云模型和混沌粒子群算法的多目標無功優化

趙文清，王立瑋，董月

華北電力大學控制與計算機工程學院，河北保定 071003

電力系統的無功優化是指在系統結構參數和負荷情況給定的條件下，以滿足系統各運行方式約束為前提，通過對系統控制變量的優化計算，最大限度地提高系統電壓穩定性，改善電壓質量，降低網損。具有非線性、多目標、多約束、同時含有連續變量和離散變量等特點。當前關于無功優化的方法很多，傳統的經典算法具有不可避免的局限性，無法處理離散變量，隨著人工智能和計算機技術的發展，出現了很多智能算法如遺傳算法、蟻群算法［1］、免疫算法［2］、粒子群算法［3］及混沌優化算法［4］等，并相繼被引入到電力系統的無功優化問題，取得了較好的效果。其中尤以粒子群算法的研究最為突出，基本粒子群優化算法(particle swarm optimizer，PSO)自1995年由Kennedy和 Eberhart提出以來，因其具有易實現、操作簡單、參數較少等性能，發展迅速且應用廣泛。然而，在搜索的初期收斂速度較快，在后期容易陷入局部最優且收斂速度慢，這些是阻礙PSO算法進一步推廣應用的主要缺點。

針對上述粒子群優化算法的不足之處，從前期混沌優化到后期改進其慣性權重參數入手，對基本粒子群算法進行整體改進。基本PSO是隨機生成初始解，這對算法精確度很不利，很可能存在搜索盲區。利用混沌算法具有遍歷性的優點，對粒子群進行混沌初始化，在整個搜索空間里形成雜亂而有序的初始種群。研究表明［5］慣性權重對PSO算法的性能有較大影響，關于改進慣性權重的方法已有很多，文獻［6］提出在迭代中對慣性權重進行線性遞減處理的改進策略，文獻［7］提出在設定的范圍內動態自適應調整慣性權重的改進策略。這2種方法都在不同程度上優化了算法，但存在改進不徹底和方法死板的問題，致使改進效果不顯著。云模型［8-9］的云滴具有隨機性和穩定傾向性的特性，將云模型理論與粒子群結合，應用正態云發生器自適應動態調整［10］粒子的慣性權重。此外，可以對符合一定條件的粒子進行基于云模型的變異，賦給粒子群全面搜索的能力，保證其及時跳出局部最優。綜合以上考慮，文中提出了基于云模型和混沌粒子群算法的多目標無功優化。

1 多目標無功優化模型

1.1 目標函數

電力系統的無功優化技術要求建立以即有功網損PLoss最小、電壓偏差ΔU最小和靜態電壓穩定裕度ΔV最大的多目標無功優化模型，數學模型如下:

式中:Gk為節點i，j之間的支路k的電導，NB為參與有功網損計算的系統支路條數，Tk為變壓器k的變比，Ui是節點i的電壓幅值，Uj是節點j的電壓幅值，θij為節點i和j之間的電壓相角差，為節點額定電壓幅值，ΔUimax為最大允許電壓偏差，NL為系統的負荷節點數。

1.2 功率潮流約束條件

1)節點的有功功率和無功功率平衡約束如下:

式中:Gij、Bij、θij分別表示節點i和j之間的電導、電納和相角差，Pgi、Qgi分別表示節點i發電機的有功功率和無功功率，Pdi、Qdi分別表示負荷節點的有功功率和無功功率，Qci代表節點i所加并聯電容器的無功補償量，Ni為節點總數。

2)變量約束條件。

控制變量約束條件:

1.3 多目標無功優化的模糊解法

文中試圖把多目標模型轉化為單目標模型之后再進行求解。首先把上述3個無功優化子目標轉化為在［0，1］區間取值的隸屬度函數。個體某種指標越差，相應的隸屬度值越大。優化的目的是將隸屬度值最大的指標最小化。采用隸屬函數線性函數解法。對于式(1)，設3個子目標函數對應的隸屬度函數分別為μ1(x)、μ2(x)、μ3(x):

根據交模糊判決，原問題可轉化為單目標形式，則可以根據式(6)求解得到多目標無功優化最優解x*:，其中，μp(x1，x2)為最優隸屬度［11］。

2 改進的混沌粒子群算法

2.1 標準粒子群優化算法

設在一個D維目標搜索空間，粒子群為M，向量Xi=(xi1xi2… xij… xid)表示粒子群在D維空間中第i個粒子的位置，j表示變量xi的第j維分量;向量Vi=(vi1vi2… vid)表示第i個粒子的“飛行”速度，決定粒子在搜索空間單位迭代次數的位移;Pi=(pi1，pi2，…，pid)表示第 i個粒子的歷史最優位置;Pg=(pg1，pg2，…，pgd)表示當下整個粒子群中搜索到的最好位置;第i個粒子從n－1代迭代到n代按式(7)來調整速度和相應的位置［12］:

