高中數學教學中的兩種數學思想方法

劉春建

數學思想方法，數學家和數學教育工作者有諸多論述.概括起來，大多數是從“數學思想”和“數學方法”兩個角度進行闡述的.數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想.數學方法是指數學活動中所采用的各種方式、手段途徑、策略等.在高考中，如果能掌握一定的數學思想方法必可以大大提高學生的戰斗力.

一、化歸思想方法

化歸，也就是歸結和轉換.它主要是通過觀察，分析，類比，聯想等轉化過程，將要解決的問題化歸在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題，進而解決原問題，像這一類的手段和方法就統稱為化歸.簡而言之，化歸就是將不熟悉的問題轉換成熟悉的問題，具體來說，化歸就是將問題模式化，規范化，將要解決的問題變為我們熟悉的問題，然后利用已經掌握的理論，方法去解決這個問題從而間接地解決原問題，而不是直接去尋找原問題的答案.考慮到化歸的特點，在化歸的過程中，我們需要不斷地變化問題，重新敘述問題，轉換問題，最終找到問題的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式兩邊都含有x，y兩個變量，而學生目前只學習一元函數，為此先把不等式化為2x-3-x>2-y-3y，使它的兩邊都只含有一個變量，于是可以構造輔助函數f（x）=2x-3-x，通過構造函數，把不等式問題化歸為函數單調性問題.

實現化歸的重點在于發現問題之間潛在的內在聯系，確定化歸的方向，選擇合適的化歸途徑實現有效轉化.在應用化歸方法時，我們往往需要進行多次化歸，而化歸一般的模式可總結為

二、類比的思想方法

類比，它是根據兩種事物某些屬性（例如概念，性質，形式，結構，關系等等）的相似或者相同，推斷出它們其他屬性也可能相似或者相同的一種推理方法.波利亞說過：沒有類比，在初等數學或高等數學中，也許就不會有發現.可見類比是一種非常重要的解決數學問題的手段，可以說，類比是解決數學問題的顧問和助手.

例2 （2003 年江蘇省）在平面幾何里有勾股定理：設三角形ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三菱錐的側面積與底面積的關系，若三菱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則.

分析勾股地理揭示了一個直角三角形的兩條直角邊與斜邊的關系，由類比猜想得知，題設的三菱錐 A-BCD的三個側面與底面之間有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（證略）

通過例子我們也可以總結出類比方法的一般模式：

三、數形結合的思想

數學的研究對象是現實世界中的數量關系和空間關系，數和形反映的是事物的兩個方面，正是基于這兩個方面的抽象研究才誕生了數學這門學科，才使得人們可以從不同側面認識事物把數量關系轉化成空間圖形關系，或者反過來把圖形性質轉化為數量關系.這種在解決問題的過程中數和形相互轉化的思路就是數形結合思想.換句話說，數形結合思想就是將抽象難懂的數學語言與直觀的圖形符號結合，使得抽象思維和形象思維相互結合.在高中數學中，數形結合思想可以解決許多方面的問題，如集合，函數，方程不等式，三角函數，線性規劃，數列，解析幾何，立體幾何，絕對值問題等等，幾乎涵蓋了高中數學的各個領域.因此學生若是能掌握數形結合的思想，可以大大提高學生的數學素質，分析解決問題的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江蘇）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是 .

答案：[e，7].

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

設ac=x，y=bc，則題目轉化為：已知x，y滿足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=ex的切線的斜率e，設過切點P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥0），則y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，須m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）處，為e.此時，點P（x0，y0）在y=ex上A，B之間.當（x，y）對應點C時，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C處，為7.

∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].

2012年高考江蘇卷把數形結合的思想展示得淋漓盡致，除此外，還有很多問題都可以用到數形結合的這種思想.數與形的聯系和轉化是數學永恒的研究主題，在上面江蘇卷的問題的解題過程中可以看出數形結合思想在高考中的實用性，所以，在平日教學過程當中，有必要重視培養學生數形結合的思想，使之能成為一種習慣.

