考慮開槽的分數槽集中繞組永磁同步電機電樞反應磁場解析計算

林 福 左曙光 馬琮淦 譚欽文

（同濟大學新能源汽車工程中心 上海 201804）

1 引言

分數槽集中繞組的每個線圈鑲嵌在一個定子齒上，它有如下優點[1]：提高槽滿率，增加功率密度；削弱諧波分量，改善反電動勢波形的正弦性；減少線圈端部長度，各個線圈組端部沒有重疊，不必設相同絕緣；便于使用專用繞線機，取代傳統嵌線工藝，提高工效。總之，分數槽集中繞組有利于提高永磁同步電機的效率和功率密度，節約成本。然而，不同于整數槽集中繞組，分數槽集中繞組的排列方式比較復雜，不同極槽配合的電機繞組排列的規律不同，從而增加了其電樞反應磁場解析計算的難度。

為了得到較大的電動勢和減少齒槽轉矩，對于分數槽集中繞組單元電機的槽數Z0和極對數p0應盡量滿足 Z0≈2p0，常見的三種極槽配合方式為Z0=2p0±1，Z0=2p0±2，Z0=2p0±4[2,3]。目前在國內，關于分數槽集中繞組產生的磁場的解析計算研究較少，文獻[2]對三種不同極槽配合的單元電機的繞組系數進行計算，分析了各諧波成分所占的比例，但是它將單個線圈產生的磁場假設成為脈振矩形磁場，而且忽略了磁場在徑向上的變化；文獻[4]只對8 極9 槽的單元電機的繞組磁動勢進行了計算，并沒有提出統一的電樞反應磁場的解析表達式，而且文獻[2,4]都未將開槽因素考慮在內，并且缺乏相應的驗證。在國外，文獻[5-7]通過求解二維極坐標下的拉普拉斯方程，并將開槽因素考慮在內，得到了考慮開槽的電樞反應磁場，解析計算的結果與有限元計算結果得到了很好的吻合，然而，它們也并沒有針對分數槽集中繞組的分布規律提出統一的解析表達式。綜上所述，由于分數槽集中繞組的分布方式復雜，鮮有文獻對其產生的磁場提出一般的解析表達式，而且都未討論開槽對電樞反應磁場的諧波成分和幅值的影響，因此，對于分數槽集中繞組永磁同步電機，有必要對電樞反應磁場的一般分布規律進行研究。

本文從單個線圈產生的磁場出發，針對三種常見的極槽配合方式，根據其磁場的空間分布矢量圖，得到了電樞反應磁場的解析表達式，并通過復數氣隙比磁導將開槽對電樞反應磁場的影響考慮在內，并且分析了考慮開槽的磁場的諧波成分，最后將解析計算的結果同有限元計算的結果進行對比。

2 單元電機電樞反應磁場

2.1 單個線圈產生的磁場

設原電機的相數為m，定子槽數為Z，永磁體極對數為p。若滿足Z 和p 之間有最大公約數N0，且Z0=Z/N0為m 的整數倍，則原電機有N0個槽數為Z0極對數為p0的單元電機組成，原電機的電樞反應磁場可以看成單元電機磁場在空間上重復N0次。

為方便分析，作如下假設：

（1）鐵心的磁導率為無窮大。

（2）忽略電機端部的影響。

（3）永磁材料磁導率與空氣的相等。

分數槽集中繞組一個匝數為Ns的線圈，繞組的節距y=1，通入角頻率為ω、最大值為I 的余弦交流電i(t)=Icos(ωt)。設α=0 處與線圈的中心重合，單個線圈的繞組磁場分布為[8]

式中，Bmμ是μ 次磁場分量的幅值，且

式中 μ0——真空磁導率；

Rs——定子半徑；

a——并聯支路數；

b0——槽口寬度；

r——所要求解處的半徑；

Rr——轉子半徑；

αy——單元電機繞組節距，αy=2π/Z0；

α0=b0/Rs。

圖1 所示為單個線圈產生的磁場分布，有些文獻將單個線圈產生的磁場假設為脈振矩形磁場，顯然這忽略了圖中所示的突起部分和磁場沿徑向上的差異，這對于感應電機等氣隙較小的電機而言誤差較小，而對于表貼式永磁電機，由于其有效氣隙長度較大，需考慮磁場沿徑向上的變化[9]。

