等邊三角形確定攝像機內參數的線性方法

禹旺勛 王愛菊

摘要：本文提出了一種求解攝像機內參數的線性方法。首先通過空間平面上等邊三角形的邊計算滅點坐標，根據攝影變換的交比不變性，由拉蓋爾定理及三角形的兩邊夾角計算出圓環點坐標。圖像圓環點坐標方程構成內參數約束方程，從而計算出所有內參數。實驗結果表明，該方法有較好的靈活性和較高的魯棒性。

關鍵詞：攝像機標定 圓環點 等邊三角形

1 概述

攝像機標定是從二維圖像信息獲取三維空間信息必不可少的步驟。隨著攝像機的普及，許多非視覺專業人士需要有一種簡易、靈活的標定方法幫助他們完成與視覺有關的工作。因此近年來計算機視覺領域越來越多的有關人員開始研究如何利用攝像機標定獲得更可靠的攝像機幾何模型。目前報道的最為成功和實用的一種算法是Zhang 的平面標定算法，該算法摒棄了傳統的標定塊，采用的是平面模板，不僅簡單靈活，還具有很高的標定精度。但是，該算法不利于實現自動化標定，需要進行人工干預，因為該算法需要測量出模板上角點的物理坐標，并需對每幅圖像提取角點以及對角點及其圖像點進行匹配。為此，Meng等人對這種算法進行了改進，即標定模板選擇呈一圓周及經過圓心的若干條直線，然而改進后的算法仍然需要測量出圓心的物理位置，并且這個物理位置的確定性某種程度上影響該算法的精度和穩定性。為了有效解決這一問題，本文提出一種新的攝像機標定算法，所采用的標定模板為等邊三角形。本文算法能夠有效的解決以上所述問題，進行自動化標定，使標定算法的實用性和靈活性得到了大幅度的提高。

2 攝像機模型

本文使用的攝像機模型為經典針孔模型。設P為任意空間點，空間點齊次坐標和圖像點齊次坐標分別為M=（xw，yw，zw，1）T和m=（u，v，1）T。通過透視投影幾何關系M

與m之間的關系如下：

λm=K[R T]M（1）

其中，λ為比例因子；K=f■■ s u■0 f■ v■0 0 1為攝像機內參數矩陣；R和T分別為世界坐標系到攝像機坐標系的旋轉矩陣和平移向量。

3 圓環點對攝像機內參數的約束

設π是空間上的一個有限遠平面，分別取平面π上兩條相互正交的直線為x軸和y軸，通過兩個軸交點O且與平面正交的直線為z軸，建立坐標系O-xyz。于是平面方程為z=0。π上的無窮遠直線為平面π與無窮遠平面的交線方程為

w=0z=0（2）

設c是平面π上的任意一個圓，圓心坐標為（x0，y0，0，1）T，半徑為r，則圓的方程為

x-x■w■+y-y■w■=w■r■z=0（3）

其中（x，y，z，w）T為圓上點的齊次坐標。

設m為空間點X在絕對二次曲線上的圖像點，根據（1）式得到

mTK-TKTm=0（4）

由（4）式可知，絕對二次曲線的圖像是與攝像機內參數有關的二次曲線。由于圓環點I，J是一對共軛點，所以對應的圖像mi，mj也是一對共軛點，因此可記為

mi=（x1+x2i，y1+y2，1）T，mj=（x1-x2i，y1-y2，1）T （5）

把式（5）代入式（4）得

m■■ωm■=0m■■ωm■=0（6）

由式（6）可以得到兩個關于攝像機內參數的線性約束

Re（m■■ωm■）=0Im（m■■ωm■）=0（7）

4 標定方法

4.1 確定滅點的圖像坐標 本文使用等邊三角形模板，每條邊任意取三個點。模板如圖1所示，等邊三角形ABC，D，E，F分別是AB，BC，AC上的點。3條直線AB，BC，AC的無窮遠點分別是P1∞，P2∞，P3∞。等邊三角形的圖像如圖2所示，a，b，c分別是點A，B，C的圖像點。無窮遠點的圖像點分別為p1，p2，p3。a，b，c的坐標用（ui，vi）T（i=a，b，c）表示。

■

以邊AB為例，根據射影幾何理論，有如下結論：

①同一條邊上的三個不同點和無窮遠點的交比等于同一條邊上三點分成的線段之比。

（AB，DP1∞）=γ，γ=AF/BF

②在射影變換下，由圖形類的映射及射影不變量的性質，由結論①得

ab，dp■=γp■·a×b=0（8）

方程（8）的矩陣表示如下

1 0 0 1v■-v■ u■-u■u■v■

=（u■（u■-γu■）-（γ-1）u■u■）/（（1-γ）u■-u■+γu■）（v■（v■-γv■）-（γ-1）v■v■）/（（1-γ）v■-v■+γv■）u■v■-u■v■（9）

若γ已知，利用最小二乘法求出p1。同理，計算出p2，p3。

4.2 確定圓環點的坐標 根據射影幾何中的拉蓋爾理論，θ與比值μ的關系如下

μ=e2iθ（10）

根據射影變換下交比不變性和式（10），得如下推論：

推論1：設三角形abc的三個邊ab，ac，bc的滅點分別是p1，p2，p3，有

■（u■-u■） u■+u■-2u■■（u■-u■） u■+u■-2u■x■x■=■（u■u■-u■u■）■（u■u■-u■u■）

■（v■-v■） v■+v■-2v■■（v■-v■） v■+v■-2v■x■x■=■（v■v■-v■v■）■（v■v■-v■v■）

利用推論1，計算出mi，mj的圓環點坐標。

5 確定攝像機內參數

設ω=K-TK-1=c■ c■ c■c■ c■ c■c■ c■ c■，令C=（c1，c2，c3，c4，c5，c6）T，根據式（7）得如下方程

x■■-x■■ 2（x■y■-x■y■） 2x■ y■■-y■■ 2y■ 1x■x■ x■y■+x■y■ x■ y■y■ y■ 0C=0（12）

從不同的方位拍攝n幅圖像，然后求出每幅圖像的圓環點圖像坐標mil，mlj（l=1，2，…，n）。可以得到n個與式（12）相同的方程，將這些方程組合在一起得

AC=0（13）

其中A是一個2n×6的矩陣，當n？叟3時，矩陣C可以由式（13）唯一的確定。從而求出ω，然后對ω進行Cholesky分解即可確定攝像機的全部5個內參數。

6 實驗結果

為了檢驗算法的有效性，本文做了真實的圖像實驗，實驗采用的是佳能A2000數碼相機分辨率設定為640×480像素。在真實圖像實驗中， 攝像機從不同方位拍攝3幅圖像。按文中方法計算，結果如表1所示。

表1 本文算法標定結果

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7 結論

本文給出了基于等邊三角形的攝像機自標定的一種方法。利用攝像機從3個或3個以上不同的方位攝取模板上的圖像，由圓環點圖像獲得關于攝像機內參數的約束方程，從而確定攝像機的內參數。真實圖像實驗表明，本文所提出的標定方法原理簡單，并具有較高的定標精度。

參考文獻：

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[2]張備偉，吳福朝.基于正十二邊行平面模板的攝像機自標定[J].安微大學學報（自然科學版），2000-12-25.

[3]林立財.基于混合優化算法的攝像機自標定方法研究[D].南昌航空大學，2009.

基金項目：

關于攝像機標定方法的研究（云南省教育廳項目）2013C165。

作者簡介：

禹旺勛（1982-），男，碩士，講師，河南駐馬店泌陽人，主要從事機器視覺方向研究。