6-3 Stewart平臺位置正解的機構簡化數值方法

薛 劍 唐志勇 裴忠才

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

Stewart平臺機構目前已廣泛應用于運動模擬器領域，運動模擬過程對運動平臺動態性能的較高需求，促使運動控制算法的研究工作走向深入[1].傳統基于鉸點空間的運動控制方法已無法滿足高頻率、高速度、高跟蹤精度運動模擬的需要，目前Stewart平臺運動控制研究主要以基于工作空間的控制方法為主[2].該方法考慮了平臺的動力學特性，能夠達到更好的控制效果，但控制過程中需對動平臺位姿進行實時解算[3].縮短控制周期能夠有效提高對高速運動的實時跟蹤性能，同時對Stewart平臺的運動學正解計算速度提出了更高要求[4].Stewart平臺的并聯特性導致其運動學逆解十分簡單，但運動學正解則較為復雜[3].在控制器硬件性能確定時，運動學正解計算速度往往成為制約控制頻率提高的瓶頸.

6-3 Stewart平臺結構在20世紀80年代曾是Stewart平臺領域的研究熱點[3]，文獻[5 －6]都對該結構進行了大量研究工作.在使用位置正解空間搜索法時，6-3 Stewart平臺結構能夠實現更高速度[7].黃真等提出用三棱錐位置變換將位置正解問題轉化為單變量非線性方程的一維搜索問題[8].梁崇高等提出一種含三角結構的Stewart平臺機構位置正解封閉方法，可求出機構在已知關節輸入下的所有位姿[9].由于6-3 Stewart平臺結構中的復合球鉸或復合虎克鉸機構易產生干涉，對平臺的運動空間造成限制，因此近些年來學術界較少研究.

目前在實時控制領域，較成熟的Stewart平臺位置正解方法為基于速度雅可比的牛頓-拉夫遜迭代法[10]，該方法在每步迭代中都需計算一6維方陣的逆.提高位置正解速度的另一思路是采用6-3 Stewart平臺結構，并通過機構簡化得到更高效的位置正解數值方法.

1 傳統數值方法

1.1 位置逆解

圖1 6-6 Stewart平臺機構簡圖

則上平臺鉸點在靜坐標系Oxyz中的位置為

則各支桿長度為

1.2 速度分析

根據旋量求和法則，易求得力雅可比的逆:

歐拉角不是上平臺姿態的唯一表示，因此根據z-y-x的歐拉角定義，歐拉角的導數與上平臺角速度存在如下關系:

則上平臺廣義位姿的微分與上平臺廣義速度間存在如下關系:

由式(4)、式(8)可得

1.3 迭代過程

由于 J－1，G 均為關于的函數，因此在定義域內某一定點a，滿足增量變化關系:

在第n+1次迭代前，可通過判斷桿長偏差向量Δl(n)=lM－l((n))各元素絕對值是否均小于給定允許誤差δ來決定是否終止迭代.若迭代終止條件滿足，即max{abs[lM－l((n))]} ＜ δ，則將(n)作為結果輸出.程序流程圖如圖2所示.

圖2 Stewart平臺位置正解傳統方法程序流程圖

該方法的實質是牛頓-拉夫遜迭代，可在J－1滿足萊布尼茲條件時收斂到局部最優解，但每次迭代過程均需要計算一個6維方陣的逆.

2 機構簡化數值方法

2.1 機構簡化

6-3 Stewart平臺的機構簡圖如圖3所示，由于使用了復合虎克鉸機構，使得上平臺相鄰鉸點重合，但仍可使用上述數值方法求取位置正解.

圖3 6-3 Stewart平臺機構簡圖

對于6-3 Stewart平臺而言，每個復合虎克鉸所連接的兩桿可構成一個運動分支，如圖4所示.

當運動分支內的兩桿長度li，li+1確定時，可得到確定的三角形△AiBiBi+1，并可求得Ai點到BiBi+1邊的高 di和垂足 Hi.設，，由三角形幾何關系可得

圖4 6-3 Stewart平臺運動分支示意圖

將式(11)化簡得

由上述結果，可求得di和Hi的坐標hi為

根據上述幾何關系，可將6個關節桿長確定的6-3 Stewart平臺機構等效為圖5中的一個3-RPS并聯機構，從而將6-3 Stewart平臺位置正解問題轉化為3-RPS并聯機構位置正解問題.HiH'i⊥BiBi+1，αi= ∠AiHiH'i，BiBi+1為每一運動分支旋轉副的轉軸，Hi為旋轉副的旋轉中心.對于一組確定的l=[l1l2… l6]T，可求得一組確定的3-RPS并聯機構旋轉副中心.

