例析函數問題的兩種解題方法和技巧

呂木火

在解決數函數問題時，通過對問題的已知條件和結論作深入恰當的分析，利用函數性質或利用賦值法（特殊值法）、代換法、變形法去構建函數模型，筑起解決問題的橋梁，可以使得問題簡明快捷地得以解決.

一、函數性質解題法

函數的性質是研究函數問題的核心，一定要注意：①對性質的理解；②對性質的靈活運用；③特別要注意函數的周期性和函數圖象的對稱性.

函數的周期性：f（x+a）=f（x）說明函數f（x）的周期T=a（a≠0）.若f（x+a）=-f（x），則f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=1f（x），則f（x）的周期T=2a；

若f（x+a）=-1f（x），則f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），則f（x）的周期T=|a-b|.

函數的對稱性：f（a+x）=f（a-x）f（2a-x）=f（x）f（2a+x）=f（-x），說明函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱；f（a+x）=-f（a-x）f（2a-x）=-f（x）f（2a+x）=-f（-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱；f（a+x）=-f（b-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a+b2，0）中心對稱；f（a+x）=2b-f（a-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱.

函數性質的模型特征還有一些，不再列舉，對于函數性質的題目，注意向模型特征轉化.

例1設函數f（x）對任意x∈R都有f（x+3）=-1f（x），且x∈[1，3]時，f（x）=2x，則f（2012）= .

解析f（x+3）=-1f（x）T=6，∵2012=335×6+2，∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=2×2=4.

答案：4

例2若f（x）的圖象關于點（-34，0）對稱，且滿足f（x）=-f（x+32），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2011）= .

解析因為f（x）的圖象關于點（-34，0）對稱，∴f（-34+x）=-f（-34-x），可以有f（-x）=-f（x-32），從f（x）=-f（x+32），知f（-x）=-f（-x+32），∴f（x-32）=f（-x+32）=f[-（x-32）]，∴f（x）為偶函數.又從f（x）=-f（x+32），知f（x）的周期為3，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+…+f（2011）=670×0+1=1.

答案：1

二、抽象函數模型解題法

在我們遇到的函數問題中，給出函數的若干性質，但不給函數的具體表達式，去研究函數另外一些性質的問題.盡管課本例題較少，但高考中仍有大量出現，這類問題我們稱為抽象型函數問題，解答時有一定難度，對于這一類問題的模型思想就是認真審題，利用賦值法（特殊值法）、代換法、變形法去構建函數模型，再根據所給的條件求解，有時通過賦值法得到一些結果，對這些結果分析、歸納尋找規律，猜想結果求解.

例3設函數f（x）（x∈R）為奇函數，f（1）=12，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）= .

解析我們可以根據條件變形處理：

f（1）=f（-1+2）=f（-1）+f（2）=-f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1.

f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）

=f（1）+2f（2）=52 .

答案：52

點評本題也可使用構建函數的辦法：根據所給條件設f（x）=12x，∴f（5）=52.

例4已知函數g（x）≠0，它滿足：對任意的x，y∈R， 都有g（x+y）=g（x）g（y），且當x>0時，g（x）>1，（1）求g（0）的值；（2）求證：g（x-y）=g（x）g（y）；（3）判斷g（x）的單調性，并證明.

解析根據所給條件，構建函數模型，g（x）=ax，又由于x>0時，g（x）>1知a>1，故猜想g（0）=1，g（x）為單調遞增函數，但由于此題為解答題，不能僅憑猜想求解，應有嚴謹解答過程.

答案：（1）解：設x>0且令y=0，

則g（x+0）=g（x）g（0），即g（x）=g（x）g（0），又g（x）≠0，∴g（0）=1.

（2）證明：g（x）=g（x-y+y）=g（x-y）g（y），又g（y）≠0，∴g（x）g（y）=g（x-y）.

（3）解任取x1，x2∈R且x10時，g（x）>1”得g（x2）g（x1）>1 ①.又∵g（x1）=g（x12+x12）=g（x12）g（x12）=[g（x12）]2≥0，而g（x）≠0，∴[g（x12）]2>0，∴g（x1）>0.由①得g（x2）>g（x1），故g（x）是R上的單調遞增函數.

注意：①從g（x2）g（x1）>1不能說g（x2）>g（x1），必須先證明g（x1）>0才可以；

②不能用賦值法解（證）解答題，要注意問題的一般性.

