PISA數學素養測評試題的情境設計探析

許世紅

PISA2015的數學素養測評沿用PISA2012對數學素養的界定和測評模型。數學素養指的是“在各種各樣現實情境中表達、運用和解釋數學的個人能力，包括數學推理能力，運用數學概念、規則、定理和工具描述、解釋和預測現象的能力；即作為一個積極主動、關心社會、善于思考的現代公民，在現實社會中遇到問題時能夠順利激活其具有的數學知識和數學能力去解決問題，并做出有理有據的數學判斷和決策”1。因此，PISA對數學素養的測評緊密圍繞解決現實生活中的問題來展開，問題的情境性成為PISA試題最為顯著的特征。本文著重剖析PISA2012公開樣題的情境特征，以期啟發和優化我們的數學試題情境設計與評價。

一、情境的涵義與類別

（一）情境與數學情境的涵義

在心理學中，情境被界定為：在特定環境背景下，個體行為活動的即時條件，包括個體既成的人格傾向、當時的認知、情緒、意向特點等主體條件；也包括當時周圍的環境，尤其是進入個體意識范圍的環境。該界定強調“情境”具有兩個維度：一是認知主體，二是認知主體所處的客觀環境2。從系統論觀點看，情境關注的是一個系統以及在這個系統中，主體之間、主體與所處環境中的材料資源、信息資源和概念性資源所發生的交互作用。

在PISA數學素養測評中，與“情境”對應的英文是“context”。PISA認為，數學素養的一個重要方面就是在現實情境中運用數學解決問題。其中，情境就是問題所處的個體現實世界的一部分，它主要強調兩點：一是情境與個體利益相關，二是情境與問題緊密相連。由于PISA測評的是各國15歲——近義務教育結束時的孩子走向社會所應具備的數學知識和技能，因此，情境設計需要盡可能廣泛地考慮個體興趣的發展空間，還應盡可能聯系21世紀社會發展的空間。

（二）數學情境的分類

根據PISA2015數學素養測評框架，數學素養測評中涉及的情境分為四種類型：個人的（Personal），職業的（Occupational），社會的（Societal），科學的（Scientific）。

個人情境，重點關注與個體自身、個體所在家庭、個體同伴等相關的日常活動，例如：食品準備、購物、游戲、個人健康、個人交通、運動、旅行、個人日程安排、個人理財，等等。

職業情境，重點關注的是工作環境，例如：測量、計算成本和采購建筑材料，工資/會計，質量控制，調度/庫存，設計/架構，與工作有關的決策，等等。雖然PISA調查的對象只是15歲學生，但職業情境可能涉及從非技術性至最高技術水平等各種層次的工作。

社會情境，重點關注的是個體所在社區（可以是本地，也可以是國家或全球），例如：投票系統，公共交通，政府，公共政策，人口統計，廣告，國家統計，國家經濟，等等。盡管個體是以個人方式處理所有這些事情，但社會情境類問題的焦點仍是社會視角。

科學情境，涉及的是運用數學解決與自然界、與科學技術相關的專題，例如：天氣或氣候，生態，醫學，空間科學，遺傳學，測量學，數學自身世界，等等。

二、數學情境的分布與使用

（一）數學情境的分布

出于公平的角度考慮，PISA數學素養測評試題會盡量涵蓋所有四種類型的情境，并盡量保證四種類型的情境所占的比重都一樣。即：

個人情境∶職業情境∶社會情境∶科學情境=25%∶25%∶25%∶25%

一般情況下，同一單元的數學試題的情境是同一種類型。另外，PISA命題也盡量保證每類情境中的數學試題的難度分布盡量廣泛，對數學知識與技能需求的覆蓋面也盡量擴大，且每類情境的試題難度大致相當，并具有較高的區分度，以反映學生所面臨的社會挑戰。

（二）情境設計與使用的案例分析

下面以PISA2012公開樣題3為例，分別按照四類情境來分析樣題相應單元的情境設計與使用特點。

1. 個人情境案例。

單元“騎自行車者海倫”（參見《PISA2012數學素養測評樣題》一文）的問題情境設計與使用分析：用自行車作為個人交通工具，是現實生活中隨處可見的情形，因此本情境屬于個人范疇，且具有較好的公平性。與交通情境關聯的是數學行程問題，涉及路程、速度和時間三個變量，屬于變量與關系的內容領域。