圖5 6-3 Stewart平臺的3-RPS并聯機構等效

2.2 數值迭代算法

根據橋本[11]對3-RPS的運動學分析思路，選定d=[d1d3d5]T為輸入，α=[α1α3α5]T為輸出，位置正解問題為已知d求α.

運動分支的球副旋轉中心Ai的坐標ai為

其中βi為以右手定則定義的從靜坐標系x軸到向量之間的夾角.由于旋轉副轉軸BiBi+1不隨機構位形的改變而變化，且恒有HiH'i⊥BiBi+1，因此HiH'i的方向也不隨機構的位姿變化而改變，且由機構的結構參數決定.

在圖6所示的3-RPS并聯機構底面投影圖中，不妨根據圖3定義與 x軸同向，則 β1=210°，β3=90°，β5=330°.

圖6 3-RPS并聯機構底面投影圖

根據上三角平臺3個球副旋轉中心兩兩距離不變，可列出方程組 f(α)=[f1f3f5]T=0，方程組的各方程分別為

其中au為上三角平臺兩兩球副旋轉中心的距離.

將 f1，f3，f5展開，可得到關于 α1，α3，α5的解析式.寫成方程組向量形式為

f(α)對α的導數可寫成如下形式:

df/dα即為函數f(α)的雅可比矩陣，表征了f(α)對于任意給出點αa的最優線性逼近，即在α→αa時，有

因此求取方程組f(α)=0解的迭代表達式為

2.3 實際位置解算

迭代過程中每一α(n)都對應上平臺3個虛擬鉸點，其位置可由式(15)求得.隨著迭代次數的增加，將趨近于其實際位置.迭代過程中，可根據圖5定義上平臺的動坐標系Omxmymzm，其中坐標原點 Om的位置由的重心C(n)確定，在動坐標系中的位置向量可表示為

ym軸與重合，zm軸與所在平面垂直，xm軸在所在平面內.則ym，zm，xm三軸在靜坐標系下的方向矢量為

此時上平臺所對應的旋轉矩陣為

由旋轉矩陣R(n)相應元素，可求得對應的歐拉角:

綜上可得α(n)時對應的上平臺位姿.

2.4 算法流程

根據1.1節中的Stewart平臺位置逆解方法可求得α(n)時對應的桿長l(α(n)).為與傳統方法進行對比，采取1.3節中與傳統方法相同的迭代終止判斷條件.程序流程圖如圖7所示.

圖7 基于機構簡化的位置正解方法程序流程圖

3 實驗平臺

基于上述機構簡化的思路，設計了一套液壓驅動的6-3 Stewart平臺實驗系統.該平臺通過優化設計保證了上、下平臺鉸機構在上平臺工作空間內無運動干涉，且整個工作空間內無奇異.

3.1 機械結構

圖8為自行設計的液壓6-3 Stewart平臺實物圖.上平臺采用了復合虎克鉸機構，從而實現上三角結構.本平臺設計可承受動載荷為5 t.

圖8 液壓6-3 Stewart實驗平臺

圖9為本實驗平臺的結構尺寸圖，上、下平臺鉸點均為中心對稱分布，上平臺分度圓直徑960 mm，下平臺分度圓直徑1200 mm，下平臺相鄰鉸點中心角間距為16°，中立位置(即所有油缸在行程中位時平臺的位姿狀態)時各支桿鉸點距離839 mm，油缸行程均為280 mm.

3.2 軟硬件環境

實驗平臺以工控機作為控制器，CPU為主流的奔騰雙核2.4GHz，A/D和D/A板卡選分別用研華DPCI-1716和PCI-1723，控制程序使用Visual Studio編寫，在RTX實時操作系統中運行.在該環境中對基于凱恩方法的逆動力學模型進行一次解算的時間小于 5 μs.

圖9 平臺結構尺寸圖(單位:mm)

4 算法對比實驗

4.1 單點解算

對機構可達空間內的一個極端點解算上平臺位姿.該位置對應的以m為單位的桿長向量為lM=[0.979，0.699，0.699，0.979，0.699，0.979]T

以機構中立位置的相關參數作為迭代初值:

以上參數可通過對實驗平臺機械結構的CAD設計模型測繪得到.