圖1 單個線圈產生的磁場Fig.1 The field produced by single coil

2.2 單元電機A 相繞組產生的磁場

單元電機的每極每相槽數q 為

式中，N/d 是不可約的真分數。

電機通常按照60°相帶劃分相帶，采用雙層繞組時，N 是能夠串聯在一起組成1 個線圈組的線圈數。本文只對雙層繞組進行分析。

由于不同極槽配合的的分數槽集中繞組，其排列形式不同[2,10]，下面分別對常見的 Z0=2p0±1，Z0=2p0±2，Z0=2p0±4 三種極槽配合的單元電機的電樞反應磁場進行分析。

2.2.1 Z0=2p0±1

N 為奇數，Z0為奇數，定子圓周被均分為3 個區間，每一個區間占2π/3 空間機械角度，三相各占據1 個區間。例如Z0=9，p0=4 或5 和Z0=15，p0=7或8，單元電機的線圈排列方式為AaABbBCcC 和AaAaABbBbBCcCcC，A 相繞組產生的磁場分布圖如圖2a 和圖2b 所示。

圖2 A 相繞組磁場分布圖Fig.2 Diagram of field produced by phase A winding

由圖2 可得到單元電機A 相繞組產生的磁場為

式中，αt為單元電機相鄰兩個線圈的空間夾角，對于雙層繞組，顯然αt=αy=2π/Z0。

2.2.2 Z0=2p0±2

N 為偶數，Z0為偶數，定子圓周被均分為6 個區間，1 個區間占π/3。例如Z0=12，p0=5 或7 和Z0=24，p0=11或13的單元電機的線圈排列方式為AabBcCaABbcC和AaAabBbBCcCcaAaABbBbcCcC，A 相繞組產生的磁場分布矢量圖如圖2c 和圖2d 所示。

從圖2 得知，在一個圓周上，空間相差180°的兩個線圈產生的磁場大小相等，方向相反，因而可認為單元電機A 相繞組產生的磁場認為由[0,π]和[π,2π]兩部分磁場組成，且這兩部分磁場大小相反，在空間上相差π。

[0,π]上的磁場為

[π,2π]上的磁場為

因此單元電機A 相繞組產生的磁場為

2.2.3 Z0=2p0±4

N 為奇數，Z0為偶數，N 個線圈不再連續分配同一個區間，被分為兩部分，一部分有(N-1)/2 個線圈，一部分有(N+1)/2 個線圈。例如Z0=18，p0=7 或11 和Z0=30，p0=13 或17，單元電機的線圈排列方式為ABbcaABCcabBCAabc 和AabBbcCAaABbcCca-ABbBCcaAabBCcC，A 相繞組產生的磁場分布圖如圖2e 和圖2f 所示。

同Z0=2p0±2 極槽配合下的繞組分布相同，該單元電機 A 相繞組產生的磁場也可以認為由[0,π]和[π,2π]兩部分磁場組成，同樣這兩部分磁場大小相反，在空間上相差π。

[0,π]上的磁場為

[π,2π]上的磁場為

因此單元電機A 相繞組產生的磁場為

2.3 單元電機三相繞組的合成磁場

單元電機定子三相繞組等效軸線空間上彼此相差2π/3 機械角度。當對稱的三相繞組通入時間上彼此相差2π/3 的對稱三相交流電時，單元電機A、B、C 三相繞組合成磁場為

由式（3）、式（6）和式（9）可知單元電機的三相繞組產生的μ 次諧波磁場可表達成一般形式

當μ 為3 的整數倍數時，單元電機的μ 次電樞反應磁場分量為

所以單元電機的電樞反應磁場不包含次數為3的整數倍的諧波成分。從式（6）和式（9）可以看出對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 的極槽配合的單元電機還不包含偶數次的諧波成分。

3 復數氣隙比磁導

進入定子槽的磁場基本集中在槽口附近，所以可將實際的半開口槽用一無限深的徑向開口槽代替，如圖3 所示。圖中，α1為定子槽下沿角度；α2為定子槽上沿角度；αs為定子槽距角。

圖3 S 平面的槽模型Fig.3 Slot model in the S plane

如圖4 所示，通過4 組保角映射，把實際定子有齒槽變換為無齒槽進行分析，從而得到復數氣隙比磁導。S 為變換前的實際有齒槽的坐標系；Z、W、T 為中間坐標系；K 為變換后的無齒槽的坐標系。坐標系之間按式（13）變換[11,12]。