問題1設計的本意是比較“4公里與2公里”“10分鐘與5分鐘”，當路程比與時間比相同時，兩段路程的速度則相同。當然，也可以計算出兩段路程的速度都是0.4公里/分鐘，從而得出答案。但如果學生通過計算出更為復雜的結論（如：算出速度是24公里/小時）再做出判斷，也未尚不可。

問題2設計的本意是考查對速度定義的理解，通過簡單的比例推理：18公里用1小時，則1/3的路程（6公里）需要用1/3的時間，即20分鐘。當然，考生可以選擇用行程公式來計算所需時間，再進行單位換算，也可以選擇其它的計算途徑。

問題3則要求考生理解平均速度的本質即總路程與總時間的比：（4+3）÷（9+6）×60=28km/h。當然也可以通過簡單的比例推理得出（15分鐘騎7公里，1小時則共騎28公里）。但是，不能用兩段路程的平均速度（26.67km/h、30 km/h）直接求算術平均值求得總路程的平均速度：（26.67+30）÷2≈28.3 km/h。也就是說：考生的直覺是錯誤的。

本單元三個問題的情境雖然都是騎自行車旅行，但由于設問的角度不同，每個問題情境的復雜程度不同，所關聯的數學知識復雜度也不同。解決問題的難度呈遞增形態。問題1僅涉及兩個簡單比例的比較，難度等級為2；問題2涉及速度與路程兩個變量，還需要對時間單位進行轉換，難度等級為3；問題3需要考生根據條件求出新的路程與時間，再求出平均速度，難度等級為6。

2. 職業情境案例。

單元“車庫”（參見《PISA2012數學素養測評樣題》一文）的問題情境設計與使用分析：雖然不是每個考生家里都有車庫，但車庫是房屋的一種卻是現代公民應具備的常識。設計車庫需要完成相應的圖紙繪畫，建造車庫則必須讀懂相應的設計圖紙，因此，本情境屬于職業范疇。由于車庫構造涉及空間可視化問題，因此解決問題所需的數學知識屬于空間與形狀的內容領域。

問題1首先需要考生明白怎么根據從前面看的三維視圖，來判定從后面看的三維視圖的特征，然后做出選擇。有些考生在心中將三維視圖旋轉180°就找出了答案；有些考生則需要分析車庫多個特征的相對位置（如門、窗、最近角落等），通過明確推理來做出選擇；還有的考生可能俯瞰圖形，想象圖形旋轉后的情形進行推斷；等等。

問題2需要考生從正視圖中讀取屋頂斜高的水平分量和垂直分量，用勾股定理求出斜高（也可以通過測量估算得出）；從側視圖中讀取屋頂的水平邊長；再求出構成屋頂的兩個相同矩形的面積和。

本單元二個問題的情境從不同角度說明了建筑行業所需要的基本素養，一是三維視圖的不同角度的等價畫法與讀法；二是在三維視圖不同視角的平面視圖上標注相關尺寸，從平面視圖中讀取相關數據完成相應計算。顯然，問題1僅涉及圖形特征的辨析，難度較低，等級為1；問題2涉及從圖中導出數據信息、多步驟計算，難度等級為6。

3. 社會情境案例。

單元“唱片”（參見《PISA2012數學素養測評樣題》一文）的問題情境設計與使用分析：知識型社會對數據有很強的依賴性，而數據常常用圖表來表征。商業銷售（如唱片發售）中經常使用圖表來描述和比較銷售額的變化，以便做出合理決策。因此，該情境屬于社會范疇。閱讀和理解圖表、探索圖表隱含的數據規律，則屬于不確定性和數據的內容領域。

問題1僅需要考生從條形圖中讀出特定樂隊在某個月的新唱片銷售額，難度較低，在水平1以下。問題2則需要考生從條形圖中比較兩個特定樂隊新唱片銷售額的變化，找出符合條件的月份，難度不大，等級為1。問題3則需要根據樂隊B新唱片從2月至6月銷售額的下降趨勢估算從6月至7月的下降額，推算出7月的銷售額。15歲考生大都掌握了這種計算方法，所以難度等級為2。

4. 科學情境案例。

單元“旋轉門”（參見《PISA2012數學素養測評樣題》一文）的問題情境設計與使用分析：在寒冷或熱帶地區，為了防止熱量進入或流出建筑物，常常使用本題所說的旋轉門。旋轉門設計與使用涉及到專業的科學技術知識，因此，屬于科學范疇。本單元三個問題的情境從不同角度說明了旋轉門設計需要考慮的各種因素。

