例談消元法在高中數學解題中的應用

秦國清

現在有很多人關注高考，在研究高考試題，復雜多樣的高考試題因而能充塞整個課堂.尤其是近年來，數學試題的情景設置變得陌生異常，讓我們的老師也跟著躁動起來.高三復習時，部分老師標新立異，過分追求試題解法的“獨特新穎、多樣快捷”，而忽視了對基礎知識的梳理和對基本思想方法的訓練，舍本求末，讓人感覺有“矯揉造作”的痕跡.這樣的復習根本無法給學生打下扎實的基礎，學生囫圇吞棗，根基不牢，又何談培養學生的數學素養呢？

本文筆者將結合自己的教學實踐，以消元法為例，具體談談如何利用基本數學思想方法解題.數學思想方法是數學學習與教學中必不可少的一部分，也是探索許多問題的出發點，至關重要.消元法屬于化歸（轉化）思想的范疇，是實施化歸思想的一種重要方式及手段.它在幫助學生解決函數與方程、不等式及線性規劃、三角與向量、數列、解析幾何等問題中有著廣泛的應用.

一、遵循統一原則，直接消元

在高中數學教學中，我們常運用化歸思想中的和諧統一原則，將條件和結論中的一些要素結合起來，在量與形的關系上向趨于統一的方向進行，采取直接消元的方法解決問題.

例1（1）已知函數f（x）=|2x-3|，若0<2a

思路分析從已知條件和函數圖象中可得出一些不等關系0<2a<32，

32

b+1>2a，來限制a、b兩個變量，而由絕對值函數解析式可推出a與b的內在聯系：3-4a=4b+3.由此自然想到用消元法消去其中一個變量，得到T=3a2-2a的二次函數關系式，再由a的雙重限制條件得出0

（2）在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，設B=2A，則ba的取值范圍為.

思路分析不難看出所求結果可由正弦定理可變為sinBsinA，而B=2A，直接代入消元得：sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cosA，下面在確定A的范圍時，一定要放到銳角三角形中.雖然A，B，C三個變量，但我們可利用消元法得到B=2A<π2，

C=π-3A<π2.所以π6

（3）如圖，P點坐標（2，0），OP為△ABC的中線，Q為圓x2+y2=1上一動點，求（OA+OP+PB）·OQ的最小值.

思路分析首先看出所求結果表達式中的OP+PB可以用一個向量OB替代，從而減少向量的個數，得到（OA+OB）·OQ，在利用三角形中中線向量的結論代入消元，使OA+OB變為一個向量2OP，即可求出2OP·OQ=2|OP||OQ|cosα=0，α為夾角等于π2時，取最小值0.

（4）已知兩正數x，y滿足x+y=1，則z=（x+1x）（y+1y）的最小值為.

思路分析 學生展開表達式（x+1x）（y+1y）可得xy+xy+yx+1xy，此時，想用基本不等式，發現兩個基本不等式等號不能同時取到，學生困惑之時，有學生提出直接將y表示為1-x（0

二、整體把握感知，間接消元

在高中數學教學中，我們常常要求學生去感知出題者的意圖，整體把握解題的方向.這里常涉及到間接消元的思想方法，如以換元或構造的形式手段來實現降元、消元的目的.

例2（1）已知a2+8b2≥b（a+b）對于任意a，b∈R恒成立，則實數λ的取值范圍為.

思路分析本題出現多元，如何解決？出題者意圖明顯，就是要千方百計變換成一個主元的形式，這就要采取新的方式來消元.可先移項整理：a2-λab+（8-λ）b2≥0.將不等式兩邊同除以b2（b=0時恒成立），得：（ab）2-λ（ab）+（8-λ）≥0，變為了一個以（ab）為整體主元的一元二次不等式的形式，由判別式易得-8≤λ≤4.

以上解題技巧方法，也常用于解析幾何中，如已知a，b，c關系式來求離心率e的范圍.

（2）（2013年江蘇）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B，設原點到直線BF的距離為d1，F到l的距離為d2，若d2=6d1，則橢圓C的離心率為 .

解析過程如圖，l：x=a2c，d2=a2c-c=b2c，由等面積得：d1=bca.若d2=6d1，則b2c=6bcc，整理得：6a2-ab-6b2=0，兩邊同除以a2，得：6（ba）2-（ba）+6=0，解之得：ba=63，所以，離心率為：e=1-（ba）2=33.

（3）（2012年江蘇高考數學試卷第14題）已知正數a，b，c滿足：5c-5a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是.