圖4 保角映射的基本步驟Fig.4 Basic steps of conformal mapping

由以上四組保角映射可得到復數氣隙比磁導

由于切向磁場相對于徑向而言較小，因此本文不考慮復數氣隙比磁導的虛部，而只考慮其實部。可將比磁導實部表示成傅里葉級數形式

對于具有表1 參數的半閉口槽電機，其在永磁體表面處的一個槽距內的復數氣隙比磁導的實部如圖5 所示。

表1 電機主要結構參數Tab.1 Main parameters of PMSM

圖5 一個槽距內的復數氣隙比磁導的實部Fig.5 Real part of complex relative airgap permeance in one slot pitch

4 原電機的電樞反應磁場

由式（10）和式（15）可得到考慮開槽的原電機的電樞反應磁場為

原電機的電樞反應磁場在空間上表現為單元電機電樞反應磁場的重復，重復次數為單元電機個數N0。因此，原電機的電樞反應磁場不包含次數為N0μ(μ=3,6,9,…)的諧波成分；而且對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 的極槽配合的原電機還不包含次數為N0μ(μ=2,4,6,…)的諧波成分。

由式（15）和式（16）可知，開槽會引起次數為N0(μ±nZ0)的諧波成分。然而由前面的分析可知，電樞反應磁場的諧波次數μ 不為3 的整數倍，而Z0為3 的整數倍，所以(μ±nZ0)不為3 的整數倍，而且對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 極槽配合的原電機，Z0為偶數，由于μ 不為2 的整數倍，所以(μ±nZ0)不為2 的整數倍。因此，對于原電機而言，開槽并不會引起額外的諧波成分，而主要引起次數為N0(μ±nZ0)的諧波成分的幅值發生變化。

5 與有限元結果對比

本文借助有限元軟件對表2 所示的12 對極27槽、14 對極24 槽、14 對極36 槽三種不同極槽配合方式的永磁同步電機的氣隙中間處的電樞反應磁場分布進行計算，所取的線圈匝數為13，電流幅值為50A，將解析法計算的結果與有限元法計算的結果進行對比，如圖6 所示。由圖6 可以看出，解析法計算的結果與有限元法計算的結果能夠很好地吻合。

表2 三種不同極槽配合的電機Tab.2 Three kinds of PMSM with different pole and slot combinations

圖6 解析法和有限元法的電樞反應磁場對比Fig.6 Comparison of armature reaction field calculated by analytical method and FE method

6 諧波分析

圖7 為三種電機的電樞反應磁場諧波分析圖，由圖7a 可知，對于12 對極27 槽電機，電樞反應磁場主要包括次數為N0μ(N0=3,μ=1,2,4,5,7,8,10,…)的諧波成分，由圖7b 和圖7c 可知，對于14 對極24槽和14 對極36 槽電機，電樞反應磁場主要包括次數為N0μ(N0=2,μ=1,5,7,11,13,…)的諧波成分，這與前面的分析一致。

圖7 電樞反應磁場的諧波分析Fig.7 Harmonic analysis of armature reaction field

圖8 為14 對極24 槽永磁同步電機開槽和不開槽時電樞反應磁場諧波分析對比圖，從圖中可以看出，開槽并沒有引起額外的諧波分量，而主要改變了次數為N0(μ±nZ0)的諧波成分的幅值。

圖8 不開槽和開槽時的諧波分析對比Fig.8 Comparison of harmonic analysis without and with slotting effects

7 結論

本文通過不同極槽配合的分數槽集中繞組永磁同步電機繞組排列方式的分析，得到了電樞反應磁場的解析表達式，并通過復數氣隙比磁導，考慮開槽對磁場的影響，解析計算的結果與有限元計算的結果的得到了很好的吻合，并且得到如下幾個結論：

（1）對于分數槽集中繞組電機，原電機可以認為由N0個單元電機構成，原電機電樞反應磁場所存在的諧波次數是單元電機電樞反應磁場所存在的諧波次數的N0倍。

（2）對于Z0=2p0±1 極槽配合的電機，電樞反應磁場包含次數為 N0μ(μ=1,2,4,5,7,8,10,…)的諧波分量。對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 極槽配合的電機，電樞反應磁場包含次數為N0μ(μ=1,5,7,11,13,…)的諧波分量。

（3）定子開槽并不會引入額外的諧波分量，而主要引起次數為 N0(μ±nZ0)的諧波成分的幅值發生變化。

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