整體思想與換元法

鄭燕

摘 要：面對一長串的數學問題，往往會讓你有一種“只見樹木，不見森林”的感覺，你會迷茫、困惑，不知道從何處下手。其實很多時候可以嘗試著去放大問題的視角，以整體的眼光來看待這些問題，這樣也許會給你一種不一樣的意境。

關鍵詞：整體思想；換元法；一致性

數學是一門關注思想方法的學科，只有真正搞清數學思想，靈活運用數學的方法技巧，才能抓住數學的本質，從而把數學學好。數學的思想方法有許多，本文主要討論整體思想與換元法，并通過幾個例子來說明兩者的一致性，即為思想找方法，為方法尋思想。所謂整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識地整體處理。換元法是指解數學題時把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。你可以先觀察算式，你可以發現這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然后把他們用一個字母代替，算出答案，然后答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，結果就算出來了。本文主要以初一數學知識為背景來講解整體思想及換元法。

整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。而整體思想說通俗一點就是，當題目中的量無法各個擊破時，不妨一整塊一整塊地解決。在應用整體思想，用換元法解題時，要注意觀察有無很大一塊內容與形式上相同或一致，并且出現的次數較多。如果有，不妨就把這一塊看做一個整體，為了形式及視覺上的簡單，可以把相同的內容用一個簡單的字母去替換，這就是整體思想與換元法在本質上的一致性。

參考文獻：

孫維剛.初中數學[M].湖北大學出版社，2007-05.