問題1似乎很簡單：圖形已經顯示兩片旋轉翼之間的角度應該是360°÷3=120°，但考生反饋本題的難度等級是3。本題的難度可能在于：一是將現實問題中立體的旋轉門轉化為數學問題中的平面圓；二是將現實問題中立體的旋轉翼轉化為數學問題中的圓的半徑；三是將“旋轉門的兩個旋轉翼的角”轉化為數學問題“圓中兩條半徑的夾角”；四是旋轉門中有三個旋轉翼，到底求哪兩個旋轉翼間的角呢，需要考生分析。本題所需的數學知識屬于空間與形狀的內容領域。

問題2需要考生充分理解“要使空氣無法在出口與入口之間自由流動”的意義，并將其轉化為“條件給出的圖中未正對出入口的兩個旋轉翼間的部分應與墻壁完整密閉”；然后，根據圖形對稱性得出，旋轉門應至少有2/3的圓周是密閉的，也就是說，旋轉門最多只有1/3的圓周可以開放出來形成出口與入口；再根據圓的對稱性，可知出口和入口的長度相等，均不能超過圓周的1/6，即。該題屬于最具挑戰性的問題，難度等級為6。本題所需的數學知識屬于空間與形狀的內容領域。

問題3需要考生將一系列的現實信息轉換為數學信息，如：將“旋轉門每分鐘轉4圈”轉化為“每分鐘有4×3=12次機會抵達入口”；將“每個空間最多容納2個人”轉化為“每分鐘最多有12×2=24個人抵達入口”。因此，30分鐘內最多有24×30=720人從旋轉門進入大樓。本題主要涉及數量計算，所需的數學知識屬于數量的內容領域。由于邏輯推理鏈條較多，需要進行適當的協調，本題難度等級為4。

三、數學情境帶來的啟示

（一）將情境從分類和分布角度細化可幫助命題者提高情境設計的針對性

隨著我國數學課程改革的推進與深化，數學教育愈加重視對問題情境的創設及其有效性的探索，但對命題中的情境設計還缺乏系統性的研究。PISA不僅對問題情境進行了界定，還將問題情境從分類、分布的角度進行細化與分解，并將抽象情境用一個個事例進行具體的描述和說明，使之具有較強的可操作性。這種研究方法值得我們思考和借鑒，可以應用到我們的命題實踐中，以提高命題的針對性和有效性。

（二）情境真實才能激發學生的學習興趣

PISA的問題情境（如騎自行車、車庫建造、光盤銷售、旋轉門）均來源于真實生活，是學生日常生活能夠接觸到的，為學生所熟悉，讓學生感覺很親切。這有利于學生在個人生活經驗和已有的數學知識之間建立關聯，也比較容易引起學生的共鳴，從而能夠有效激發學生對數學的興趣。

（三）情境與數學緊密相容才能有效考查出學生的數學素養

PISA的問題情境不僅真實，而且與數學內容聯系緊密。PISA采用單元模式設計問題串，每組問題串情境的逐步展開與數學知識技能的運用難度相匹配，能夠激活學生對所學數學知識的深入理解和靈活運用，而不是僅僅牽引出對數學知識的簡單識記與復述。這種創設情境的方式有利于學生逐步通過辨別、比較、分析、綜合、抽象等活動，既深化對所學知識的理解，又將思維逐步引向深化，以有效區分不同層次學生的數學素養水平。

（四）情境公平才能避免測評結果出現偏差

PISA選擇問題情境時，特別注意情境的時代性與公平性。無論是騎自行車、車庫構造，還是唱片銷售、旋轉門，都是當今時代的15歲學生很熟悉的生活情景。這樣可以有效避免因試題情境的不公平而造成的考題的功能偏差，能夠更好地反映出考生群體的真實水平。

參考文獻：

1. OECD， PISA 2015 Draft Mathematics Framework. March 2013，p5.http：//www.oecd.org/pisa/pisaproducts/Draft%20PISA%202015%20Mathematics%20Framework%20.pdf

2. 谷傳華. 情境的心理學內涵探微[J].山東師范大學學報（人文社會科學版）， 2003年第48卷第5期，99-102.

3. PISA 2012 Results Volume 1. What Students Know and Can Do： Student Performance in Mathematics， Reading and Science. P125-142. www.oece-pisa.org.