數學思想方法，數學家和數學教育工作者有諸多論述.概括起來，大多數是從“數學思想”和“數學方法”兩個角度進行闡述的.數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想.數學方法是指數學活動中所采用的各種方式、手段途徑、策略等.在高考中，如果能掌握一定的數學思想方法必可以大大提高學生的戰斗力.

一、化歸思想方法

化歸，也就是歸結和轉換.它主要是通過觀察，分析，類比，聯想等轉化過程，將要解決的問題化歸在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題，進而解決原問題，像這一類的手段和方法就統稱為化歸.簡而言之，化歸就是將不熟悉的問題轉換成熟悉的問題，具體來說，化歸就是將問題模式化，規范化，將要解決的問題變為我們熟悉的問題，然后利用已經掌握的理論，方法去解決這個問題從而間接地解決原問題，而不是直接去尋找原問題的答案.考慮到化歸的特點，在化歸的過程中，我們需要不斷地變化問題，重新敘述問題，轉換問題，最終找到問題的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式兩邊都含有x，y兩個變量，而學生目前只學習一元函數，為此先把不等式化為2x-3-x>2-y-3y，使它的兩邊都只含有一個變量，于是可以構造輔助函數f（x）=2x-3-x，通過構造函數，把不等式問題化歸為函數單調性問題.

實現化歸的重點在于發現問題之間潛在的內在聯系，確定化歸的方向，選擇合適的化歸途徑實現有效轉化.在應用化歸方法時，我們往往需要進行多次化歸，而化歸一般的模式可總結為

二、類比的思想方法

類比，它是根據兩種事物某些屬性（例如概念，性質，形式，結構，關系等等）的相似或者相同，推斷出它們其他屬性也可能相似或者相同的一種推理方法.波利亞說過：沒有類比，在初等數學或高等數學中，也許就不會有發現.可見類比是一種非常重要的解決數學問題的手段，可以說，類比是解決數學問題的顧問和助手.

例2 （2003 年江蘇省）在平面幾何里有勾股定理：設三角形ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三菱錐的側面積與底面積的關系，若三菱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則.

分析勾股地理揭示了一個直角三角形的兩條直角邊與斜邊的關系，由類比猜想得知，題設的三菱錐 A-BCD的三個側面與底面之間有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（證略）

通過例子我們也可以總結出類比方法的一般模式：

三、數形結合的思想

數學的研究對象是現實世界中的數量關系和空間關系，數和形反映的是事物的兩個方面，正是基于這兩個方面的抽象研究才誕生了數學這門學科，才使得人們可以從不同側面認識事物把數量關系轉化成空間圖形關系，或者反過來把圖形性質轉化為數量關系.這種在解決問題的過程中數和形相互轉化的思路就是數形結合思想.換句話說，數形結合思想就是將抽象難懂的數學語言與直觀的圖形符號結合，使得抽象思維和形象思維相互結合.在高中數學中，數形結合思想可以解決許多方面的問題，如集合，函數，方程不等式，三角函數，線性規劃，數列，解析幾何，立體幾何，絕對值問題等等，幾乎涵蓋了高中數學的各個領域.因此學生若是能掌握數形結合的思想，可以大大提高學生的數學素質，分析解決問題的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江蘇）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是 .

答案：[e，7].

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

設ac=x，y=bc，則題目轉化為：已知x，y滿足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=ex的切線的斜率e，設過切點P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥0），則y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，須m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）處，為e.此時，點P（x0，y0）在y=ex上A，B之間.當（x，y）對應點C時，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C處，為7.

∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].

2012年高考江蘇卷把數形結合的思想展示得淋漓盡致，除此外，還有很多問題都可以用到數形結合的這種思想.數與形的聯系和轉化是數學永恒的研究主題，在上面江蘇卷的問題的解題過程中可以看出數形結合思想在高考中的實用性，所以，在平日教學過程當中，有必要重視培養學生數形結合的思想，使之能成為一種習慣.

