懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖

李占超++張寧

摘 要：梁內(nèi)力圖的繪制在材料力學(xué)中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁的內(nèi)力圖的方法。該方法簡單易學(xué)、快速準(zhǔn)確、便于推廣。

關(guān)鍵詞：懸臂梁 梁 內(nèi)力圖 截面法 疊加法

中圖分類號：TU311 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學(xué)是研究工程材料力學(xué)性能及構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性計算理論的科學(xué)，在工科專業(yè)的教學(xué)計劃中占有重要地位，是最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程的知識及理論既可直接應(yīng)用于工程實踐，又為后繼相關(guān)課程奠定了必需的理論基礎(chǔ)。在材料力學(xué)的教學(xué)中，內(nèi)力圖是分析危險截面、危險點，對構(gòu)件進行強度計算的主要依據(jù)，內(nèi)力圖的繪制是材料力的核心內(nèi)容之一。因此，快速、準(zhǔn)確地繪制內(nèi)力圖對工程計算非常重要。

在各種內(nèi)力圖中，軸力圖、扭矩圖相對簡單，而梁彎曲變形時的剪力圖和彎矩圖較為復(fù)雜，初學(xué)者往往很難掌握和靈活運用。不同的教材對于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關(guān)系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關(guān)系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎(chǔ)；疊加法在只存在荷載疊加時，直觀且方便，但在涉及到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疊加時，學(xué)生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，將梁轉(zhuǎn)化為基本的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結(jié)構(gòu)上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內(nèi)力圖。

1 基本方法

平衡是力學(xué)中的重要概念，在材料力學(xué)中，當(dāng)采用截面法作梁的內(nèi)力圖時，關(guān)鍵也是如何恰當(dāng)?shù)卦跇?gòu)件內(nèi)部應(yīng)用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時用一個內(nèi)合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對所研究部分的力的作用；再根據(jù)考慮內(nèi)力后所取部分應(yīng)滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內(nèi)力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內(nèi)力可認(rèn)為是在所取截面位置添加一個固定端約束因外力作用所產(chǎn)生的支反力；（2）在列平衡方程時，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質(zhì)，本質(zhì)上是將所取桿件部分認(rèn)為是一段剛性桿。因此，采用截面法計算某一截面的內(nèi)力時，該截面內(nèi)力實際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)因外力作用所產(chǎn)生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結(jié)構(gòu)，其mm斷面的內(nèi)力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)在固定端處的支反力，如圖2所示。進而，在原梁結(jié)構(gòu)中所取部分桿件的內(nèi)力與所對應(yīng)懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同，即原梁結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下（圖1）的內(nèi)力與一端固定約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內(nèi)力相同。

對復(fù)雜荷載作用下懸臂梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設(shè)的前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時作用多個荷載時，如果各荷載產(chǎn)生的效應(yīng)（如支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計），則全部荷載所產(chǎn)生的總效應(yīng)等于各荷載單獨作用時所產(chǎn)生的效應(yīng)之和（代數(shù)和或矢量和）。根據(jù)疊加原理，圖3所示懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為均布荷載、力偶以及支反力單獨作用時的內(nèi)力之和（如圖4所示），其中支反力和不產(chǎn)生內(nèi)力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據(jù)梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計算方便為原則）添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）求各個外部荷載和支反力在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力；

（4）將各個內(nèi)力進行疊加，作原梁的內(nèi)力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內(nèi)力圖。其中，、、段長度分別為、、，力偶。

（1）根據(jù)梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上時的內(nèi)力圖，如圖5和6所示；

（4）根據(jù)疊加法，得到該懸臂組合梁的內(nèi)力圖，如圖7所示。

3 結(jié)語

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作一般梁內(nèi)力圖的方法。該方法思路清晰、計算簡單、易于掌握，將其應(yīng)用到實際當(dāng)中，也收到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學(xué)[M].北京： 中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2008.endprint

