基于MPSK信號的實用高精度的載頻盲估計研究

梁亞均，姚遠程，秦明偉

(1.西南科技大學信息工程學院，四川綿陽621010;2.特殊環境機器人技術四川省重點實驗室，四川綿陽621010)

在現代無線電通信中，無論是民用中對信號的監測，還是軍用中的電子對抗等，對信號的各種特性參數的盲估計都顯得尤為重要。信號的載頻估計是對信號下變頻、同步、正確解調等一系列處理的基礎。

當前及以前的許多信息工作者對不同類型調制信號的載頻估計理論及實現方法進行過較為深入的研究。當前載頻估計的方法有很多類，分為數據輔助類和非數據輔助類。數據輔助類主要用于協作式通信，非數據輔助類主要用于非協作式通信。譚舒［1］等人利用互相關累積算法對DS/BPSK信號的載頻估計進行了研究，這種算法在實際使用中不是很靈活，因為它要先設定平方濾波器的參數，濾波后再對信號進行處理，這樣可能會把有用信號濾除。鄭鵬［2］等人采用譜相關理論對DS－SS信號進行載頻盲估計，在低信噪比的情況下有很好的估計準確度，但是在進行高載波頻率估計時，算法計算量太大，不利于實際應用。王戈［3］等人利用頻率居中法與Welch功率譜估計方法相結合估計信號的載頻，雖然相對于單獨使用頻率居中法性能有很大提高，但是對于搜索拐點是一個難題，搜索是一遍一遍地重復進行直到找到為止，計算量太大，不利于實現。鄧振淼［4］等人把載頻盲估計分為粗估計和精估計兩次估計來實現，利用PSK頻偏信號是分段線性相位函數，且每一段的斜率正比于頻偏的性質，估計出頻偏，這種算法的估計精度很好，但是它要求與碼速率結合，這樣就要求有一定的先驗知識。Lars Haring［5］通過最大似然估計(ML)，H.Sols－Estrella［6］根據最小二乘法(LS)原理實現載頻估計，但是該算法的運算量太大，給實際應用帶來了困難。從W.Gardner［7］把循環譜密度函數運用到信號參數估計上以來，其算法不斷得到改進，其性能也得到了提升。本文將基于循環自相關和功率譜的理論提出一種能在高速、低信噪比的情況下實現高分辨率的載頻盲估計方法。先通過譜循環對載頻進行第一級的粗估計，然后對采樣信號進行數字下變頻，最后對下變頻后的信號用功率譜分析，對載頻進行精確的估計。將通過理論分析和MATLAB實驗仿真分析來說明新方法的正確性和性能指標以及在實際應用中怎樣才能夠實現此方法。

1 信號模型

MPSK信號可表示為

式中:Ts為碼元周期;g(t)是以Ts為寬度的門函數;fc是載波頻率;θm是MPSK相對應的相位變化值，同一碼元內θm取值相同;t0是信號的起始時刻;θ0為信號初始相位。在實際的應用中，由于信號的發送與接收經常受成形濾波的影響，使PSK信號的包絡呈現為升余弦形式。采用的升余弦濾波器為