式中:ω為慣性權值，vi(t)為粒子i在t時刻運動速度，xi(t)為粒子i當前位置，pi(t)為粒子i的個體最優值，pg(t)為粒子i的全局最優值，c1和c2為加速系數，通常取值為2，r1和r2是僅在［0，1］范圍內取值的隨機數，n為迭代次數。

2.2 云理論

云模型是為定性和定量之間的相互轉換提供了一種手段，主要刻畫了客觀世界中事物或人類知識不確定性概念和確定數值之間的模糊性和隨機性。

云模型利用期望Ex、熵En、超熵He表示它的數字特征，這3個數字特征可以表示上的定量特征。當μA(x)服從正態分布時，稱為正態云模型。

定義2 正態云發生器，實現了從定性語言值到其定量表示之間的不確定轉換，可用以下算法描述:

1)生成以En為期望值，He為標準差的一個正態隨機數E'n;

2)生成Ex為期望值，E'n絕對值為標準差的一個正態隨機數x，其中，x稱為論域空間中的一個云滴;

4)重復1)～3)，直到產生N個云滴終止。

2.3 混沌思想

基本粒子群算法采用隨機生成初始粒子，存在無法遍及整個空間的缺點。而混沌具有遍歷特性，采用混沌算法產生初始解，將大大增加粒子種群的多樣性，增加全局尋優能力。目前應用較廣的混沌系統是Logistic映射:

式中:zk為混沌變量，μ為控制參數。當 μ=3.571448時，該映射開始進入混沌狀態，當μ=4時，混沌系統處于完全混沌狀態，文中采用Logistic完全混沌迭代方程zk+1=4zk(1－zk)，zk∈(0，1)完成粒子的混沌初始化處理。

2.4 云自適應粒子群調整進化策略

設定favg=為粒子群的平均適應值，按此將種群分成為靠近最優粒子的種群、較靠近最優粒子的種群及遠離最優粒子的3個子群，其中fi為粒子Xi在第k次迭代的適應度值;首先將粒子群按照favg分為2部分，優于favg的適應值求平均得到f'avg，次于favg的適應值求平均得到f″avg;再根據f'avg和f″avg將粒子群分成3部分，具體分配策略如下:

第1部分粒子的fi＜f'avg，這些粒子是距離最優值很近的粒子，接下來要做的就是加快全局收斂的速度，到達最優值即可，故ω取最小值ω =0.4。

第2 部分的粒子 fi∈［f'avg，f″avg］，這部分粒子是種群中普通的粒子，作為重點處理對象，由正態云發生器非線性動態調整粒子Xi的慣性權重。自適應粒子群慣性權重ω生成算法如下:

式中:c1、c2為控制參數，由于0＜＜1，所以ω ∈［0.4，0.9］，因而ω會隨著粒子的適應度發生變化，適應度小的粒子即可獲得較小的ω值。

第3部分的粒子fi＞f″avg，這部分的粒子距離最優值很遠，為群體中較差的粒子，需要加大跨度搜索，故ω取最大值，ω =0.9。

2.5 云變異粒子群優化算法調整策略

通常若粒子連續N代都沒有更新則認為此時的粒子群陷入局部最優，文中利用如下方法對這部分粒子進行變異操作:通過正態云發生器的期望Ex、熵En及超熵He對滿足變異條件的粒子完成變異操作。在這3個參數的控制下產生下一代子種群。具體實現策略如下:

當粒子群滿足變異條件時，即達到預先設定的變異閾值N，變異閾值的設置通過反復實驗來設定一個常數，選定當下全體粒子的全局最優點為pg，變異策略如下:令正態云算子的數字特征分別為Ex=pg，En=2pg，He=En/10，根據定義 2 中的一維正態云發生器完成粒子的變異操作。

3 云模型和混沌粒子群算法的電力系統無功優化

綜上所述，給出基于云模型和混沌粒子群算法CAVCPSO的多目標求解流程如圖1所示。

圖1 CAVCPSO算法對多目標無功優化問題的求解流程

l)初始化算法中需要的參數，包括輸入潮流數據，設定控制變量的約束范圍、種群規模、設定最大迭代次數等。

2)在符合1)中控制變量約束范圍時，利用2.3節的混沌算法初始化種群中粒子的速度和位置，粒子的維數為系統控制變量的個數。

3)確定各子目標和約束的隸屬度，據1.3節模糊解法將多目標優化模型轉化單目標優化模型。

4)進行潮流計算，得到的每個粒子當前的適應度值，對每個粒子依據進化策略進行進化操作，確定出當前個體最優值和全局最優值，將種群分成3個子群，根據3.4節云自適應粒子群調整進化策略進行迭代更新，確定出新一代的Xi的速度和位置以及每個粒子全局最優位置和個體最優值及適應值。

