電磁場逆問題數值分析的多目標量子進化算法

王 寧 楊仕友

（浙江大學電氣工程學院 杭州 310027）

1 引言

工程電磁場逆問題或優化問題一般歸結為有約束的多（沖突）目標函數的數學規劃問題。對于這類優化問題，由于存在不同目標的無法比較和沖突現象，不可能存在使得所有目標都取其極值點的最優解。因此，對于多目標函數的數學規劃問題，通常存在一系列無法進行簡單相互比較的可行解，即以不同權因子考慮各目標函數的最優折衷解，Pareto 最優解。因而，為了給決策者提供考慮側重不同目標函數權重的多種優化設計方案，以便其根據系統或設備的運行條件和環境做出明智的抉擇，理想的多目標優化算法必須具有能夠搜索到并均勻采樣整個Pareto 最優解的能力。由于在一次運行中能夠搜索到多組不同的潛在最優解，近年來人們廣泛開展了多目標／矢量進化算法（EA）研究[1-9]。研究表明，矢量進化算法能夠有效地搜索到多目標優化問題的Pareto 解，目前已經成為多目標優化問題的標準算法。

然而，為了實現全局搜索和局部細化搜索的平衡，必須精確設計進化算法的結構和參數，如種群規模、變異操作、母本選擇和遺傳和生存競爭機制等[10]。同時，現有工作主要集中于如何設計算法使之能夠搜索到Pareto 真解方面，但在如何解決算法收斂性和計算效率這一矛盾問題的研究成果則相對較少[11]。此外，現有進化算法無一例外地包括選擇、交叉和變異等遺傳算子。無論從理論上還是從數值實現方面來說，這些算子都十分復雜。因此，為了克服遺傳算子的上述不足，近年來人們開始研究基于概率模型的進化算法（EAPM）[12]。

量子進化算法（QEA）是一種EAPM 算法[10,13]，具有EAPM 算法上述的固有優點。通過將量子物理和量子計算原理應用于傳統的進化算法，QEA 在搜索過程中可以很容易地實現全局搜索和局部細化搜索的平衡。此外，QEA 的另一特征是種群規模較小，只需要少數個體的迭代即可在較短時間內有效地探索整個可行空間[10]。需要說明的是，目前應用QEA計算多目標電磁場逆問題的研究成果還很少。有鑒于此，本文在目前流行的單目標QEA 算法[10]的基礎上提出了一種矢量QEA 算法，并將其應用于典型工程電磁場逆問題的分析和計算。

2 矢量QEA 算法

2.1 QEA 算法

在量子計算中[10,14]，最小的信息單元是一由一對復數[α β]T組成的量子位或Q 位。量子位[α β]T可能處于“1”或“0”狀態，以及二者的任意組合。Q 位[α β]T的狀態可表示為

其中，|α|2和|β|2分別表示Q 位處于“0”或“1”的概率，二者滿足如下的歸一化條件：

與傳統進化算法使用的位串對應，由m 個Q 位組成的量子位串為

與傳統位串不同，由Q 位組成的量子位串是優化變量取值的一種概率表示。因而QEA 的種群具有更好的多樣性[10]。值得注意的是，由于式（3）表示的是優化變量的取值概率，一般通過觀察或測量量子位串獲得某一個特定的二進制位串（個體）。

為控制量子位i 使其向最優解進化，QEA 在迭代過程中一般根據已經搜索到的優異解，通過量子門更新量子位取0 和1的概率αi和βi,。量子門是一個可逆的門，滿足U+U=UU+，（其中U+是U 的厄密伴隨矩陣）。QEA 應用的量子門一般有非門、控制非門、旋轉門和Hadamard 門等[10,13]。

2.2 適值計算

為了搜索Pareto 最優解，本文算法采用矢量進化算法中普遍應用的排序法計算某一個體的適值[15]。這種方法一般只能定性確定兩個個體之間的“支配”關系而不能確定某一個體優于另一個體的目標函數總數。為解決這一問題，對多目標極小化問題，本文引入了如下定義的目標函數優異量，即

式中，N 為種群規模；m 為目標函數的數量；sign(x)為符號函數，且

同時，為進一步考慮某一具體目標函數的改進“程度”，本文又提出了如下的目標函數改進“度”：

綜合式（5）和式（6），目標函數的改進偏移總量為

式中，w1為權因子。

將式（7）的改進偏移總量融于個體適值的賦值計算式，有

2.3 當前最優解的選取

前已述及，多目標優化問題的解不唯一，為一系列Pareto 最優解。因此，即便應用本文提出的適值賦值式（8）計算適值，不同Pareto 最優解的適值也可能相同。這一特點將增加當前最優點選取的困難。另一方面，某一個體的當前最優解可能在連續多個搜索周期內保持不變，進而引起算法的多樣性變差、算法不能均勻采樣Pareto 最優解。此外，如果當前最優解總是從Pareto 最優解中隨機選取，算法的收斂性能又將下降。

