基于T-H方程的多脈沖最優(yōu)交會(huì)方法

姬曉琴

(宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100854)

肖利紅 陳文輝

(北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854)

交會(huì)是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的飛行器在空間軌道上按預(yù)定位置和時(shí)間相會(huì)[1].由于在常推力下研究軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜，在空間任務(wù)的初步分析和設(shè)計(jì)時(shí)，常假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)按脈沖方式工作.

1960年，Clohessy等[2]推導(dǎo)出了基于目標(biāo)軌道坐標(biāo)系的線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，即C-W方程，該方程有解析解，因此被廣泛應(yīng)用于研究鄰近的近圓軌道上的交會(huì)問(wèn)題.同時(shí)期Lawden[3]提出的主矢量法也是比較典型的方法，給出了最優(yōu)脈沖交會(huì)的必要條件.Handelsman等[4]把主矢量概念推廣到非最優(yōu)飛行軌道，提出了一種沖量(脈沖)校正理論.針對(duì)橢圓參考軌道，Lawden[5]和 Hempel等[6]以真近點(diǎn)角為自變量給出了橢圓參考軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)的非線性狀態(tài)方程，即T-H方程，并導(dǎo)出了方程的解析解，但解有奇異性且形式較為復(fù)雜;2002年，Yamanaka等[7]給出了T-H方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，形式簡(jiǎn)單且解無(wú)奇異性，為研究橢圓參考軌道的多脈沖交會(huì)策略提供了方便.Carter等[8－11]對(duì)橢圓及圓參考軌道均進(jìn)行了較為深入的研究.諶穎[12]研究了共面橢圓軌道上固定點(diǎn)的燃料最優(yōu)交會(huì)和時(shí)間固定的最優(yōu)交會(huì).楊樂(lè)平等[13]研究了基于導(dǎo)航點(diǎn)的及基于隨機(jī)優(yōu)化的多脈沖交會(huì)方法.

現(xiàn)在，基于牛頓平方反比引力場(chǎng)中的脈沖交會(huì)問(wèn)題，已有比較成熟的結(jié)論，但是研究引力攝動(dòng)情況下的脈沖交會(huì)問(wèn)題的文獻(xiàn)較少，還有待于繼續(xù)研究.荊武興等[14]研究了橢圓參考軌道上的最優(yōu)精確交會(huì)，考慮J2攝動(dòng)時(shí)，在求得雙脈沖優(yōu)化解后，基于軌道積分進(jìn)行終端狀態(tài)預(yù)測(cè)，采用迭代方法確定脈沖的增量，因此耗時(shí)較長(zhǎng).宋旭民等[15]研究了基于改進(jìn)的 Lambert法的多脈沖規(guī)劃方法，采用軌道積分進(jìn)行脈沖間的狀態(tài)預(yù)測(cè).譚麗芬[16]研究了考慮J2攝動(dòng)的時(shí)間固定單脈沖多圈Lambert最優(yōu)交會(huì)，方法與前者相似.Gim等[17]導(dǎo)出了考慮J2攝動(dòng)及橢圓軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，長(zhǎng)期預(yù)測(cè)精度較高，但只適用于近距離的相對(duì)運(yùn)動(dòng).

本文針對(duì)橢圓參考軌道，基于T-H方程進(jìn)行多脈沖軌跡優(yōu)化研究，建立了時(shí)間固定燃料最省的優(yōu)化模型，優(yōu)化參數(shù)為脈沖及脈沖施加時(shí)刻.針對(duì)J2攝動(dòng)或航天器初始相對(duì)距離較大時(shí)，T-H方程的線性化誤差一般不容忽略，提出了一種新的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)預(yù)測(cè)方法，即采用前一優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)導(dǎo)出的軌道根數(shù)推導(dǎo)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的狀態(tài).因無(wú)需軌道積分，加快了優(yōu)化收斂速度.用優(yōu)化的多脈沖解進(jìn)行軌道數(shù)值積分以驗(yàn)證終端精度，仿真結(jié)果表明，即使在考慮J2攝動(dòng)時(shí)，終端狀態(tài)的精度仍然較高.