式中:β為滾降因子，β∈［0，1］。為了簡化分析，假設t0=0，θ0=0，此假設并不影響分析結果。經過成形濾波后的MPSK信號可表示為

設接收到的信號為

式中:x(t)為接收信號部分;h'(t)為信道的脈沖響應;n(t)為加性噪聲。為了分析方便，令接收信號為

式中:A(t)為接收信號的包絡。

2 載頻盲估計算法分析

2.1 譜循環的基本理論

設x(t)為一循環平穩隨機過程［8］，定義其自相關函數為

式中:T為碼元周期;τ為延遲時間;E［·］表示求均值，則信號的循環自相關函數為

對于式(7)可進一步表達為

式中:U(t)=x(t)e－jπαt;V(t)=x(t)ejπαt。

式中:XT(t，f)是x(t)的短時Fourier變換;(f)稱為譜相關密度函數;Δt是所取平滑窗長度。

傳統MPSK信號的載頻估計基于式(5)和式(11)的運算得到載頻估計表達式

當M=2時，有

當M≥4時，有

式中:Q(f)=。

根據式(12)和式(13)在高信噪比時可以很好地估計出載頻。當分析按時間抽選的基－2 FFT算法時會發現，在實際中為了節省計算量，FFT算法是分為前后兩部分進行的。當對信號進行FFT變換時，會發現FFT變換后的圖形基本上是關于中心頻率對稱的，但是當分析其變換后的數據時，其數據并不是對稱的。因為對一個N=2l點的FFT變換時，它的后半部分是從前半部分變換得來的。

信號x(t)的N點FFT前半部分變換為

信號x(t)的N點FFT后半部分變換為

通過分析FFT變換，發現FFT變換后的前后兩部分相似，它們相關度很高，可以運用互相關理論對其分析。為了充分利用前后兩部分的相似性對式(11)做修改，得到

式中:X(k+Δt－n)，X'(N－k－n)分別表示x(t)經FFT后的前半部分和后半部分;α=0。

式(16)是載頻粗估計的計算式，雖然是粗估計，但是準確率很高。在本文提出的算法中，因為要在高速通信中達到高分辨率和減少計算量的情況下，用式(16)作為第一級的盲估計，其載波頻率為f1。

2.2 功率譜算法分析

功率譜估計載波頻率是常見方法之一，但是為了滿足實時高精度的要求，對采樣信號進行下變頻后，提出一種新的功率譜估計方法。

功率譜密度與自相關函數構成傅里葉變換對，信號的傅里葉變換用FFT來實現，利用式(6)得到功率譜密度函數為

式中:RX(τ)是接收信號的自相關函數。由式(5)可以得到

對于式(18)，令

由于噪聲n(t)與信號x(t)的相關性很小(理論上為零)，并且噪聲的自相關理論為零則可知R2(τ)，R3(τ)，R4(τ)趨近于零。將式(18)和式(19)代入到式(17)計算可得到

通過式(20)令其等式右邊的第1項到第4項分別為G1(f)，G2(f)，G3(f)和G4(f)通過計算得到

為了更好地消除噪聲的影響，通過2.1節中對FFT變換的分析，這里仍然要對式(20)變換后的結果分為前后兩部分作負相關，以此將G2(f)，G3(f)和G4(f)的值降到更小，來提高估計性能，得到估計頻率f2。

2.3 算法流程框圖

通過以上算法的分析可知整個算法的結構框圖如圖1所示。

圖1 算法流程框圖

圖1中，Δf是一次載頻估計后的頻偏 Δf=，cos(2πf1t)是本地產生的單頻信號。

算法步驟如下:

1)利用2.1節循環譜原理對接收信號進行一次載頻估計，得到估計頻率f1;

2)利用數字下變頻原理，對接收信號下變頻得到頻頻為Δf的信號;

3)利用2.2節功率譜估計原理，對頻偏為Δf的信號進行頻偏估計，得到頻偏f2;

4)最后得到信號的載頻為fc=f1+f2。

3 算法性能及運算量分析

3.1 算法性能分析

從式(16)可以知道平滑窗長度會影響最后的估計結果。當設定了平滑窗長度之后，FFT變換后系數的互相關長度也就確定了，它們之間成正比關系。利用信號的互相關來濾除噪聲，當選取平滑窗長度很小時，小到一定長度之內，噪聲也具有一定的相關度時就不能利用相關理論來濾除噪聲，在低性噪比的情況下就不能實現信號的載頻估計。為了對其有直觀的理解，通過MATLAB仿真來驗證其性能。表1是通過對BPSK調制信號的MATLAB仿真驗證結果。

表1 BPSK調制信號載頻估計的平滑窗正確率(P)分析表

表1中WL表示平滑窗長度。表1中的統計結果是在加性噪聲SNR從－5 dB到5 dB，采樣率為512 MHz，每一個P值是通過載頻在59.375 MHz到90.507 MHz以64 kHz為步進的固定平滑窗長度和信噪比的情況下的統計結果。通過表1可知在平滑窗長度太小時估計失效，大于68點的時候估計結果完全正確。通過分析可知，平滑窗長度的選取要根據具體的環境而定，選取長度并不是越長越好。在本系統的設計中平滑窗長度選為64點。

