基于混合法的月球軟著陸軌跡優(yōu)化

彭 坤 果琳麗 向開恒 王 平

(中國空間技術研究院 載人航天總體部，北京100094)

徐世杰

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

在進行無人月面勘探或載人登月任務時，都需要使著陸器實現月球表面軟著陸，以保證儀器設備以及航天員的安全.在典型的月球軟著陸過程中，從環(huán)月軌道下降到月球表面主要可分為2個階段:霍曼轉移段和動力下降段.其中，霍曼轉移段指著陸器從環(huán)月停泊軌道通過霍曼變軌進入環(huán)月橢圓軌道，并運行至近月點;動力下降段[1]指著陸器從近月點處開始發(fā)動機制動抵消水平速度，并最終以較小速度著陸月面.由于霍曼變軌速度增量較小，著陸器的大部分燃料都消耗在動力下降段，故有必要對動力下降段的著陸軌跡進行優(yōu)化設計以減少燃料消耗.

當前，求解月球軟著陸軌跡優(yōu)化這類最優(yōu)控制問題的方法有基于Pontryagin極大值原理的間接法以及基于參數化方法的直接法[2].王大軼等[3]和趙吉松等[4]分別用間接法搜索最優(yōu)月球軟著陸軌跡.由于間接法初值難以猜測，大部分學者均采用直接法進行月球軟著陸軌跡優(yōu)化研究.王劼等[5－6]、朱建豐等[7]和段佳佳等[8]分別用序列二次規(guī)劃(SQP，Sequential Quadratic Programming)方法、遺傳算法(GA，Genetic Algorithm)、自適應模擬退火遺傳算法以及蟻群算法對著陸軌跡進行優(yōu)化.孫軍偉等[9]直接將著陸軌道進行離散，采用SQP方法求解了月球軟著陸軌道優(yōu)化問題.彭祺擘等[10]、單永正等[11]和梁棟等[12]分別用高斯偽譜法、miser 3.2最優(yōu)控制軟件和李雅普諾夫直接法求解了月球定點軟著陸軌道優(yōu)化問題.為提高直接法的優(yōu)化速度，王明光等[13]和趙吉松等[14]分別基于偽光譜和廣義乘子法進行了月球軟著陸軌道快速優(yōu)化設計.直接法雖然不存在初值敏感問題，但其尋優(yōu)結果最優(yōu)性得不到保證.為保證尋優(yōu)結果的最優(yōu)性，同時避免初值敏感問題，文獻[15－16]采用混合法思想求解月球軟著陸軌跡優(yōu)化問題.混合法是將直接法和間接法結合起來的一種綜合方法.它一方面引入伴隨狀態(tài)，利用伴隨方程來確定控制函數，另一方面又不直接求解兩點邊值問題，而通過參數優(yōu)化求解最優(yōu)控制問題.但文獻[15－16]的混合法求得的終端速度誤差較大.

本文基于混合法的思想將月面軟著陸軌跡優(yōu)化問題轉化為以伴隨變量初值和終端時刻為待優(yōu)化變量的最優(yōu)化問題，并應用全局優(yōu)化和局部收斂能力較好的隨機優(yōu)化算法——引導人工免疫算法(GAIA，Guiding Artificial Immune Algorithm)進行優(yōu)化.將GAIA混合法優(yōu)化結果與傳統間接法和直接法進行比對，從而驗證該優(yōu)化方法的優(yōu)化性能.

1 月球軟著陸問題

1.1 系統模型

忽略動力下降段末段的不共面影響，將動力下降段近似為在同一個平面內飛行，建立如圖1所示二維坐標系描述月面著陸器的軟著陸飛行過程.該坐標系原點O為月心，極軸Ox指向動力下降起始位置.考慮動力下降飛行時間較短，忽略太陽和地球的第3天體引力攝動、月球非球形攝動和月球自轉速度.著陸器在軟著陸過程中只受月球引力FL和制動發(fā)動機推力Ft的作用.

圖1 月球軟著陸示意圖

著陸器的運動可由二維極坐標系下的位置速度攝動方程[5]來描述，并將著陸器質量作為狀態(tài)變量加入狀態(tài)方程中，其形式如式(1)所示:

式中，m為質量;μL為月心引力常數;w為比沖，m/s.

