8 盤繞式伸展臂模態分析結果

圖8a所示斜拉索松弛前伸展臂基頻為f1=49.15 Hz.圖8b所示單側斜拉索松弛狀態的伸展臂基頻為f2=0.452 Hz.二者相差很大，這是因為盤繞式伸展臂的橫桿處于壓桿屈服狀態，使其等效拉壓剛度很小(見1.1節彎曲橫桿建模)，使得斜拉索松弛后的橫向剛度極小[9].以斜拉索松弛前后這兩種結構的頻率為條件，計算振幅較大時盤繞式伸展臂結構不斷變換的等效頻率.

2 盤繞式伸展臂非線性振動分析

由上述分析可知斜拉索松弛前后的兩種結構的基頻不同.當振幅較大時，盤繞式伸展臂必然在兩種結構間不斷變換.下文首先研究斜拉索松弛時伸展臂的變形大小，在此基礎上建立考慮斜拉索松弛的盤繞式伸展臂振動模型.此外當振型為第2階以上時，各層斜拉索松弛情況較為復雜.且系統的振動能量主要體現在第1階振型.因此如未特別說明，下文只考慮伸展臂第1階振型.

2.1 斜拉索松弛時的盤繞式伸展臂變形

利用上文建立的斜拉索松弛前的伸展臂模型(圖6)進行仿真計算，得出斜拉索松弛判據.

固定底端，在另一端鉸鏈A上加載橫向力F.在長度方向上均勻選擇3根發生松弛的斜拉索a，b，c，研究其受力變化，如圖9 所示.

圖9 盤繞式伸展臂橫向變形計算模型

以A點橫向位移為橫軸，斜拉索拉力為縱軸畫出曲線如圖10所示.

由于伸展臂是從預緊狀態發生變形的，圖10中3根斜拉索拉力初始值都不是0.3條曲線幾乎完全重合，在端部位移達到δ時同時變為0，表示3根斜拉索同時發生松弛.圖10曲線是根據表1數據建立模型得到的結果，δ≈0.64 mm.

在只考慮第1階振型的情況下，將δ作為斜拉索是否松弛的判斷標準:端部位移大于δ時，斜拉索發生松弛.此外由于盤繞式伸展臂的橫向剛度與變形方向無關[5，16]，因此變形方向改變時斜拉索松弛判據不變.

2.2 振幅較大時盤繞式伸展臂的等效頻率

當端部位移大于δ時，伸展臂剛度發生變化，這是一個典型的分段線性剛度系統[11，17].在長細比較大時，盤繞式伸展臂的整體振型同連續梁結構相同.在保證整體振型及邊界條件一致的條件下，將伸展臂等效為一段懸臂梁結構.斜拉索松弛前后的兩種結構的振動方程如下所示:

式(5)、式(6)分別與圖6、圖7兩種結構對應，對應的第1階頻率分別為fa1，fb1;(EJ)1，(EJ)2分別為斜拉索松弛前后的等效剛度;為盤繞式伸展臂平均線密度.

伸展臂在發生一定變形后剛度變為(EJ)2.其慣性力變化示意圖如圖11所示.

圖11 分段慣性力

伸展臂在E，B間振動，慣性力可以表示為

以D點為例計算BC段慣性力.在B點基礎上考慮(EJ)2的作用，即

設伸展臂在O→C振動過程中在t02時刻斜拉索松弛.E→F→E過程慣性力可以表示為

E，B點伸展臂變形關于平衡位置對稱，有

因此式(9)可以轉化為

B→C→B過程有 y(L，t) ＞δ，E→F→E 過程有 y(L，t) ＜ － δ.可以用 y(L，t)代替 t01，t02表示斜拉索是否松弛.得斜拉索松弛后的振動方程:

結合式(7)、式(11)、式(12)，在只考慮盤繞式伸展臂以式(5)的第1階振型振動時，振動方程可以表示為

式中Y1(x)為式(5)的第1階振型函數，將式(14)代入式(13)可以得到

將式(15)兩端同乘以Y1(x)，沿x方向積分得到

式中

由于Y1(x)是式(5)的振型函數，因此式(5)表示的懸臂梁基頻:

同時對于懸臂梁來說，Y1(x)只與邊界條件有關，因此同樣是式(6)的振型函數[18].對應懸臂梁基頻:

根據文獻[14]的等價線性化法，設非線性方程(16)的近似解為

P1(t)可改寫為以下形式:

式中φe為與斜拉索松弛瞬間等效梁端部振幅對應的相位角.

端部位移為

事實上Y1(L)at就是端部振幅A.則相位角φe為

系統的等價剛度可以由下式求得[14]:

從而得到系統的等效頻率:

式(22)表明在如式(16)所示的分段剛度非線性系統內，等效頻率和線性系統的頻率概念有所不同.不再是系統的固有特性和系統變形大小有關.

3 Ansys瞬態分析

用上文建立的斜拉索松弛前的盤繞式伸展臂Ansys模型(見圖6)進行時域分析，對上述結果進行驗證.斜拉索使用的Link10單元在瞬態分析中可以體現只受拉的特性.如圖9所示在A點加載橫向力F.作用0.02s后去除F，計算伸展臂之后的運動.以A點位移表示伸展臂振動，如圖12所示.

圖12 Ansys瞬態分析結果

圖12a中伸展臂端部振幅為0.34 mm，小于斜拉索松弛判據(δ≈0.64 mm).此時斜拉索沒有松弛，振動頻率約為48.59 Hz.

圖12b伸展臂端部振幅大于δ，斜拉索已經松弛，振動頻率約為29.58 Hz.

從圖12可以看出，二者振動頻率相差很大.改變F大小，可以得到與不同振幅對應的振動曲線，從而得到與振幅對應的頻率.仿真頻率結果及按式(22)計算得到的頻率結果如表2所示.

表2 盤繞式伸展臂頻率變化

將表2數據畫成曲線如圖13所示.

圖13 盤繞式伸展臂振動頻率隨端部振幅的變化

可見瞬態分析結果與上文推導的等效頻率基本吻合，頻率隨端部振幅增大而呈指數趨勢減小，并逐漸趨近于斜拉索松弛后的頻率fb1.

4 結論

盤繞式伸展臂完全展開后形成穩定的三角形桁架結構，但其特有的彎曲橫桿、可松弛斜拉索的特點使得振幅較大時伸展臂頻率發生改變.振幅越大頻率越小，并且趨向于一個斜拉索松弛后的頻率.本文建立的盤繞式伸展臂振動模型指出了斜拉索松弛對伸展臂振動性能的影響，并且驗證了一種考慮斜拉索松弛時盤繞式伸展臂振動特性的研究方法.該模型可用于評估外部干擾力對盤繞式伸展臂性能的影響，同時在確定工作環境的外部干擾力條件下，可應用該模型給出盤繞式伸展臂的剛度設計要求.

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