為解決上述問題以保證算法全局搜索和局部細化搜索之間的良好平衡，本文算法引入了指示器矢量in(t)。指示器矢量的第j 個分量inj(t)記錄個體j當前搜索到的最優解 bj(t) 被選為優異解更新相應量子位的次數。引入該指示器矢量后，在選擇優異個體更新量子位時，優異個體bj(t)被選中的概率與inj(t) 的值成反比。此外，如果某一in(t) 分量的值超出了設定的臨界值，為了避免在相應的優異個體周圍進行不必要的細化搜索而浪費計算資源，算法將自動舍棄該最優解。

2.4 信息共享

為簡化矢量QEA 的結構與實現過程，本文算法刪除了標量QEA 算法的最低水平的信息共享操作。為共享不同量子的信息以加快算法的收斂速度，并同時保持種群的多樣性，借鑒粒子群算法的基本思想，量子位個體的優異解定義并更新為在最近Nl代搜索到的最優解。由于一個優異解最多只能保持N 代，本文提出的信息共享機制可以確保種群的多樣性。

2.5 偏移角的自適應更新

為了從已搜索過的狀態提取目標函數的全局統計信息以指導算法向優異解進化，QEA 算法采用旋轉門建立最優解的概率分布模型。在旋轉操作中一般使用一個恒定的偏移角Δθ。研究表明，采用大的Δθ 可能導致算法過快收斂到局部極致點，而采用小的Δθ 則會減慢算法收斂速度[16]。為解決這一問題提，本文提出了如下的Δθ 自適應調整公式：

式中，t 為代數；λ為一個實常數。

顯然，在搜索的初始階段，本文矢量QEA 采用相對較小的Δθ 修改量子位，以確保生成種群的多樣性。而在搜索的最后階段，算法則采用較大的Δθ 修改量子位以保證算法以較快地速度收斂于Pareto 最優解。

3 應用實例

為了說明本文矢量QEA 的性能，本文應用不同模型問題對其進行了數值實驗。限于篇幅，這里僅給出一個典型工程電磁場逆問題的計算結果。計算實例為大型水輪發電機多段圓弧的幾何優化問題[17]，其數學模型為

式中，Bf1是發電機氣隙磁通密度基波分量的幅值；ev是電機空載情況下正弦電壓的失真度；THF 是電網諧波因數的縮寫；Xd' 是發電機的直軸瞬態電抗；SCR 是短路比的縮寫。

優化變量為多段圓弧的圓心和半徑（見圖1）。該問題的詳細描述見文獻[17,18]。為了說明本文工作的有效性，分別應用本文算法（QEA）和不包括本文前述改進的標準矢量QEA 算法（SQEA）搜索該矢量優化問題的Pareto 最優解。計算時，采用有限元方法計算發電機空載條件下的磁場。為了說明算法的魯棒性，每種算法獨立、隨機運行5 次。運行結果表明，SQEA 算法和改進QEA 算法的平均迭代次數分別為2 016 和1 574。圖2 和圖3 分別給出了用改進QEA 算法和SQEA 算法優化某一300MW、44 極水輪發電機獲得的Pareto 最優解。然后，通過比較不同算法搜索到的Pareto 解間的控制關系，可以發現：

（1）在SQEA 算法搜索到的598 個Pareto 最優解中，有129 個解由改進QEA 算法搜索到的最優解支配。換言之，這 129 個最優解并不是真正的Pareto 最優解。

（2）而在改進QEA 算法搜索到的529 個Pareto最優解中，僅有44 個解是由SQEA 算法的最終解支配，即這44 個解不是真正的Pareto 最優解。

上述計算結果表明：

（1）改進QEA 算法解的質量優于SQEA 算法解的質量，因為后者最優解控制前者最優解的數量少于前者最優解控制后者最優解的數量。

（2）改進QEA 算法的收斂性能優于SQEA 算法，前者的平均迭代次數小于后者的平均迭代次數。

圖1 多段圓弧極靴示意圖Fig.1 The schematic diagram of the multi-sectional pole shoes

圖2 改進QEA 算法獲得的300MW 水輪發電機的Pareto 最優解Fig.2 The searched Pareto solutions of a 300 MW hydrogenerator using the proposed algorithm QEA

圖3 SQEA 算法獲得的300MW 水輪發電機的Pareto 最優解Fig.3 The searched Pareto solutions of a 300 MW hydrogenerator using the same problem algorithm SQEA

此外，為進一步說明本文矢量優化算法的優越性，將本文算法搜索到的529 個Pareto 最優解與文獻[18]改進模擬退火算法搜索到的單一最優解進行了對比分析。比較結果表明，本文算法搜索到的529個Pareto 解中的第201 個解，與文獻[18]給出的最優解幾乎完全相同。換言之，若采用本文算法優化設計的第201 個優化設計方案，在其他條件都相同的條件下，發電機氣隙磁通密度基波幅值可提高近10%。因此，本文矢量優化算法具備傳統標量優化算法的全局尋優能力。需要強調的是，本文算法除能夠搜索到傳統優化算法搜索到的側重某一具體目標函數的全局最優解外，還能給出側重不同目標函數的系列最優解。由此不難評價本文算法的優越性和工程實用性。

4 結論

為解決電磁場逆問題的多目標優化問題，本文提出了一種摒棄復雜遺傳算子和操作的矢量 QEA算法，并通過實例計算說明了算法的有效性和優越性。實例計算結果表明，無論從計算效率還是從最優解的質量方面來看，改進算法的性能都優于原算法。

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