1 T-H方程

這里直接給出以真近點(diǎn)角f為自變量的方程組，即通常所說(shuō)的T-H方程.

式中，e為軌道偏心率;n為軌道平均角速率;ζ=1+ecosf;fx，fy，fz為飛行器所受的攝動(dòng)力和控制力引起的加速度之和.

一般情況下難以得到T-H方程的解析解.但是若假設(shè)飛行器不施加控制且忽略各種攝動(dòng)的影響，作變量變換:，經(jīng)推導(dǎo)可得到 T-H 方程的齊次解析解[1，7]:

2 N-脈沖最優(yōu)交會(huì)方法

N-脈沖最優(yōu)變軌問(wèn)題可描述為:給定起始時(shí)間t0及初始狀態(tài)X0=[R0V0]T，期望在 tf時(shí)刻轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)Xf=[RfVf]T，求如何施加N次脈沖使得能量最省，其中T表示轉(zhuǎn)置.

假設(shè)在時(shí)間tk(k=1，2，…，N)處施加脈沖速度增量為 ΔVk，令 Δtk表示 t0，tk，tf各時(shí)間節(jié)點(diǎn)的間隔，則根據(jù)T-H方程可知脈沖施加前后的狀態(tài)為

因?yàn)門(mén)-H方程是線性化一階近似模型，存在模型誤差，所以需尋求一種求解預(yù)測(cè)值，的方法.一種預(yù)測(cè)方法是基于數(shù)值積分方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，但該方法耗時(shí)較長(zhǎng)，不太適合星上實(shí)時(shí)應(yīng)用.這里給出一種基于軌道參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，因無(wú)需軌道積分，故耗時(shí)較少;又因?yàn)樵擃A(yù)測(cè)方法是基于二體軌道模型給出的預(yù)測(cè)，無(wú)T-H方程的線性化誤差，只包含有J2攝動(dòng)引起的誤差，因此預(yù)測(cè)精度較高.具體過(guò)程是:首先依據(jù)施加第k－1次脈沖時(shí)刻后的相對(duì)參數(shù)，，可得到航天器的位置、速度參數(shù)，由位置、速度參數(shù)可計(jì)算當(dāng)時(shí)的軌道根數(shù)，然后根據(jù)軌道根數(shù)以及目標(biāo)軌道根數(shù)預(yù)測(cè)施加第k次脈沖時(shí)刻前的.

則整個(gè)交會(huì)過(guò)程所需的總脈沖如下:

顯然，ΔV是tk的函數(shù)，可對(duì)脈沖施加時(shí)刻進(jìn)行優(yōu)化.

綜上可得多脈沖優(yōu)化模型如下.

性能指標(biāo):

邊界條件:

約束條件:

式中ΔVmax表示最大脈沖限制.

因上述優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)高度非線性，且約束條件既有線性等式約束，又有非線性不等式約束，可采用序列二次規(guī)劃算法(SQP，Sequential Quadratic Programming)求解.

3 仿真分析

3.1 仿真條件

1)目標(biāo)飛行器取為軌道高度600 km的太陽(yáng)同步軌道，其軌道根數(shù)為:軌道半長(zhǎng)軸 a=6971015 m，軌道偏心率 e=0.01，軌道傾角 i=97.76°，軌道近地點(diǎn)幅角 ω =30°，軌道真近地點(diǎn)角f0=30°，軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=60°.

2)追蹤飛行器與目標(biāo)飛行器的初始相對(duì)狀態(tài)參數(shù)為

要求的終端狀態(tài)參數(shù)為

3)轉(zhuǎn)移時(shí)間為2/3個(gè)目標(biāo)飛行器軌道周期.

3.2 仿真結(jié)果及分析

采用前述的多脈沖優(yōu)化模型，進(jìn)行多脈沖最優(yōu)交會(huì)方法仿真研究.應(yīng)用matlab中的fmincon函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化的能耗(速度增量)隨脈沖次數(shù)的變化如圖1所示.從圖中可看出，隨著脈沖次數(shù)N的增加，能耗逐漸趨于穩(wěn)定值.