當利用式(12)來估計載頻時通過MATLAB仿真得到圖2所示結果，而利用式(16)估計載頻時通過MATLAB仿真得到圖3所示結果。將圖2和圖3對比可知，將FFT后的數據分為前后兩部分的估計效果要比直接對其做自相關的效果好。

圖2 BPSK調制信號載頻估計

圖3 BPSK調制信號估計結果

圖2和圖3是在信噪比為－8 dB，采樣頻率為512 MHz，BPSK 信號載頻為 3.2 MHz，采樣點數為 8 192的條件下的MATLAB仿真結果。從圖3可知載波頻點為50，根據頻率換算換算關系

式中:fs表示采樣率;m表示FFT點數;f'表示所估計的頻率值。

從式(22)和圖3的估計值可以得到BPSK的載頻為3.2 MHz，而根據圖2無法得出正確的載頻頻率。這說明根據式(16)所得估計值更為準確。這也是采用新方法的原因之一。

一次估計的性能已經很好，但是有時候需要更高的分辨率，而又不想擁有大量的計算量，就采用兩次估計及一次粗估計和一次精估計。當然分兩次估計的準確率會比一次估計性能差一點，但是與采用一次估計的計算量大到無法用現有的硬件來實現比較，還是愿意采用兩次估計。其計算量和性能分析將在下文說明。

3.2 計算量分析

本文提出的算法是基于循環自相關進行的。在一次估計中，首先對采樣的m點數據進行FFT變換，然后將FFT變換后的數據分成前后兩部分，在α=0的情況下運用自相關原理，使用頻域平滑對信號進行載頻估計。在二次估計中，首先對采樣的下變頻信號進行自相關運算，然后對采樣的n點數據進行FFT變換，然后把FFT變換后的數據分成前后兩部分進行互相關運算。

在一次運算中，FFT運算的乘法和加法次數分別為:mF=(m/2)·lbm和aF=mlbm，自相關運算和平滑窗運算的乘法次數和加法次數分別為:mR=m/2和aR=(m/2－L/2)·L，其中L表示平滑窗長度。在二次估計中，兩次自相關的乘法次數為:m'R=2·n/2，FFT運算的乘法和加法次數分別為:mF'=(n/2)lbn和aF'=nlbn。

用一組數據來具體反應運算量的大小，比如利用本文采用的數據來分析。一次采樣率為512 MHz，FFT變化點數為8 192點，平滑窗長度為64點。二次采樣頻率為512 kHz，FFT變換點數為8 192點。則總的乘法和加法次數分別為:118 784次和473 088次。這樣的計算量如果采用Xilinx公司的V4系列的FPGA完全可以滿足。

在上面的分析中提到，本算法采用了兩次估計的方法來做載頻估計，這是為了提高載頻估計的分辨率，而運算量和運算方法又必須要滿足當前硬件條件。比如本文采用的一次估計的分辨率為64 kHz，二次估計的分辨率達到64 Hz，最終分辨率為64 Hz。如果采用一次估計就要達到64 Hz，那么一次FFT變換點數就必須為8M個點，這在現有的硬件是無法實現的。

4 仿真結果及分析

為了說明仿真的正確性，在MATLAB中給出了高斯信道、多徑瑞利衰落信道、多徑萊斯衰落信道的仿真結果圖，如圖4～圖6所示。

圖4～圖6的采樣頻率為512MHz，BPSK信號載頻為3.2 MHz，采樣FFT變換點數為8 192。高斯信道噪聲為－5 dB;多徑瑞利衰落信道的多普勒頻偏最大值為2 kHz，多普勒頻譜特性為Jakes;多徑萊斯衰落信道K因子為0.5，多普勒最大頻偏為2 kHz，多普勒頻譜特性為Jakes。