設初始狀態(tài)為環(huán)月停泊軌道近月點[3]，終端狀態(tài)為著陸月面.設初始時刻t0=0，終端時刻tf可變，邊界條件數學表述如下:

式中，r0為近月點處的月心距;vθ0為近月點處的軌道速度;m0為著陸器動力下降前初始質量;rf為月球半徑.

1.2 歸一化處理

為提高系統模型的收斂性，對其進行歸一化處理.設距離和質量參考量為r*=r0，m*=m0，則歸一化狀態(tài)方程為

相應的邊界條件為

最優(yōu)月球軟著陸軌跡為燃料消耗最少的飛行軌跡，即要求最終質量最大，其性能指標設置如下:

2 基于混合法的優(yōu)化模型

2.1 最優(yōu)控制律設計

利用Pontryagin極大值原理可得月球軟著陸歸一化模型的哈密頓函數為

1)最優(yōu)推力方向角u為

2)伴隨方程為

2.2 優(yōu)化變量

由式(9)、式(10)以及式(4)可知，只要給出4個伴隨變量的初值，就可逐步推出下一時刻的最優(yōu)推力方向角和軟著陸狀態(tài)變量.為避免伴隨變量的初值猜測，混合法將4個伴隨變量初值λr(0)，λvr(0)，λvθ(0)，λm(0)作為優(yōu)化變量，采用優(yōu)化算法對其進行優(yōu)化.同時，由于終端時間f自由，也需將其作為優(yōu)化變量.故混合法的優(yōu)化變量為

2.3 狀態(tài)方程

聯立式(4)和式(10)就可得到混合法優(yōu)化模型的狀態(tài)方程.其中，狀態(tài)變量θ可與其他變量解耦.為簡化優(yōu)化模型，狀態(tài)方程中暫時去掉極角θ和其伴隨變量的微分方程.

2.4 評價函數及約束處理

在優(yōu)化模型中，評價函數除考慮著陸器最終質量外，還需考慮終端約束的滿足情況.本文將終端狀態(tài)誤差以罰函數形式引入評價函數faff(X)中，其表達式如下:

式中，X=[λr(0)，λvr(0)，λvθ(0)，λm(0)，f]T;σ1，σ2，σ3為罰函數權重.

權重系數在尋優(yōu)過程中進行自適應調整，其表達式如下:

式中，β 為變化率系數，β∈[0，1];Tλ為初始參數;g為當前尋優(yōu)代數;gmax為最大代數.為加強罰函數前期約束功能，將權重系數值與1取最大值.

3 人工免疫算法

經過混合法處理，月球軟著陸軌跡優(yōu)化問題轉化為以伴隨變量和終端時間為優(yōu)化變量的高維非線性規(guī)劃問題.常用的非線性規(guī)劃問題求解方法為SQP，但其存在全局優(yōu)化性能不佳、對初始值敏感等問題.在隨機優(yōu)化算法方面，GA應用最廣，但也存在局部收斂和收斂速度慢等問題.本文采用全局優(yōu)化性能好和局部搜索能力強的GAIA對該非線性規(guī)劃問題進行求解.

3.1 人工免疫算法流程

人工免疫算法將免疫系統產生抗體的過程與尋優(yōu)過程一一對應，其算法流程如圖2所示.

圖2 人工免疫算法流程

3.2 人工免疫算法實現

1)親和度計算.設親和度如式(11)所示.

2)濃度和激勵度計算.激勵度計算公式[17]如下:

式中抗體濃度fden(XI)計算公式[17]如下:

式中 n，XI，fbff(XI，Xi)的含義見文獻[17].

3)免疫操作.對種群中優(yōu)質抗體進行選擇、克隆和變異，搜索最優(yōu)解.引導型變異計算公式[17]如下:

式中 XI，j，k，δ，Pr，Pm，Xbj，τ，G 的含義見文獻[17].選出最優(yōu)變異抗體AI替代所選優(yōu)質抗體XI.

4)種群刷新.設置淘汰機制，對種群中劣質抗體進行刪除，并生成相同個數的新抗體進行補足.