數學思想方法，數學家和數學教育工作者有諸多論述.概括起來，大多數是從“數學思想”和“數學方法”兩個角度進行闡述的.數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想.數學方法是指數學活動中所采用的各種方式、手段途徑、策略等.在高考中，如果能掌握一定的數學思想方法必可以大大提高學生的戰斗力.

一、化歸思想方法

化歸，也就是歸結和轉換.它主要是通過觀察，分析，類比，聯想等轉化過程，將要解決的問題化歸在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題，進而解決原問題，像這一類的手段和方法就統稱為化歸.簡而言之，化歸就是將不熟悉的問題轉換成熟悉的問題，具體來說，化歸就是將問題模式化，規范化，將要解決的問題變為我們熟悉的問題，然后利用已經掌握的理論，方法去解決這個問題從而間接地解決原問題，而不是直接去尋找原問題的答案.考慮到化歸的特點，在化歸的過程中，我們需要不斷地變化問題，重新敘述問題，轉換問題，最終找到問題的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式兩邊都含有x，y兩個變量，而學生目前只學習一元函數，為此先把不等式化為2x-3-x>2-y-3y，使它的兩邊都只含有一個變量，于是可以構造輔助函數f（x）=2x-3-x，通過構造函數，把不等式問題化歸為函數單調性問題.

實現化歸的重點在于發現問題之間潛在的內在聯系，確定化歸的方向，選擇合適的化歸途徑實現有效轉化.在應用化歸方法時，我們往往需要進行多次化歸，而化歸一般的模式可總結為

二、類比的思想方法

類比，它是根據兩種事物某些屬性（例如概念，性質，形式，結構，關系等等）的相似或者相同，推斷出它們其他屬性也可能相似或者相同的一種推理方法.波利亞說過：沒有類比，在初等數學或高等數學中，也許就不會有發現.可見類比是一種非常重要的解決數學問題的手段，可以說，類比是解決數學問題的顧問和助手.

例2 （2003 年江蘇省）在平面幾何里有勾股定理：設三角形ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三菱錐的側面積與底面積的關系，若三菱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則.

分析勾股地理揭示了一個直角三角形的兩條直角邊與斜邊的關系，由類比猜想得知，題設的三菱錐 A-BCD的三個側面與底面之間有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（證略）

通過例子我們也可以總結出類比方法的一般模式：

三、數形結合的思想

數學的研究對象是現實世界中的數量關系和空間關系，數和形反映的是事物的兩個方面，正是基于這兩個方面的抽象研究才誕生了數學這門學科，才使得人們可以從不同側面認識事物把數量關系轉化成空間圖形關系，或者反過來把圖形性質轉化為數量關系.這種在解決問題的過程中數和形相互轉化的思路就是數形結合思想.換句話說，數形結合思想就是將抽象難懂的數學語言與直觀的圖形符號結合，使得抽象思維和形象思維相互結合.在高中數學中，數形結合思想可以解決許多方面的問題，如集合，函數，方程不等式，三角函數，線性規劃，數列，解析幾何，立體幾何，絕對值問題等等，幾乎涵蓋了高中數學的各個領域.因此學生若是能掌握數形結合的思想，可以大大提高學生的數學素質，分析解決問題的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江蘇）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是 .

答案：[e，7].

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化為：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

設ac=x，y=bc，則題目轉化為：已知x，y滿足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=ex的切線的斜率e，設過切點P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥0），則y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，須m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）處，為e.此時，點P（x0，y0）在y=ex上A，B之間.當（x，y）對應點C時，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C處，為7.

∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍是[e，7].

2012年高考江蘇卷把數形結合的思想展示得淋漓盡致，除此外，還有很多問題都可以用到數形結合的這種思想.數與形的聯系和轉化是數學永恒的研究主題，在上面江蘇卷的問題的解題過程中可以看出數形結合思想在高考中的實用性，所以，在平日教學過程當中，有必要重視培養學生數形結合的思想，使之能成為一種習慣.