用動能定理解決質點系問題的兩個注意點

侍明雨

動能定理既適用于可視為質點的物體，也適用于由質點構成的質點系；用動能定理解決質點系問題與解決質點問題有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定為零

例1一輛總質量為M的列車，在平直軌道上以V勻速行駛，突然后一節質量為m的車廂脫鉤，假設列車受到的阻力與車重成正比，牽引力不變，則當后一節車廂剛好靜止的瞬間，前面列車的速率為多大？

解析以脫鉤后前面列車和后面車廂為系統，設系統在水平方向所受的牽引力F，后面車廂受到的摩擦力為f1，前面列車受到的摩擦力為f2，由于脫鉤前列車做勻速行駛，所以有F=f1+f2.

脫鉤后車廂做勻減速直線運動，由牛頓第二定律得其加速度大小為a=f1m，則車廂停止運動所需的時間為t=Δva=mVf1，運動的位移為x1=mV22f1.

脫鉤后前面的列車做勻加速直線運動，設車廂停止時，前面列車的速度為V′，則前面列車從脫鉤到車廂停止所通過的位移為x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

對系統應用動能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

點評對質點而言，若質點受到的合力為零，則合力做功一定為零；而對于質點系而言，即使系統受到的合力為零，合力做功也不一定為零，因為質點系內各質點所受外力的作用點的位移不一定相同，故力對各質點做功的代數和也不一定為零.

二、系統動能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如圖1所示，質量為M、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上，質量為m的小物塊（可視為質點）放在小車的最左端.現用一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開始做勻加速直線運動，物塊和小車之間的摩擦力為Ff ，當物塊滑到小車的最右端時，小車運動的距離為s.則在這個過程中，以下說法中正確的是（ ）.

A.物塊到達小車最右端時具有的動能為F（l+s）

B.物塊到達小車最右端時，小車具有的動能為Ffs

C.物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s）

D.物塊和小車增加的動能之和為F（l+s）

解析物塊從靜止滑到小車最右端的過程如圖2所示，物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s），所以C選項正確；對物塊應用動能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案錯誤，對小車應用動能定理有：Ffs=EK2，所以B選項正確；對物塊和小車組成的系統應用動能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D選項錯誤；正確答案選BC.

例3某緩沖裝置的理想模型如圖3所示，勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f，輕桿向右移動不超過l時，裝置可安全工作. 一質量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導致輕桿向右移動l4，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦，求：（1）若彈簧的勁度系數為k，求輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量x；（2）求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度 .

解析（1）當彈簧的彈力增加到桿與槽間的最大靜摩擦力f相等時，輕桿開始移動，即Kx=f， x=fk；

（2）設輕桿移動前小車克服彈力做的功為W，則小車從撞擊彈簧到輕桿停止的過程中，以小車、彈簧和輕桿為系統，由動能定理：小車以v0撞擊彈簧時，-f·l4-W=0-12mv20.小車以vm撞擊彈簧時，-fl-W=0-12mv2m，由上面兩式解得vm=v20+3fl2m.

點評對于單個質點，質點的動能增量一定等于合外力所做的功.而對于質點系，若系統內的相互作用是桿、繩間的作用力，或是靜摩擦力，或是剛性物體之間相互擠壓而產生的力時，作用力與反作用力做的總功等于零，系統的動能增量等于合外力所做的功.若系統內相互作用力是彈簧、橡皮筋的作用力，或是滑動摩擦力時，當作用力與反作用力的作用點的位移相同時，作用力與反作用力的總功等于零，系統的動能增量等于合外力所做的功；當作用力與反作用力的作用點的位移不同時，作用力與反作用力的總功不等于零，系統的動能增量應等于合外力所做的總功與內力所做的總功的代數和.endprint

動能定理既適用于可視為質點的物體，也適用于由質點構成的質點系；用動能定理解決質點系問題與解決質點問題有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定為零

例1一輛總質量為M的列車，在平直軌道上以V勻速行駛，突然后一節質量為m的車廂脫鉤，假設列車受到的阻力與車重成正比，牽引力不變，則當后一節車廂剛好靜止的瞬間，前面列車的速率為多大？

解析以脫鉤后前面列車和后面車廂為系統，設系統在水平方向所受的牽引力F，后面車廂受到的摩擦力為f1，前面列車受到的摩擦力為f2，由于脫鉤前列車做勻速行駛，所以有F=f1+f2.

脫鉤后車廂做勻減速直線運動，由牛頓第二定律得其加速度大小為a=f1m，則車廂停止運動所需的時間為t=Δva=mVf1，運動的位移為x1=mV22f1.

脫鉤后前面的列車做勻加速直線運動，設車廂停止時，前面列車的速度為V′，則前面列車從脫鉤到車廂停止所通過的位移為x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

對系統應用動能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

點評對質點而言，若質點受到的合力為零，則合力做功一定為零；而對于質點系而言，即使系統受到的合力為零，合力做功也不一定為零，因為質點系內各質點所受外力的作用點的位移不一定相同，故力對各質點做功的代數和也不一定為零.

二、系統動能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如圖1所示，質量為M、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上，質量為m的小物塊（可視為質點）放在小車的最左端.現用一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開始做勻加速直線運動，物塊和小車之間的摩擦力為Ff ，當物塊滑到小車的最右端時，小車運動的距離為s.則在這個過程中，以下說法中正確的是（ ）.