4 仿真實例

為便于尋優(yōu)結果的比較，選擇文獻[7]中的算例進行仿真.著陸器初始條件為r0=1 753 km，θ0=0°，vr0=0 m/s，vθ0=(9.65 × 10－4·r0)m/s，m0=600 kg.終端約束為 rf=1738 km，vrf=0 m/s，vθf=0 m/s.μL=4.902 75 × 1012m3/s2，設 Ft=λvθ(0) ＞ 0，且.由橫截條件和伴隨方程可知，λm(tf)=0，˙λm＜0，故λm(0)＞0.由多次搜索結果可知λr(0)＞0.由于伴隨變量的初值等比例放大或縮小不影響尋優(yōu)結果，可將4個伴隨變量初值設置在[－1，1]之間.故可設λvr(0)∈[0，1]，λvr(0)∈[－ 0.1，0]，λvθ(0)∈[0，1]，λm(0)∈[0，1].月球軟著陸的時間一般在600 s左右，設置f∈[0.5，0.7].

在GAIA參數設置中，令種群抗體個數n=300，gmax=60，τ=15，Pm=0.8，激勵度參數 a=2，G自適應調整.為保證搜索到全局最優(yōu)解，進行10次GAIA尋優(yōu)，尋優(yōu)結果均收斂.將尋優(yōu)結果與間接法結果進行比對，驗證其是否為最優(yōu)解，如表1和圖3所示.1350 N，w=2 940 m/s.在罰函數法中，取 β =0.005，T2=0.1;直接令σ1=5σ2，σ3=σ2.

由月球軟著陸的優(yōu)化經驗[3]可知，初始推力方向角應約為180°，由式(10)可知，λvr(0)＜0和

表1 GAIA混合法與間接法尋優(yōu)結果對比

由表1可知，GAIA混合法尋優(yōu)結果平均值的終端狀態(tài)誤差雖比間接法(基于Pontryagin極大值原理)的誤差大，但其誤差量級已經非常小，足夠滿足著陸器軟著陸的要求.同時其燃料消耗與間接法的結果相同，說明GAIA混合法的尋優(yōu)精度非常高.

圖3為GAIA混合法10次尋優(yōu)的最優(yōu)結果與間接法求解結果的對比圖.由圖3可看出，采用GAIA混合法和間接法得到的月心距、徑向速度、橫向速度和推力方向角變化曲線完全重合，GAIA混合法的尋優(yōu)結果即為理論最優(yōu)解.相比于間接法，GAIA混合法的猜測初值收斂區(qū)間更大，敏感度低.以λvr(0)的單個伴隨變量初值收斂區(qū)間[4]為例，其理論初值為0.481 2，間接法的收斂區(qū)間為[－ 0.247 8，2.563 6];而 GAIA 混合法在[－30000，30000]范圍內均可收斂，即收斂區(qū)間至少涵蓋[－30 000，30 000]，遠大于間接法的收斂區(qū)間.當軟著陸邊界條件和著陸器參數改變、理論初值未知時，GAIA混合法僅需修改仿真參數和調整初值取值范圍就可重新求得最優(yōu)軌跡，通用性強.

圖3 控制變量與狀態(tài)變量變化曲線

表2為GAIA混合法尋優(yōu)結果與基于十進制蟻群算法(DACA)[8]和基于自適應模擬退火遺傳算法(ASAGA)[7]的直接法尋優(yōu)結果的對比.由表2可看出，除月心距誤差略大外，GAIA混合法的其他終端誤差比DACA直接法和ASAGA直接法小一個量級;同時，GAIA混合法的燃料消耗比DACA直接法和ASAGA直接法少，這是因為混合法中的最優(yōu)控制律由間接法推導而來，相比于直接法來說更加接近理論上的最優(yōu)推力方向角(如圖3所示).由于GAIA混合法的待優(yōu)化變量較少，其平均尋優(yōu)時間比DACA直接法和ASAGA直接法小得多，因此GAIA混合法尋優(yōu)速度更快，如表2所示.

表2 GAIA混合法與DACA直接法及ASAGA直接法尋優(yōu)結果對比

5 結束語

本文通過Pontryagin極大值原理和自適應權重罰函數，將月球軟著陸軌跡優(yōu)化問題轉化為以伴隨變量初值和終端時間為優(yōu)化變量的非線性規(guī)劃問題;將全局優(yōu)化性能和局部搜索能力強的GAIA用于非線性規(guī)劃問題求解.仿真結果表明，相比于間接法，GAIA混合法初值收斂范圍大，易于求解，通用性好，且尋優(yōu)結果與理論最優(yōu)解相同.同時，與DACA直接法和ASAGA直接法相比，GAIA混合法尋優(yōu)結果最優(yōu)性更好，尋優(yōu)速度快.

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