單純形算法在高速公路深挖路塹邊坡設計中的運用

2014-11-09 12:15:08周娟

山西建筑 2014年22期

周娟

(海南省公路勘察設計院，海南海口 570206)

邊坡極限平衡分析非常重要的一步是尋找最小安全系數所對應的臨界滑裂面。搜索臨界滑裂面的方法主要包括三大類:枚舉法，數值分析法(模式搜索法和牛頓法)以及諸如模擬退火、遺傳算法、神經網絡等非數值算法。

W.Fellenius及D.W.Talor的研究成果指出:均質簡單土坡，其滑裂面為規則的圓弧，且該圓弧通過坡腳［1］。對于這樣的滑裂面，尋找最危險滑面，實際就是尋找安全系數函數的最小值:

其中，F(Xi)為潛在的滑面安全系數;Xi為關于圓弧圓心坐標的二維向量，即 Xi=(xi，yi)T。

采用單純形法構造一個三角形便可快速尋找到臨界滑面。本文首先推導了以圓心坐標為參數的均質簡單邊坡的Bishop計算式，并編寫了基于單純性法的臨界滑面搜索程序，將其運用于海南橫線萬寧—儋州—洋浦高速公路某深挖路塹邊坡設計中。

1 以滑面圓心坐標為參數的安全系數求解

1.1 邊坡計算模型

以坡腳處為原點，建立如圖1所示直角坐標系。邊坡幾何物理力學條件如下:圓弧滑面圓心坐標為(X0，Y0);高度為H，坡角為β;均布荷載為q，距坡頂起點距離為B1，作用寬度為B2;假設浸潤線由幾條直線連接而成，各條浸潤線端點坐標為(XJi，YJi)，其中第一條浸潤線第一個端點為(0，0)。

圖1 邊坡穩定性計算模型

采用Bishop法計算滑面安全系數，需要將上述已知條件轉化為式(2)所需參數。

其中，下標i表示任一土條;下標j為土層;γj為土層重度;H(i，j)為土條每一土層的高度;Bi為土條寬度;αi為土條重力與圓弧法線夾角;Ui為土條底部水壓力;ci，φi分別為滑面粘聚力、內摩擦角;F為安全系數。

1.2 參數轉換

在直角坐標系中求出圓弧、坡面線、坡頂線以及各條浸潤線的方程。

圓弧方程:

坡面線方程:

坡頂線方程:

浸潤線方程:

得到方程后，按下述方法進行參數轉換。

1)將圓弧方程與坡頂線方程聯立求解滑面與坡頂交點坐標(XD，H)，并求出坡面起點坐標(Xs，H)。2)根據劃分的土條數 n將各土條設置為同一寬度Bi=XD/n，并計算各分界線橫坐標XFi=XFi－1+Bi，將XFi代入圓弧方程取較小值求得 YFi。3)計算土條中線與滑面交點坐標(XHi，YHi)。XHi=(XFi+XFi－1)/2，將XHi代入圓弧方程取較小值求得YHi。4)計算土條中線與坡面交點坐標(XPi，YPi)。XPi=XHi;當 XPi＜ Xs時，將 XPi代入坡面線方程求得 YPi，當 XPi≥Xs時，YPi=H。5)計算土條高度 Hi。Hi=YPi－YHi。6)計算土條分界線與浸潤線交點縱坐標 YJFi。根據土條分界線橫坐標XFi與浸潤線端點橫坐標XJi+1，XJi的大小關系，判斷分界線與哪條浸潤線相交，然后將XFi代入該浸潤線方程求得YJFi。7)計算重力與圓弧法線夾角αi。根據土條中線橫坐標與圓心橫坐標的關系有三種情況:XHi＜X0，αi=arctan［(Y0－ YHi)/(X0－ XHi)］－ π/2。XHi=X0，αi=0。XHi＞ X0，αi=π/2－arctan［(Y0－YHi)/(X0－XHi)］。8)計算土條底部水壓力Ui。分界線上水面到滑面的高度 Hwi=YJFi－YFi，水壓力Ui=(Hwi+Hwi－1)·Bi/(2cosαi)。9)計算外荷載 Qi。根據分界線坐標與荷載左右邊界的關系求得各土條上的外荷載Qi。

2 單純形法搜索臨界滑面的基本原理

2.1 單純形法的基本思想

單純形是指在n維向量空間具有n+1個頂點的多面體。對于本文所討論的問題，初始向量為關于圓心坐標的二維向量x0=(X0，Y0)T，則以下述3個向量構成二維空間的三角形:x1=x0=(X0，Y0)T。x2=(X0+pl，Y0+ql)T。x3=(X0+ql，Y0+pl)T。其為邊長，取值 n+1=3。首先求出3個頂點的目標函數值 F(xi)，找出其中的最大值F(xh)，最小值 F(xl)和中間值 F(xm)，對應頂點為 xh，xl和 xm。從這一個單純形出發，每次迭代都設法構造新的單純形，用新單純形的一個頂點替換掉原單純形具有最大安全系數F(xh)的頂點，以此逐步逼近目標函數的極小點。

2.2 單純形的基本算法

單純形主要包括反射、擴大、收縮和縮邊四種操作。在操作前先求出除xh外兩個頂點的中心xc，以及中心的函數值F(xc)。

1)反射。將最大函數值頂點通過中心xc反射到對面xr，并計算反射點的函數值F(xr)。

其中，通常取反射系數α=1。

2)擴大。若F(xr)＜F(xl)，反射成功，并表明沿著xcxr方向函數值有可能進一步下降，因此將xr擴大到xe，計算擴大點的函數值F(xe)。

其中，通常取擴大系數γ=2。

若F(xe)＜F(xl)，表明擴大成功，用xe替換xh構成新的單純形。若F(xe)≥F(xl)，表明擴大失敗，用xr替換xh構成新的單純形，進行收斂判定，如圖2所示。

圖2 單純形反射、擴大操作

3)收縮。若F(xm)≥F(xr)≥F(xl)，用xr替換xh，構成新的單純形，進行收斂判定。若F(xh)＞F(xr)＞F(xm)，用xr替換xh，構成新的單純形，進行收斂判定。若F(xr)≥F(xh)，必須進行收縮操作，將反射點收縮至xt，并計算反射點的函數值F(xt)。

其中，通常取收縮系數β=0.5。

若F(xh)＞F(xt)，用xt替換xh，構成新的單純形，進行收斂判定，否則進行縮邊操作。單純形收縮操作見圖3。

圖3 單純形收縮操作

4)縮邊。當F(xt)≥F(xh)時進行縮邊，保持xl不變，對其他頂點進行縮邊操作，得到新的單純形，進行收斂判定。單純形縮邊操作見圖4。

5)收斂準則。

其中，ε為足夠小的數。

圖4 單純形縮邊操作

3 工程運用

3.1 工程及工點概況

海南橫線萬寧—儋州—洋浦高速公路，路線全長164.1 km，是《國務院關于推進海南國際旅游島建設發展的若干意見》確定的交通基礎設施項目，是列入《海南國際旅游島建設發展規劃綱要》及《海南省公路交通“十二五”發展規劃》的重點項目，在完善海南島路網結構，充分發揮博鰲亞洲論壇及洋浦國家級經濟開發區的區位優勢，以及促進中部市縣快速發展等方面具有如下重要功能和作用。其主要技術標準為:四車道高速公路，設計速度100 km/h，路基寬26 m。

K130+180～K130+560段，路線翻越埡口，其中心挖深最大為12 m，路塹邊坡高度最高為28 m，為深挖路塹，需進行單獨設計。