在解決數函數問題時，通過對問題的已知條件和結論作深入恰當的分析，利用函數性質或利用賦值法（特殊值法）、代換法、變形法去構建函數模型，筑起解決問題的橋梁，可以使得問題簡明快捷地得以解決.

一、函數性質解題法

函數的性質是研究函數問題的核心，一定要注意：①對性質的理解；②對性質的靈活運用；③特別要注意函數的周期性和函數圖象的對稱性.

函數的周期性：f（x+a）=f（x）說明函數f（x）的周期T=a（a≠0）.若f（x+a）=-f（x），則f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=1f（x），則f（x）的周期T=2a；

若f（x+a）=-1f（x），則f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），則f（x）的周期T=|a-b|.

函數的對稱性：f（a+x）=f（a-x）f（2a-x）=f（x）f（2a+x）=f（-x），說明函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱；f（a+x）=-f（a-x）f（2a-x）=-f（x）f（2a+x）=-f（-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱；f（a+x）=-f（b-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a+b2，0）中心對稱；f（a+x）=2b-f（a-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱.

函數性質的模型特征還有一些，不再列舉，對于函數性質的題目，注意向模型特征轉化.

例1設函數f（x）對任意x∈R都有f（x+3）=-1f（x），且x∈[1，3]時，f（x）=2x，則f（2012）= .

解析f（x+3）=-1f（x）T=6，∵2012=335×6+2，∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=2×2=4.

答案：4

例2若f（x）的圖象關于點（-34，0）對稱，且滿足f（x）=-f（x+32），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2011）= .

解析因為f（x）的圖象關于點（-34，0）對稱，∴f（-34+x）=-f（-34-x），可以有f（-x）=-f（x-32），從f（x）=-f（x+32），知f（-x）=-f（-x+32），∴f（x-32）=f（-x+32）=f[-（x-32）]，∴f（x）為偶函數.又從f（x）=-f（x+32），知f（x）的周期為3，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+…+f（2011）=670×0+1=1.

答案：1

二、抽象函數模型解題法

在我們遇到的函數問題中，給出函數的若干性質，但不給函數的具體表達式，去研究函數另外一些性質的問題.盡管課本例題較少，但高考中仍有大量出現，這類問題我們稱為抽象型函數問題，解答時有一定難度，對于這一類問題的模型思想就是認真審題，利用賦值法（特殊值法）、代換法、變形法去構建函數模型，再根據所給的條件求解，有時通過賦值法得到一些結果，對這些結果分析、歸納尋找規律，猜想結果求解.

例3設函數f（x）（x∈R）為奇函數，f（1）=12，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）= .

解析我們可以根據條件變形處理：

f（1）=f（-1+2）=f（-1）+f（2）=-f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1.

f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）

=f（1）+2f（2）=52 .

答案：52

點評本題也可使用構建函數的辦法：根據所給條件設f（x）=12x，∴f（5）=52.

例4已知函數g（x）≠0，它滿足：對任意的x，y∈R， 都有g（x+y）=g（x）g（y），且當x>0時，g（x）>1，（1）求g（0）的值；（2）求證：g（x-y）=g（x）g（y）；（3）判斷g（x）的單調性，并證明.

解析根據所給條件，構建函數模型，g（x）=ax，又由于x>0時，g（x）>1知a>1，故猜想g（0）=1，g（x）為單調遞增函數，但由于此題為解答題，不能僅憑猜想求解，應有嚴謹解答過程.

答案：（1）解：設x>0且令y=0，

則g（x+0）=g（x）g（0），即g（x）=g（x）g（0），又g（x）≠0，∴g（0）=1.

（2）證明：g（x）=g（x-y+y）=g（x-y）g（y），又g（y）≠0，∴g（x）g（y）=g（x-y）.

（3）解任取x1，x2∈R且x10時，g（x）>1”得g（x2）g（x1）>1 ①.又∵g（x1）=g（x12+x12）=g（x12）g（x12）=[g（x12）]2≥0，而g（x）≠0，∴[g（x12）]2>0，∴g（x1）>0.由①得g（x2）>g（x1），故g（x）是R上的單調遞增函數.

注意：①從g（x2）g（x1）>1不能說g（x2）>g（x1），必須先證明g（x1）>0才可以；

②不能用賦值法解（證）解答題，要注意問題的一般性.