5)判斷是否達到變異閾值N，達到則按2.5節云變異粒子群優化算法調整策略對粒子群進行變異操作，否則直接轉步驟6)。

6)若滿足終止條件，就結束迭代，并且輸出最優解，否則轉步驟4)。

4 算例分析

多目標無功優化求解流程的主要步驟如下:

文中選擇IEEE30節點系統和IEEE118節點系統作為測試仿真系統算例，在MATLAB7.0平臺之上編制文中所提算法的多目標無功優化程序和系統潮流計算程序，潮流計算采用牛頓－拉夫遜法。

實驗數據均采用標么值，其中基準功率為100 MVA，變壓器變比的調節步長定為0.025，變比調節在0.90 ～1.10 p.u.之間，上下檔位數為 ±8，補償電容QC調節步長為0.04，分10檔，補償上限設定為0.5 p.u.，初始電壓及變壓器的初始變比均設為1.0。粒子群規模n=40，學習因子c1=c2=2，ωmin=0.4，ωmax=0.9，最大迭代次數 Maxiter=100，變異閾值 N=0.2。

實驗1 相同條件下，對每個算法分別獨立運行50次，將PSO、云自適應粒子群算法(CAPSO)和文中提出的云自適應變異混沌粒子群算法(CAVCPSO)3種算法應用在IEEE 30節點系統的平均優化結果進行對比，對比結果如表1所示。由表1可知，文中提出的CAVCPSO算法進行多目標無功優化計算后，有功網損由5.51 MW 降到4.87 MW，降幅為11.62%，其結果明顯優于其他2種算法，通過與CAPSO算法的對比，證明了混沌思想和變異策略的有效性，此外，其他2個子目標函數值也均有較好改善。

表1 IEEE30節點系統的平均優化結果對比

實驗2 在相同基本條件下，再將實驗1的優化結果與文獻［3］中的免疫算法(IA)進行對比實驗，各優化算法得到的平均優化結果如表2所示。由表2可知，免疫算法(IA)的多目標優化結果平均值相比基本粒子群算法的優化結果，有功網損和電壓偏移量次于PSO算法，但是，靜態電壓穩定裕度指標優于PSO，而CAVCPSO算法的有功網損、電壓偏移量和靜態電壓穩定裕度指標均優于其他2種算法，進一步驗證了文中所提CAVCPSO算法的可行性。

表2 IEEE30節點系統的平均優化結果對比

文中對IEEE 30節點系統上4種算法優化后各控制變量的最優值進行了計算，結果如表3。

表3 4種算法優化后控制變量的值

表3 中，V1、V2、V5、V8、V11、V13 代表 6 臺發電機節點位置編號;T1～T4代表4臺變壓器;Q10、Q24代表補償電容器。由表3可知，CAVCPSO算法優化后的所有節點電壓、控制變量的值均距其上下限有一定的距離，沒有越過無功電源的出力極限，可以用于求解無功優化目標函數與系統電壓安全之間的沖突問題。據以上比較結果表明，文中所提方法進行多目標無功優化可以得到高質量的優化解。

圖2所示為PSO算法、IA算法、CAPSO算法和CAVCPSO算法在求解多目標無功優化過程中有功網損目標函數的收斂曲線圖。從圖2可以看出，有功網損隨迭代次數的變化曲線可以直觀看出，通過與云模型結合后的CAPSO算法搜索速度和優化效率都明顯提高，目標函數顯著增優;而CAVCPSO算法在最初幾代降速很快，表明利用混沌初始化可使CAVCPSO算法從好的初始值完成快速尋優。圖2也驗證了文中所提CAVCPSO算法的收斂性好。

圖2 各優化算法網損收斂特性曲線

實驗3 將免疫算法(IA)、基本粒子群算法(PSO)和云自適應變異混沌粒子群算法(CAVCPSO)3種算法應用在IEEE 118節點系統的平均優化結果進行對比，結果如表4所示。由表4可知，通過CAVCPSO算法優化計算后，有功網損下降 10.63% ，電壓偏移量由0.1418下降到0.0362，靜態電壓穩定裕度由0.1585提高到0.1958，說明在求解高維復雜優化問題時，CAVCPSO算法依然具有明顯優化效果。CAVCPSO算法的這種特點是其在復雜系統中的應用成為可能。

表4 IEEE118節點系統的平均優化結果

5 結束語

粒子群算法作為應用最廣泛的智能算法之一，因固有缺點阻礙了其進一步推廣。文中分析了粒子群算法的迭代特點和規律，總結造成缺陷的原因及解決方法，逐一對其進行改進，自早期到后期完成對粒子群算法的全面改進，提高了算法的性能。

將改進算法應用到多目標無功優化問題中，通過對IEEE30節點系統和IEEE118節點系統2個典型算例進行多次優化運算，結果表明文中提出的CAVCPSO算法有效的解決了粒子群算法早熟、易陷入局部最優等不足，且該算法用于解決多目標無功優化問題是有效可行的。

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