圖1 能量消耗隨脈沖次數(shù)的變化

采用精確的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行軌道數(shù)值積分至轉(zhuǎn)移時(shí)間結(jié)束，以驗(yàn)證多脈沖最優(yōu)交會(huì)方法的終端位置精度.由于T-H方程為線性化一階近似模型，即使不考慮J2攝動(dòng)時(shí)，也存在線性化誤差，故直接采用優(yōu)化的脈沖進(jìn)行積分，終端誤差較大.本文采用在優(yōu)化的脈沖施加時(shí)刻利用T-H方程在線求取最優(yōu)雙脈沖交會(huì)所需速度增量的方法，來(lái)減小終端誤差.

圖2給出了N=6時(shí)脈沖優(yōu)化的軌跡，同時(shí)給出了考慮J2攝動(dòng)與不考慮J2攝動(dòng)的數(shù)值積分軌跡曲線.

為清晰起見(jiàn)，圖3給出了施加第5次脈沖前后的局部軌跡.從圖中可看出，優(yōu)化軌跡與數(shù)值積分軌跡幾乎重合，說(shuō)明了N-脈沖優(yōu)化方法優(yōu)化的軌跡精度比較高.

圖2 N=6脈沖優(yōu)化軌跡及數(shù)值積分軌跡

取N=3～10，當(dāng)J2=0和J2≠0時(shí)，終端時(shí)刻未施加脈沖時(shí)的終端狀態(tài)參數(shù)分別如表1、表2所示.可見(jiàn)，前者終端位置精度優(yōu)于10 m，后者優(yōu)于75 m.另外，若J2=0，采用優(yōu)化解直接進(jìn)行數(shù)值積分與在線求取速度增量進(jìn)行數(shù)值積分相比，優(yōu)化的能耗與實(shí)際的能耗趨于一致，兩者相差不到0.2m/s，而終端位置精度大幅提高.以N=6為例，前者的終端位置精度為70 m，能耗為435.54m/s，后者的位置精度為2.0m，能耗為435.51 m/s，兩者能耗幾乎一致，而位置精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，這表明了在線求取脈沖增量的有效性.若J2≠0，隨著脈沖數(shù)的增加，當(dāng)N＞5時(shí)，優(yōu)化的能耗與實(shí)際的能耗趨于一致，兩者相差不到3m/s.

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的正確性和有效性，取虛擬目標(biāo)衛(wèi)星為軌道高度1000 km的太陽(yáng)同步軌道，將偏心率加大，e=0.1，i=99.26°，其他參數(shù)同前，進(jìn)行仿真運(yùn)算.仿真結(jié)果再次表明了該方法的有效性:J2=0時(shí)終端位置精度仍?xún)?yōu)于10 m;J2≠0時(shí)終端位置精度優(yōu)于60 m.

圖3 N=6脈沖優(yōu)化軌跡及數(shù)值積分軌跡(局部)

表1 終端速度有約束的終端狀態(tài)J2=0

表2 終端速度有約束的終端狀態(tài)J2≠0

4 結(jié)論

針對(duì)橢圓參考軌道，提出了一種基于T-H方程的N-脈沖最優(yōu)交會(huì)方法，建立了時(shí)間固定燃料最省的優(yōu)化模型，優(yōu)化參數(shù)為脈沖及脈沖施加時(shí)刻.數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明:

1)N-脈沖優(yōu)化過(guò)程中，應(yīng)用本文提出的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)預(yù)測(cè)方法，即采用前一優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)導(dǎo)出的軌道根數(shù)推導(dǎo)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，因無(wú)需軌道積分，故有效提高了優(yōu)化收斂速度.

2)N-脈沖優(yōu)化方法優(yōu)化的軌跡精度較高.若采用在優(yōu)化的時(shí)刻利用T-H方程在線求取最優(yōu)雙脈沖軌道轉(zhuǎn)移所需速度增量的方法，可進(jìn)一步提高終端位置精度.

3)當(dāng)考慮到J2攝動(dòng)，且航天器初始相對(duì)距離較大時(shí)(約1 000 km)，該優(yōu)化方法的終端位置精度仍然較高，達(dá)到75 m.

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