A.物塊到達小車最右端時具有的動能為F（l+s）

B.物塊到達小車最右端時，小車具有的動能為Ffs

C.物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s）

D.物塊和小車增加的動能之和為F（l+s）

解析物塊從靜止滑到小車最右端的過程如圖2所示，物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s），所以C選項正確；對物塊應用動能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案錯誤，對小車應用動能定理有：Ffs=EK2，所以B選項正確；對物塊和小車組成的系統應用動能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D選項錯誤；正確答案選BC.

例3某緩沖裝置的理想模型如圖3所示，勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f，輕桿向右移動不超過l時，裝置可安全工作. 一質量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導致輕桿向右移動l4，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦，求：（1）若彈簧的勁度系數為k，求輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量x；（2）求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度 .

解析（1）當彈簧的彈力增加到桿與槽間的最大靜摩擦力f相等時，輕桿開始移動，即Kx=f， x=fk；

（2）設輕桿移動前小車克服彈力做的功為W，則小車從撞擊彈簧到輕桿停止的過程中，以小車、彈簧和輕桿為系統，由動能定理：小車以v0撞擊彈簧時，-f·l4-W=0-12mv20.小車以vm撞擊彈簧時，-fl-W=0-12mv2m，由上面兩式解得vm=v20+3fl2m.

點評對于單個質點，質點的動能增量一定等于合外力所做的功.而對于質點系，若系統內的相互作用是桿、繩間的作用力，或是靜摩擦力，或是剛性物體之間相互擠壓而產生的力時，作用力與反作用力做的總功等于零，系統的動能增量等于合外力所做的功.若系統內相互作用力是彈簧、橡皮筋的作用力，或是滑動摩擦力時，當作用力與反作用力的作用點的位移相同時，作用力與反作用力的總功等于零，系統的動能增量等于合外力所做的功；當作用力與反作用力的作用點的位移不同時，作用力與反作用力的總功不等于零，系統的動能增量應等于合外力所做的總功與內力所做的總功的代數和.endprint

動能定理既適用于可視為質點的物體，也適用于由質點構成的質點系；用動能定理解決質點系問題與解決質點問題有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定為零

例1一輛總質量為M的列車，在平直軌道上以V勻速行駛，突然后一節質量為m的車廂脫鉤，假設列車受到的阻力與車重成正比，牽引力不變，則當后一節車廂剛好靜止的瞬間，前面列車的速率為多大？

解析以脫鉤后前面列車和后面車廂為系統，設系統在水平方向所受的牽引力F，后面車廂受到的摩擦力為f1，前面列車受到的摩擦力為f2，由于脫鉤前列車做勻速行駛，所以有F=f1+f2.

脫鉤后車廂做勻減速直線運動，由牛頓第二定律得其加速度大小為a=f1m，則車廂停止運動所需的時間為t=Δva=mVf1，運動的位移為x1=mV22f1.

脫鉤后前面的列車做勻加速直線運動，設車廂停止時，前面列車的速度為V′，則前面列車從脫鉤到車廂停止所通過的位移為x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

對系統應用動能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

點評對質點而言，若質點受到的合力為零，則合力做功一定為零；而對于質點系而言，即使系統受到的合力為零，合力做功也不一定為零，因為質點系內各質點所受外力的作用點的位移不一定相同，故力對各質點做功的代數和也不一定為零.

二、系統動能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如圖1所示，質量為M、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上，質量為m的小物塊（可視為質點）放在小車的最左端.現用一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開始做勻加速直線運動，物塊和小車之間的摩擦力為Ff ，當物塊滑到小車的最右端時，小車運動的距離為s.則在這個過程中，以下說法中正確的是（ ）.

A.物塊到達小車最右端時具有的動能為F（l+s）

B.物塊到達小車最右端時，小車具有的動能為Ffs

C.物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s）

D.物塊和小車增加的動能之和為F（l+s）

解析物塊從靜止滑到小車最右端的過程如圖2所示，物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s），所以C選項正確；對物塊應用動能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案錯誤，對小車應用動能定理有：Ffs=EK2，所以B選項正確；對物塊和小車組成的系統應用動能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D選項錯誤；正確答案選BC.

例3某緩沖裝置的理想模型如圖3所示，勁度系數足夠大的輕質彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f，輕桿向右移動不超過l時，裝置可安全工作. 一質量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導致輕桿向右移動l4，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦，求：（1）若彈簧的勁度系數為k，求輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量x；（2）求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度 .

解析（1）當彈簧的彈力增加到桿與槽間的最大靜摩擦力f相等時，輕桿開始移動，即Kx=f， x=fk；

（2）設輕桿移動前小車克服彈力做的功為W，則小車從撞擊彈簧到輕桿停止的過程中，以小車、彈簧和輕桿為系統，由動能定理：小車以v0撞擊彈簧時，-f·l4-W=0-12mv20.小車以vm撞擊彈簧時，-fl-W=0-12mv2m，由上面兩式解得vm=v20+3fl2m.

點評對于單個質點，質點的動能增量一定等于合外力所做的功.而對于質點系，若系統內的相互作用是桿、繩間的作用力，或是靜摩擦力，或是剛性物體之間相互擠壓而產生的力時，作用力與反作用力做的總功等于零，系統的動能增量等于合外力所做的功.若系統內相互作用力是彈簧、橡皮筋的作用力，或是滑動摩擦力時，當作用力與反作用力的作用點的位移相同時，作用力與反作用力的總功等于零，系統的動能增量等于合外力所做的功；當作用力與反作用力的作用點的位移不同時，作用力與反作用力的總功不等于零，系統的動能增量應等于合外力所做的總功與內力所做的總功的代數和.endprint