以δ=0.01 mm作為迭代終止條件，兩種方法每步迭代的桿長偏差與位姿解算結果見表1和表2.由表可知，兩種方法所得到的結果一致，傳統方法需6次迭代后達到終止迭代條件，而本文提出的方法僅需3次，且迭代終止時的桿長偏差比傳統方法的精度等級更高.

表1 傳統方法單點解算每步迭代結果

表2 本文方法單點解算每步迭代結果

4.2 連續點解算

在本實驗平臺使用基于鉸點空間的控制方法對期望位姿軌跡進行跟蹤控制，并記錄2s內伺服油缸內置直線位移傳感器反饋的20 000組等時間間隔的位置數據.期望位姿軌跡的各分量均是以中立位置為起始的正弦運動，相關運動參數見表3.

表3 期望運動參數

以δ=0.01 mm作為迭代終止條件，對獲取數據離線進行連續點解算對比實驗，每點的解算均以上一點結果作為初值.統計兩種方法的迭代次數與計算時間，見表4.

表4 連續點解算迭代次數與計算時間比較

由表4可知，本文提出的方法單點平均僅需1.000次迭代，約為傳統方法的一半，與單點解算實驗的結果相吻合.本文方法單點平均計算時間僅為傳統方法的14.8%，縮短約85%.由于每次迭代需進行求逆運算的矩陣維度不同，本文方法的單次迭代平均時間也僅為傳統方法的28.7%.

5 結論

本文提出的Stewart平臺位置正解數值方法，充分利用了6-3 Stewart平臺的結構特點，機構簡化概念清晰，數值迭代過程中較傳統方法只需求取3維方陣的逆，減少了運算量.實驗證明，該方法比傳統的基于速度雅可比的數值迭代位置正解方法具有更好的收斂速度和更快的計算速度.在目前主流的工控機配置下，該方法可滿足0.1 ms控制周期實時控制的位姿實時解算需求.

References)

[1]Lee S H，Song J B.Position control of a Stewart platform using inverse dynamics control with approximate dynamics[J]Mechatronics，2002，13(6):605 －619

[2]Zubizarreta A，Portillo E，Cabanes I，et al.Real-time environment design for testing advanced control approaches in parallel robots[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2013，67(5-8):1459 －1475

[3]Dasgupta B，Mruthyunjaya T S.The Stewart platform manipulator:a review[J].Mechanism and Machine Theory，1999，35(1):15－40

[4]Morell A，Tarokh M，Acosta L.Solving the forward kinematics problem in parallel robots using support vector regression[J].Engineering Applications of Artificial Intelligence，2013，26(7):1698－1706

[5]Merlet J P.Parallel manipulators，part 1，theory[R].INRIA Technical Report 646，1987

[6]Fichter E F.A Stewart platform-based manipulator:general theory and practical construction[J].International Journal of Robotic Research，1986，5(2):157 －182

[7]Dasgupta B，Mruthyunjaya T S.Force redundancy in parallel manipulators:theoretical and practical issues[J].Mechanism and Machine Theory，1998，33(6):727 －742

[8]黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學[M].北京:高等教育出版社，2006:144－146

Huang Zhen，Zhao Yongsheng，Zhao Tieshi.Advanced spatial mechanism[M].Beijing:Higher Education Press，2006:144 －146(in Chinese)

[9]梁崇高，榮輝.一種Stewart平臺型機械手位移正解[J].機械工程學報，1991，27(2):26 －30

Liang Chonggao，Rong Hui.Displacement positive solutions for one kind of Stewart platform-type manipulator[J].Journal of Chinese Mechanical Engineering，1991，27(2):26 －30(in Chinese)

[10]Zhao X H，Peng S X.Direct displacement analysis of parallel manipulators[J].Journal of Robotic Systems，2000，7(6):341－345

[11]Hashimoto M，Imanura Y.Kinematic analysis and design of a 3 DOF parallel mechanism for a passive compliant wrist of manipulators[J].The Japan Society of Mechanical Engineers，1998，64(6):250－257

[12]Shi Y，Yue H X，Lu Y，et al.Singularity analysis of a planesymmetry 3-RPS parallel robot based on translational/rotational Jacobian matrices[C]//Wohlbier T.Applied Mechanics and Materials.Clausthal-Zellerfeld，Germany:Trans Tech Publications，2012:1590 －1594