思路分析審題后發現又是一個多元問題，且夾雜著函數、導數、不等式、線性規劃等方面的知識，其核心仍然是消元.由已知條件得3ac+bc≥5

ac+bc≤4

bc≥eac，可先構造x=ac，y=bc則有3x+y≥5

x+y≤4

y≥ex

x，y>0，所求ba變為yx.順利實現由三元降為二元的目標，再利用線性規劃和導數相關知識，可求出ba的范圍為[e，7].

（4）（2011年江蘇高考第14題改）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=r2（r>0）和直線l：3x-4y+m=0.若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓O有公共點，求m與r的關系式.

思路分析由題意可得半徑為1的新圓的圓心可以取遍直線上的點，這個新圓與圓O有公共點，也就是圖中陰影平行帶，與圓O有公共點，也就是圖中兩種位置情況下l1或l2與圓O相切或相交的情形，這就要求圓心O分別到l1或l2的距離小于等于r，而l1，l2， 兩條直線的解析式還有待于l來平移表示，顯然麻煩.如果抓住陰影平行帶中間一條主線l，用圓心（0，0）到l的距離d=|m|5≤r+1來處理，就又快又好的實現目標.解題中的兩個距離關系轉化為一個距離關系不也是間接消元的一次成功應用嗎？

三、滲透本質思想，綜合消元

化歸思想是數學思想方法的核心，它教會我們用聯系、發展變化的觀點來看待問題，并通過對原問題的作用，使之簡化為另一個問題.這種思想的實質就是使矛盾轉化，便于我們解決，而消元法就是化歸思想最好的詮釋.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次實施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有實根Δ≥0，實現第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，則Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判別式，實施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

實施三角代換消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，進行約分可得tmax=52

法3：構造不等式，整體運算，約分消元.

因為y2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

兩個不等式能同時取等號.

本題的三種方法至始至終緊扣消元這一主題，把化歸思想演繹得淋漓盡致.

羅增儒教授曾把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告需知并誘導解題方向.”即從已知條件入手推出中間結論（可知），當中間結論能直接證明最終結論時，則解題成功；當中間結論不能直接證明最終結論時，可把最終結論等價轉化為“需知”，再用中間結論證明“需知”從而達到解題目的.也就是說，解題是找出已知與未知的關系并不斷縮小以至消除二者之間的差距，這難道不是最大意義上的“消元”嗎？

三、滲透本質思想，綜合消元

化歸思想是數學思想方法的核心，它教會我們用聯系、發展變化的觀點來看待問題，并通過對原問題的作用，使之簡化為另一個問題.這種思想的實質就是使矛盾轉化，便于我們解決，而消元法就是化歸思想最好的詮釋.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次實施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有實根Δ≥0，實現第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，則Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判別式，實施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

實施三角代換消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，進行約分可得tmax=52

法3：構造不等式，整體運算，約分消元.

因為y2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

兩個不等式能同時取等號.

本題的三種方法至始至終緊扣消元這一主題，把化歸思想演繹得淋漓盡致.

羅增儒教授曾把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告需知并誘導解題方向.”即從已知條件入手推出中間結論（可知），當中間結論能直接證明最終結論時，則解題成功；當中間結論不能直接證明最終結論時，可把最終結論等價轉化為“需知”，再用中間結論證明“需知”從而達到解題目的.也就是說，解題是找出已知與未知的關系并不斷縮小以至消除二者之間的差距，這難道不是最大意義上的“消元”嗎？

三、滲透本質思想，綜合消元

化歸思想是數學思想方法的核心，它教會我們用聯系、發展變化的觀點來看待問題，并通過對原問題的作用，使之簡化為另一個問題.這種思想的實質就是使矛盾轉化，便于我們解決，而消元法就是化歸思想最好的詮釋.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次實施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有實根Δ≥0，實現第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，則Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判別式，實施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

實施三角代換消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，進行約分可得tmax=52

法3：構造不等式，整體運算，約分消元.

因為y2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

兩個不等式能同時取等號.

本題的三種方法至始至終緊扣消元這一主題，把化歸思想演繹得淋漓盡致.

羅增儒教授曾把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告需知并誘導解題方向.”即從已知條件入手推出中間結論（可知），當中間結論能直接證明最終結論時，則解題成功；當中間結論不能直接證明最終結論時，可把最終結論等價轉化為“需知”，再用中間結論證明“需知”從而達到解題目的.也就是說，解題是找出已知與未知的關系并不斷縮小以至消除二者之間的差距，這難道不是最大意義上的“消元”嗎？