摘 要：梁內(nèi)力圖的繪制在材料力學(xué)中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁的內(nèi)力圖的方法。該方法簡單易學(xué)、快速準(zhǔn)確、便于推廣。

關(guān)鍵詞：懸臂梁 梁 內(nèi)力圖 截面法 疊加法

中圖分類號：TU311 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學(xué)是研究工程材料力學(xué)性能及構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性計算理論的科學(xué)，在工科專業(yè)的教學(xué)計劃中占有重要地位，是最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程的知識及理論既可直接應(yīng)用于工程實踐，又為后繼相關(guān)課程奠定了必需的理論基礎(chǔ)。在材料力學(xué)的教學(xué)中，內(nèi)力圖是分析危險截面、危險點，對構(gòu)件進行強度計算的主要依據(jù)，內(nèi)力圖的繪制是材料力的核心內(nèi)容之一。因此，快速、準(zhǔn)確地繪制內(nèi)力圖對工程計算非常重要。

在各種內(nèi)力圖中，軸力圖、扭矩圖相對簡單，而梁彎曲變形時的剪力圖和彎矩圖較為復(fù)雜，初學(xué)者往往很難掌握和靈活運用。不同的教材對于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關(guān)系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關(guān)系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎(chǔ)；疊加法在只存在荷載疊加時，直觀且方便，但在涉及到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疊加時，學(xué)生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，將梁轉(zhuǎn)化為基本的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結(jié)構(gòu)上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內(nèi)力圖。

1 基本方法

平衡是力學(xué)中的重要概念，在材料力學(xué)中，當(dāng)采用截面法作梁的內(nèi)力圖時，關(guān)鍵也是如何恰當(dāng)?shù)卦跇?gòu)件內(nèi)部應(yīng)用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時用一個內(nèi)合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對所研究部分的力的作用；再根據(jù)考慮內(nèi)力后所取部分應(yīng)滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內(nèi)力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內(nèi)力可認(rèn)為是在所取截面位置添加一個固定端約束因外力作用所產(chǎn)生的支反力；（2）在列平衡方程時，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質(zhì)，本質(zhì)上是將所取桿件部分認(rèn)為是一段剛性桿。因此，采用截面法計算某一截面的內(nèi)力時，該截面內(nèi)力實際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)因外力作用所產(chǎn)生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結(jié)構(gòu)，其mm斷面的內(nèi)力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)在固定端處的支反力，如圖2所示。進而，在原梁結(jié)構(gòu)中所取部分桿件的內(nèi)力與所對應(yīng)懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同，即原梁結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下（圖1）的內(nèi)力與一端固定約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內(nèi)力相同。

對復(fù)雜荷載作用下懸臂梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設(shè)的前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時作用多個荷載時，如果各荷載產(chǎn)生的效應(yīng)（如支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計），則全部荷載所產(chǎn)生的總效應(yīng)等于各荷載單獨作用時所產(chǎn)生的效應(yīng)之和（代數(shù)和或矢量和）。根據(jù)疊加原理，圖3所示懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為均布荷載、力偶以及支反力單獨作用時的內(nèi)力之和（如圖4所示），其中支反力和不產(chǎn)生內(nèi)力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據(jù)梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計算方便為原則）添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）求各個外部荷載和支反力在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力；

（4）將各個內(nèi)力進行疊加，作原梁的內(nèi)力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內(nèi)力圖。其中，、、段長度分別為、、，力偶。

（1）根據(jù)梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上時的內(nèi)力圖，如圖5和6所示；

（4）根據(jù)疊加法，得到該懸臂組合梁的內(nèi)力圖，如圖7所示。

3 結(jié)語

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作一般梁內(nèi)力圖的方法。該方法思路清晰、計算簡單、易于掌握，將其應(yīng)用到實際當(dāng)中，也收到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學(xué)[M].北京： 中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2008.endprint

摘 要：梁內(nèi)力圖的繪制在材料力學(xué)中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁的內(nèi)力圖的方法。該方法簡單易學(xué)、快速準(zhǔn)確、便于推廣。