圖4 高斯信道仿真

圖5 多徑瑞利衰落信道仿真

圖6 多徑萊斯衰落信道仿真

從式(22)和圖4～圖6的估計值可以計算得到BPSK的載頻為3.2 MHz，仿真結果與理論相符，說明了算法的正確性。

圖7和圖8在以下條件下進行:符號率選取以64 kbit/s為步進從64.6 kbit/s到25 Mbit/s的變化值，載波頻率選取以320 kHz為步進從323 kHz到125 MHz的變化值，一次估計的采樣頻率為512 MHz，一次估計的FFT變換點數為8 192點，一次估計的平滑窗長度選64點，二次估計采樣率為512 kHz，二次估計的FFT變換點數為8 192點，仿真中SNR是從－5 dB到5 dB。完成了BPSK，QPSK，8PSK的載頻盲估計的仿真。

圖7 一次載頻估計統計結果

不難理解一次估計的準確率要比二次估計高。從統計結果可以知道當SNR=－5 dB時，一次估計方法就具有了一定的實用性。從表1可知，如果想要準確率再提高，可以加長一次估計的平滑窗長度，通過本文前面對本算法的計算量分析可知，只要平滑窗長度控制在合理的范圍內，計算量還是不大，當前硬件是完全可以實現的。

圖8 二次載頻估計統計結果

5 總結及展望

本文提出了一種新的MPSK盲載頻估計方法，是信息提取的基礎之一。通過研究FFT算法，給出其特點，并利用其特點來估計載頻，將計算量降到完全可以實現的條件下。再運用自相關可以濾除噪聲的特點，從而不必為濾除噪聲而專門設計濾波器，從而達到易于實現的目的。通過二次估計提高了載頻的估計分別率，當然在提高分辨率的同時，估計的準確率有所下降。在MPSK的載頻估計中，此算法可以快速、精確地實現。當然載頻估計的方法有很多，對于不同信號在不同條件下的具體應用可能還需要對算法進行優化，甚至選用其他算法，在以后的工作中還會繼續對載頻估計進行較為深入的研究，更好地適應現代高速和可靠的通信系統。

［1］譚舒，呂明，成昊，等.DS/BPSK信號載頻估計方法的研究［J］.信息技術，2006(7):117－119.

［2］鄭鵬，張鑫，劉鋒.基于時域平滑循環周期圖的直擴信號載頻估計［J］.中國電子科學研究院學報，2011，6(5):530－532.

［3］王戈，嚴俊.一種基于功率譜估計的盲載頻估計新算法［J］.計算機工程與應用，2012，48(13)，114－118.

［4］鄧振淼，劉渝.MPSK信號載頻盲估計［J］.通信學報，2007，28(2):94－100.

［5］ HARING L，BIEDER S，CZYLWIK A，et al.Estimation algorithms of multiple channels and carrier frequency offsets in application tomultiuser OFDM systems［J］.IEEE Trans.Wireless Communications，2010，9(3):865－870.

［6］ SOLIS－ESTRELLA H，OROZCO－LUGO A G.Carrier frequency offset estimation in OFDMA using digital filtering［J］.IEEEWireless Communications Letters，2013(2):199－202.

［7］ GARDNERW A，SPOONER CM.Signal interception:performance advantages of cyclic－feature detectors［J］.IEEE Trans.Communications，1992，40(1):149－159.

［8］鄭鵬，張鑫，劉鋒，等.窄帶干擾下基于循環譜的 BPSK直擴信號盲檢測［J］.電視技術，2012，36(7):78－81.

［9］ GARDNER W A，BROWN W A，CHEN C K.Spectral correlation of modulated signals:part II－digitalmodulation［J］.IEEE Trans.Communications，1987，35(6):595－601.

［10］ LIYingxiang，YIMin，YANG Qin，et al.Low SNR BPSK signal chip rate estimation using a wavelet based spectral correlation algorithm［C］//Proc.45th Midwest Symposium on Circuits and Systems.［S.l.］:IEEE Press，2002:247－249.