在解決數函數問題時，通過對問題的已知條件和結論作深入恰當的分析，利用函數性質或利用賦值法（特殊值法）、代換法、變形法去構建函數模型，筑起解決問題的橋梁，可以使得問題簡明快捷地得以解決.

一、函數性質解題法

函數的性質是研究函數問題的核心，一定要注意：①對性質的理解；②對性質的靈活運用；③特別要注意函數的周期性和函數圖象的對稱性.

函數的周期性：f（x+a）=f（x）說明函數f（x）的周期T=a（a≠0）.若f（x+a）=-f（x），則f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=1f（x），則f（x）的周期T=2a；

若f（x+a）=-1f（x），則f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），則f（x）的周期T=|a-b|.

函數的對稱性：f（a+x）=f（a-x）f（2a-x）=f（x）f（2a+x）=f（-x），說明函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱；f（a+x）=-f（a-x）f（2a-x）=-f（x）f（2a+x）=-f（-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱；f（a+x）=-f（b-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a+b2，0）中心對稱；f（a+x）=2b-f（a-x），說明函數f（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱.

函數性質的模型特征還有一些，不再列舉，對于函數性質的題目，注意向模型特征轉化.

例1設函數f（x）對任意x∈R都有f（x+3）=-1f（x），且x∈[1，3]時，f（x）=2x，則f（2012）= .

解析f（x+3）=-1f（x）T=6，∵2012=335×6+2，∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=2×2=4.

答案：4

例2若f（x）的圖象關于點（-34，0）對稱，且滿足f（x）=-f（x+32），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2011）= .

解析因為f（x）的圖象關于點（-34，0）對稱，∴f（-34+x）=-f（-34-x），可以有f（-x）=-f（x-32），從f（x）=-f（x+32），知f（-x）=-f（-x+32），∴f（x-32）=f（-x+32）=f[-（x-32）]，∴f（x）為偶函數.又從f（x）=-f（x+32），知f（x）的周期為3，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+…+f（2011）=670×0+1=1.

答案：1

二、抽象函數模型解題法

在我們遇到的函數問題中，給出函數的若干性質，但不給函數的具體表達式，去研究函數另外一些性質的問題.盡管課本例題較少，但高考中仍有大量出現，這類問題我們稱為抽象型函數問題，解答時有一定難度，對于這一類問題的模型思想就是認真審題，利用賦值法（特殊值法）、代換法、變形法去構建函數模型，再根據所給的條件求解，有時通過賦值法得到一些結果，對這些結果分析、歸納尋找規律，猜想結果求解.

例3設函數f（x）（x∈R）為奇函數，f（1）=12，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）= .

解析我們可以根據條件變形處理：

f（1）=f（-1+2）=f（-1）+f（2）=-f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1.

f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）

=f（1）+2f（2）=52 .

答案：52

點評本題也可使用構建函數的辦法：根據所給條件設f（x）=12x，∴f（5）=52.

例4已知函數g（x）≠0，它滿足：對任意的x，y∈R， 都有g（x+y）=g（x）g（y），且當x>0時，g（x）>1，（1）求g（0）的值；（2）求證：g（x-y）=g（x）g（y）；（3）判斷g（x）的單調性，并證明.

解析根據所給條件，構建函數模型，g（x）=ax，又由于x>0時，g（x）>1知a>1，故猜想g（0）=1，g（x）為單調遞增函數，但由于此題為解答題，不能僅憑猜想求解，應有嚴謹解答過程.

答案：（1）解：設x>0且令y=0，

則g（x+0）=g（x）g（0），即g（x）=g（x）g（0），又g（x）≠0，∴g（0）=1.

（2）證明：g（x）=g（x-y+y）=g（x-y）g（y），又g（y）≠0，∴g（x）g（y）=g（x-y）.

（3）解任取x1，x2∈R且x10時，g（x）>1”得g（x2）g（x1）>1 ①.又∵g（x1）=g（x12+x12）=g（x12）g（x12）=[g（x12）]2≥0，而g（x）≠0，∴[g（x12）]2>0，∴g（x1）>0.由①得g（x2）>g（x1），故g（x）是R上的單調遞增函數.

注意：①從g（x2）g（x1）>1不能說g（x2）>g（x1），必須先證明g（x1）>0才可以；

②不能用賦值法解（證）解答題，要注意問題的一般性.