關(guān)鍵詞：懸臂梁 梁 內(nèi)力圖 截面法 疊加法

中圖分類號：TU311 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學(xué)是研究工程材料力學(xué)性能及構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性計算理論的科學(xué)，在工科專業(yè)的教學(xué)計劃中占有重要地位，是最為重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程的知識及理論既可直接應(yīng)用于工程實踐，又為后繼相關(guān)課程奠定了必需的理論基礎(chǔ)。在材料力學(xué)的教學(xué)中，內(nèi)力圖是分析危險截面、危險點，對構(gòu)件進行強度計算的主要依據(jù)，內(nèi)力圖的繪制是材料力的核心內(nèi)容之一。因此，快速、準(zhǔn)確地繪制內(nèi)力圖對工程計算非常重要。

在各種內(nèi)力圖中，軸力圖、扭矩圖相對簡單，而梁彎曲變形時的剪力圖和彎矩圖較為復(fù)雜，初學(xué)者往往很難掌握和靈活運用。不同的教材對于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關(guān)系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關(guān)系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎(chǔ)；疊加法在只存在荷載疊加時，直觀且方便，但在涉及到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的疊加時，學(xué)生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎(chǔ)上，將梁轉(zhuǎn)化為基本的懸臂梁結(jié)構(gòu)，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結(jié)構(gòu)上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內(nèi)力圖。

1 基本方法

平衡是力學(xué)中的重要概念，在材料力學(xué)中，當(dāng)采用截面法作梁的內(nèi)力圖時，關(guān)鍵也是如何恰當(dāng)?shù)卦跇?gòu)件內(nèi)部應(yīng)用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時用一個內(nèi)合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對所研究部分的力的作用；再根據(jù)考慮內(nèi)力后所取部分應(yīng)滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內(nèi)力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內(nèi)力可認(rèn)為是在所取截面位置添加一個固定端約束因外力作用所產(chǎn)生的支反力；（2）在列平衡方程時，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質(zhì)，本質(zhì)上是將所取桿件部分認(rèn)為是一段剛性桿。因此，采用截面法計算某一截面的內(nèi)力時，該截面內(nèi)力實際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)因外力作用所產(chǎn)生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結(jié)構(gòu)，其mm斷面的內(nèi)力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)在固定端處的支反力，如圖2所示。進而，在原梁結(jié)構(gòu)中所取部分桿件的內(nèi)力與所對應(yīng)懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同，即原梁結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下（圖1）的內(nèi)力與一端固定約束的懸臂梁結(jié)構(gòu)受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內(nèi)力相同。

對復(fù)雜荷載作用下懸臂梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設(shè)的前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時作用多個荷載時，如果各荷載產(chǎn)生的效應(yīng)（如支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計），則全部荷載所產(chǎn)生的總效應(yīng)等于各荷載單獨作用時所產(chǎn)生的效應(yīng)之和（代數(shù)和或矢量和）。根據(jù)疊加原理，圖3所示懸臂梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為均布荷載、力偶以及支反力單獨作用時的內(nèi)力之和（如圖4所示），其中支反力和不產(chǎn)生內(nèi)力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作梁內(nèi)力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據(jù)梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計算方便為原則）添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）求各個外部荷載和支反力在懸臂梁結(jié)構(gòu)上的內(nèi)力；

（4）將各個內(nèi)力進行疊加，作原梁的內(nèi)力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內(nèi)力圖。其中，、、段長度分別為、、，力偶。

（1）根據(jù)梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)上時的內(nèi)力圖，如圖5和6所示；

（4）根據(jù)疊加法，得到該懸臂組合梁的內(nèi)力圖，如圖7所示。

3 結(jié)語

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)作一般梁內(nèi)力圖的方法。該方法思路清晰、計算簡單、易于掌握，將其應(yīng)用到實際當(dāng)中，也收到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學(xué)[M].北京： 中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2008.endprint